山东大学专升本网络教育《线性代数》模拟题及答案docx.docx
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山东大学专升本网络教育《线性代数》模拟题及答案
山东大学网络教育线性代数模拟题（A）
一．单选题.
1.下列（A）是4级偶排列．
（A）4321；（B）4123；（C）1324；（D）2341．
2.如果
a11
a12
a13
1，D1
4a11
2a11
3a12
a13
，
Da21
a22
a23
4a21
2a21
3a22
a23
a31
a32
a33
4a31
2a31
3a32
a33
那么D1（D）．
（A）8；（B）12；（C）24；（D）
24．
3.设A与B均为nn矩阵，满足ABO，则必有
（C）．
（A）
（C）
AO
或B
O
；
（B）
A0
或B
0
；
（D）
ABO；
AB0．
4.设A为n阶方阵（n3），而A*是A的伴随矩阵，又k
为常数，且k0,1，则必有kA*等于（B）．
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
kA
*
kn1A*
knA*
k1A*．
5.向量组1,2,....,s线性相关的充要条件是（C）
（A）1,2,....,s中有一零向量
（B）1,2,....,s中任意两个向量的分量成比例
（C）1,2,....,s中有一个向量是其余向量的线性
组合
（D）1,2,....,s中任意一个向量都是其余向量的
线性组合
6.已知1,2是非齐次方程组Axb的两个不同解，
1,2是Ax0的基础解系，k1,k2为任意常数，则Axb的通解为（B）
（A）
（C）
2
2
;（B）
k11k2（
12）
1
2
2
;（D）
k11k2（
12）
1
k11k2（1
2）
1
2
2
k11k2（1
2）
1
2
2
7.λ＝2是A的特征值，则（A2/3）－1的一个特征值是（B）
（a）4/3（b）3/4（c）1/2（d）1/4
8.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为
1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-1-I|=（B）
（a）0（b）24（c）60（d）120
9.若A是（A），则A必有AA．
（A）对角矩阵；（B）三角矩阵；（C）可逆矩阵；（D）正交矩阵．
10.若A为可逆矩阵，下列（A）恒正确．
（A）2A2A；（B）2A12A1；
（C）（A1）1（A）1；（D）（A）1（A1）1．
二．计算题或证明题
1.设矩阵
322
Ak1k
423
（1）当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得
P－1AP为对角矩阵？
（2）求出P及相应的对角矩阵。
参考答案：
2.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*
是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：
d/λ是A*的一个特征值。
3.当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
有解时，求其解．
ax1x2x31
x1ax2x3a
2
x1x2ax3a
参考答案：
.当a1,2时有唯一解：
x1
a1,x2
1
x3
（a1）2
a2
a
2
a2
x1
1k1k2
当a1时，有无穷多解：
x2
k1
x3
k2
当a2时，无解。
4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
1
0
3
2
1
1
3
0
1
1
1
2
3
4
5
2
1
7
5
2
4
2
14
6
0
参考答案：
5.若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：
ABBA是对称矩阵．
参考答案：
山东大学网络教育线性代数模拟题（B）
一．单选题.
1.若
（1）N（1k4l5）a11ak2a43al4a55是五阶行列式aij的一项，则
k、l的值及该项符号为（A）．
（A）
k2
，
l3
，符号为负；（B）
，
符
k2l
3
号为正；
（C）
k3
，
2
，符号为负；（D）
，
2
，
l
k1l
符号为正．
2.下列行列式（A）的值必为零．
（A）
n阶行列式中，零元素个数多于
n2
n个；
（B）
n阶行列式中，零元素个数小于
n2
n个；
（C）
n阶行列式中，零元素个数多于
n个；
（D）
n阶行列式中，零元素的个数小于
n个．
3.设A，B均为n阶方阵，若ABAB
A2
B2，则
必有（
D）．
（A）AI；
（B）BO；
（C）AB；
（D）AB
BA．
4.设A与B均为nn矩阵，则必有（C）．
（A）ABAB；（B）ABBA；（C）ABBA；（D）
AB1A1B1．
5.如果向量可由向量组1,2,....,s线性表出，则（D/A）
（A）
存在一组不全为零的数
k1,k2,....,ks，使等式
k11
k22....kss成立
（B）存在一组全为零的数k1,k2,....,ks，使等式
k11k22....kss成立
（C）对的线性表示式不唯一
（D）向量组,1,2,....,s线性相关
6.齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是
（C）
（A）系数矩阵A的任意两个列向量线性相关
（B）系数矩阵A的任意两个列向量线性无关
（C）必有一列向量是其余向量的线性组合
（D）任一列向量都是其余向量的线性组合
7.设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则（λA－1）2＋I必有特征值（B）
（a）λ2+1
（
b）λ2-1（c）2（d）-2
3
2
1
8.已知A0
0
a与对角矩阵相似，则a＝
0
0
0
（A）
（a）0;（b）－1;（c）1;（d）
2
9.设A，B，C均为n阶方阵，下面（D）不是运算律．
（A）AB
C（CB）A；（B）（AB）C
ACBC；
（C）
A（BC）
；
（D）
（AC）B
．
（AB）C
（AB）C
10.下列矩阵（B）不是初等矩阵．
0
0
1
1
0
0
1
0
0
（A）0
1
0
；（B）0
0
0
；（C）0
2
0
；（D）
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
．
0
1
2
0
0
1
二．计算题或证明题
1.已知矩阵A，求A10。
其中A10
12
参考答案：
2.设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：
λ≠0且λ-1是A-1的一个特征值。
参考答案：
3.当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
有解时，求其解．
ax1x2x3a3
x1ax2x32
x1`x2ax32
参考答案：
当a1,2时有唯一解：
x1
a1,x2
3,x3
3
a2
a2
a2
x12k1k2
当a1时，有无穷多解：
x2k1
x3k2
当a2时，无解。
4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
1
1
1
1
2
1
1
0
1
2
3
4
3
1
2
0
4
1
1
2
参考答案：
极大无关组为：
a2,a3,a4，且a1a2a3a4
5.若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明T1AT是对称矩阵．
参考答案：
山东大学网络教育线性代数模拟题（C）
一．单选题.
1.设五阶行列式aijm，依下列次序对aij进行变换后，其结果是（C）．
交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．
（A）8m；
（B）3m；
（C）8m；
（D）1m．
4
2.如果方程组
3xkyz0
4yz0有非零解，则（D
）．
kx5yz0
（A）k0或k
1；（B）k1或k
2；（C）k1
或k1；（D）k1或k
3．
3.设A，B，C，I为同阶矩阵，若ABCI，则下
列各式中总是成立的有（A）．
（A）BCA
I；（B）
ACBI；（C）
BACI；
（D）CBAI．
4.设A，B，C为同阶矩阵，且A可逆，下式
（A）必成立．
（A）若ABAC，则BC；（B）若ABCB，则AC；
（C）若ACBC，则AB；（D）若BCO，则
BO．
5.若向量组1,2,....,s的秩为r，则（D）
（A）必定r
（B）向量组中任意小于r个向量的部分组线性无
关
（C）向量组中任意r个向量线性无关
（D）向量组中任意个r1向量必定线性相关
6.设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（C）
（A）12,23,31;（B）1,12,321;
（C）
12,23,31
;
（D）
1
2,2
2
3,3
3
1.
7.设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n
阶单位矩阵，则（D）
（a）λI-A＝λI-B（b）A与B有相同的
特征值和特征向量
（c）A与B都相似于一个对角矩阵
（d）kI-A与kI-B相似（k是常数）
8.当（C）时，A为正交矩阵，其中
ab
A
0c
（a）a=1,b=2,c=3;（b）a=b=c=1;（c）
a=1,b=0,c=-1;（d）a=b=1,c=0.
9.已知向量组1,2,3,4线性无关，则向量组
（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
12,23,34,41线性无关;
12,23,34,41线性无关;
12,23,34,41线性无关;
12,23,34,41线性无关.
10.当A（
B
）时，有
a1
a2
a3
a13c1
a2
A
b1
b2
b3
b1
c1
c2
c3
c1
1
0
0
1
0
（A）0
10
；（B）0
1
3
0
1
0
0
1
0
0
（D）0
1
0
．
0
3
1
3c2a33c3
b2b3．
c2c3
3003
0；（C）010；
1101
二．计算题或证明题
1.设A～B,试证明
（1）Am～Bm（m为正整数）
（2）如A可逆，则B也可逆，且A－1～B－1
参考答案：
2.如n阶矩阵A满足A2=A，证明：
A的特征值只能为0或-1。
参考答案：
3.当a、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
有解时，求其解．
x1
2x2
2x3
2x4
1
x2
x3
x4
1
x1
x2
x3
3x4
a
x1
x2
x3
5x4
b
参考答案：
x1
1
k2
当a=0,b=－2时有解
x2
1
k1k2
x
k
3
1
x4
k2
4.判断向量能否被1,2,3线性表出，若能写出它的一种表示法．
8
2
3
5
3
，
7
5
6
7
1
2
3
1
0
3
10
3
2
1
参考答案：
不能被1,2,3线性表示。
5.若方阵A可逆，则A的伴随矩阵A*也可逆，并求出A*的逆矩阵．
参考答案：
证明（略），（A*）11A
|A|
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