空间向量与立体几何综合大题答案.docx
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空间向量与立体几何综合大题答案
空间向量与立体几何综合大题答案
1．如图，已知中，，平面，是的中点.
（Ⅰ）若是的中点，求证：
平面平面；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的大小.
（Ⅰ）证明：
平面，。
又平面.
E、F分别是AC、AD的中点，。
平面，平面，
平面平面。
（Ⅱ）解法1：
如图建立空间直角坐标系则
设平面，
则，取
平面的法向量是=，
，所以，平面与平面所成的锐二面角为。
2．如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点．
（1）求证:
平面;
（2）求平面和平面的夹角.
解：
（1）如图，以为原点,以为方向向量
建立空间直角坐标系
则.
.
设平面的法向量为
即令
则.
又平面平面
（2）底面是正方形,又平面
又,平面
向量是平面的一个法向量,又由
（1）知平面的法向量.
二面角的平面角为
3．己知四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD为矩形侧棱PA底面ABCD，其中BC=2,AB=2PA=6，
M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示：
（1）求证：
AN∥平面MBD；
（2）求二面角B-PC-A的余弦值．
（1）证明：
连结AC交BD于O，连结OM，
∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，
∴OM//AN，∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD4分．
（2）易知为等腰直角三角形,所以BP为外接圆的直径,所以PB=,PA=3
如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0,0,0），B（3,0,0），C（3,6,0），D（0,6,0），P（0,0,3），M（2,4,1），N（1,2,2）,
设平面的法向量为,，并且,
，令得,
∴平面MBD的一个法向量为,6分
设平面法向量为,
同理可得8分
10分
由图可知,二面角为锐角,
∴二面角的余弦值为
4．如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（1）求证：
⊥
（2）若，，为的中点，
求二面角的平面角的余弦值
（1）证明：
三棱柱为直三棱柱，
平面，又平面，
-平面，且平面，
．又平面,平面,，
平面，又平面，
（2）由
（1）知平面，平面,从而
如图,以B为原点建立空间直角坐标系
平面，其垂足落在直线上,．
在中，，AB=2，
在直三棱柱中，．
在中，,
则（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,
（0，2，2）
设平面的一个法向量
则即
可得
设平面的一个法向量
则即
可得
二面角平面角的余弦值是
（2）或在中，，AB=2,则BD=1可得D（，
二面角平面角的余弦值是
5．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=-CF．
（Ⅰ）求证：
平面ABCD平面AED；
（Ⅱ）直线AF与面BDF所成角的余弦值
（Ⅰ）证明：
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠ADC=∠BCD=120°，
又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD，且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，
∴BD⊥平面AED，∴平面ABCD⊥平面AED．
（Ⅱ）解：
连结AC，由（Ⅰ）知AD⊥BD，∴AC⊥BC，
又FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF两两垂直，
以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，设CB=1，
则A（，0，0），B（0，1，0），D（，，0），F（0，0，1），
∴=（，，0），=＝（0，−1，1），=（-，0，1），
设平面BDF的一个法向量为＝（x，y，z），则，取z=1，则=（，1，1），
所以=，∴直线AF与面BDF所成角的余弦值为
6．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点
（1）求证：
AN∥平面MBD;
（2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值;
（3）求二面角M-BD-C的余弦值.
（1）证明：
连结AC交BD于O，连结OM，
∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，
∵M、N为侧棱PC的三等分点，∴CM=MN，
∴OM∥AN,∵平面MBD，AN平面MBD
∴AN∥平面MBD
（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz,
则A（0,0,0），B（3，0,0）,C（3,6,0）,D（0,6,0）
P（0,0,3）,M（2,4,1）,N（1,2,2）
∵
∴异面直线AN与PD所成的角的余弦值为
（3）∵侧棱PA⊥底面ABCD
∴平面BCD的一个法向量为
设平面MBD的法向量为
并且
，令y=1,得x=2,z=-2
∴平面MBD的一个法向量为
由图知二面角是锐角
∴二面角的余弦值为.
7．如图1，直角梯形中，，，，点为线段上异于的点，且，沿将面折起，使平面平面，如图2.
（1）求证：
平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
解：
（1）证明：
∵，面，面，
∴面， 2分
同理面，3分
又，∴面面，4分
又面，∴面.5分
（2）法一：
∵面面，又，面面，
∴面.
以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立
空间直角坐标系，设，则，
，
∴当时，三棱锥体积最大.9分
∵，∴，
设平面的法向量，， ∴，
令，得平面的一个法向量，
又面的一个法向量为，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦是.
8．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.
（1）求证：
平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
解：
（1）平面，平面，
由已知条件得：
，，所以平面（5分）
由
（1）结合已知条件以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则：
，，，，，所以
7分
设是平面的一个法向量，则，
即：
，取，则得：
同理可求：
平面的一个法向量10分
设：
平面和平面成角为，
则12分
9．如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．
【解析】解：
（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0,0,0），B（2,0,0），C（0,2,0），D（1,1,0），A1（0,0,4），C1（0,2,4），∴＝（2,0，－4），＝（1，－1，－4）．
∵cos〈，〉＝＝＝，
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
（2）设平面ADC1的法向量为n1＝（x，y，z），∵＝（1,1,0），＝（0,2,4），∴n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且2y＋4z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，∴n1＝（2，－2,1）是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝（0,1,0），设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ.
由cosθ＝＝＝，得sinθ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.
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