高中数学 12 解三角形应用举例1教学案 新人教版必修5.docx
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高中数学12解三角形应用举例1教学案新人教版必修5
2019-2020年高中数学1.2解三角形应用举例
（1）教学案新人教版必修5
一、教学目标
1能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
2激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二、教学重点、难点
1.重点：
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解.
2.难点：
根据题意建立数学模型，画出示意图.
三、教学设计
（一）预习教材指导
预习思考：
.如何将测量距离的实际问题转化为解三角形问题？
（二）新课导学
1.课题导入
★【例题讲解】
（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=.求A、B两点的距离（精确到0.1m）
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.
分析：
这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.
3.课堂练习
课本
4.课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：
理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：
根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：
利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：
检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
（三）作业设计
四、课后反思
2019-2020年高中数学1.2集合的基本关系名师考点精讲北师大版必修1
[读教材·填要点]
1．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．
2．子集
（1）定义及记法：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A是集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
（2）Venn图示：
当AB时，用Venn图表示，如图①，图②所示．
（3）子集的性质：
①任何一个集合都是它本身的子集，即AA；
②规定空集是任何集合的子集，即A.
3．集合相等
（1）定义及记法：
对于集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B．
（2）Venn图示：
当A＝B时，用Venn图表示，如图所示．
4．真子集
（1）定义及记法：
对于两个集合A与B，如果AB,并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）．
（2）Venn图示：
当AB时，用Venn图表示，如图表示．
5．不包含于或不包含
（1）记法：
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作AB（或BA）．
（2）Venn图示：
[小问题·大思维]
1．符号∈和有什么区别？
提示：
符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，
∈R；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须是集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}{1，0}，{x|x＜2}{x|x＜3}．
2．若AB，BC，则A⊆C，对吗？
若将“⊆”换成“”呢？
提示：
对，AB，BC即是任意x∈A，必有x∈B，进而x∈C，所以AC，换成“”也对．
3．空集没有子集，对吗？
若A≠，则A对吗？
提示：
空集是任何集合的子集，所以，故前一种说法不对．若A≠，则A，后一种说法对．
[研一题]
[例1] 已知集合M满足{1，2}M{1，2，3，4，5}，求所有满足条件的集合M.
[自主解答] 由题意知，M至少含有1，2两个元素，至多有1，2，3，4，5五个元素，所以满足条件的M有：
{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．
若本例中条件变为{1，2}M{1，2，3，4，5}，则这样的集合M共有多少个？
解：
有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}共6个．
[悟一法]
（1）求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．
（2）解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即和集合自身．
（3）含有n个元素的集合有2n个子集，有（2n－1）个真子集，有（2n－2）个非空真子集．
[通一类]
1．设A＝{x|（x2－16）（x2＋5x＋4）＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：
将方程（x2－16）（x2＋5x＋4）＝0.
因式分解得（x－4）（x＋1）（x＋4）2＝0，
则可得方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1，4}，其子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，1，4}，真子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}.
[研一题]
[例2] 已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，试求实数a，b的值．
[自主解答] ∵M＝N，
∴
或
解得
或
或
再根据集合中元素的互异性得
或
[悟一法]
解决集合相等问题的步骤：
①利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．②把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的互异性，则所求是可行的，否则应舍去．
[通一类]
2．若A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝
，n∈Z}，则（ ）
A．A＝B B．AB
C．ABD．以上都不对
解析：
∵A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，
B＝{x|x＝
，n∈Z}＝{0，1}．
∴A＝B.
答案：
A
3．试确定整数x和y，使得{2x，x＋y}＝{7，4}．
解：
由集合相等的定义，得
或
当
时，解得
∵x，y∈Z，∴该组解舍去．
当
时，解得
符合题意．
故x＝2且y＝5.
[研一题]
[例3] 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，a∈R}，若BA，求实数a的取值范围．
[自主解答] A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}，
∵BA，∴分B＝A，BA两种情况讨论．
①当A＝B时，B＝{－4，0}，
即－4，0是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.
②当BA时，若B＝，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，
解得a＜－1；
若B≠，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，解得a＝－1.
验证知B＝{0}满足条件．
综上可知，所求实数a的取值范围为a＝1或a≤－1.
[悟一法]
（1）根据两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合中元素的关系，转化为解方程或解不等式．
（2）空集是任何集合的子集，因此在处理A⊆B（B≠∅）的含参数问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况．
[通一类]
4．已知A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
若BA，试求a的值．
解：
由x2－2x－3＝0得，x＝－1或x＝3.
∴A＝{－1，3}．
（1）当a＝0时，方程ax＝1无解．
∴B＝，满足BA.
（2）当a≠0时，方程ax＝1的解为x＝
，∴B＝{
}．
∵BA＝{－1，3}．∴
＝－1或
＝3.
∴a＝－1或a＝
.
故a的值是0或－1或
.
设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.求实数m的取值范围．
[错解] ∵A＝{x|－1≤x≤6}，
又∵BA，∴
解得0.
∴实数m的取值范围是0.
[错因]
（1）忽略讨论B＝的情况从而导致漏解．空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对B＝与B≠两种情况分别确定m的取值范围．
（2）忽略等号成立的情况，从而导致漏解和错解．利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及到两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集合（具体的），解答时常借助于数轴来建立变量间的关系，需特别说明的是有关等号能否取到的问题（界点问题）既是学习的难点，也是平时考查的重点之一，应引起足够的重视．
[正解] ∵A＝{－1≤x≤6}，
又∵BA.
（1）当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝∅，符合题意．
（2）当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.
由BA，借助数轴表示如图所示．
则
解得0≤m≤
.
综上
（1）
（2）所述，m＜－2或0≤m≤
.
1．下列关系中正确的个数为（ ）
①0∈{0}，②{0}，③{0，1}{（0，1）}，
④{（1，3）}＝{（3，1）}
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
①②正确，③④错误．
答案：
B
2．（xx·大纲全国卷）已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（ ）
A．A⊆BB．C⊆B
C．D⊆CD．A⊆D
解析：
选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.
答案：
B
3．设集合A＝{x|1A．a≥2B．a≤1
C．a≥1D．a≤2
解析：
∵AB，∴任意x∈A，有x∈B，结合数轴可知，a≥2.
答案：
A
4．已知集合M＝{－8，1，9}，集合N＝{1，m－1}，若N⊆M，则实数m＝________．
解析：
∵m－1∈N，NM，∴m－1∈M，
∴m－1＝－8或m－1＝9，∴m＝－7或10.
答案：
－7或10
5．已知A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有________个．
解析：
由题意知，这样的集合A有{1}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}共5个．
答案：
5
6．已知M＝{0，2，b}，N＝{0，2，b2}，且M＝N，求实数b的值．
解：
∵M＝N，M＝{0，2，b}，N＝{0，2，b2}，
∴b＝b2，解得b＝1或b＝0.
经检验知，b＝1符合要求，∴b＝1.
一、选择题
1．下列关系正确的是（ ）
A．3∈{y|y＝x2＋π，x∈R}
B．{（a，b）}＝{（b，a）}
C．{（x，y）|x2－y2＝1}{（x，y）|（x2－y2）2＝1}
D．{x∈R|x2－2＝0}＝
解析：
由元素与集合，集合与集合间关系的定义知，A、B、D错误，C正确．
答案：
C
2．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则集合A、B、C之间关系完全正确的是（ ）
A．A≠B，AC，BCB．A＝B，AC，BC
C．A＝B，CA，CBD．A≠B，CA，CB
解析：
集合A中元素所具有的特征：
x＝2k＋1＝2（k＋1）－1，∵k∈Z，∴k＋1∈Z与集合B中元素所具有的特征完全相同，∴A＝B；当k＝2n时，x＝2k＋1＝4n＋1当k＝2n＋1时，x＝2k＋1＝4n＋3.即C是由集合A中的部分元素所组成的集合．∴CA，CB.
答案：
C
3．已知A＝{－2，xx，x2－1}，B＝{0，xx，x2－3x}，且A＝B，则x的值为（ ）
A．1B．0
C．－1D．－1，1
解析：
∵A＝B，∴
解得x＝1.
答案：
A
4．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则M和N的关系是（ ）
A．MN B．NM
C．M＝N D．NM
解析：
∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，－1}，∴NM.
答案：
B
二、填空题
5．已知集合A＝{2，9}，集合B＝{1－m，9}，且A＝B，则实数m＝________．
解析：
∵A＝B，∴1－m＝2.解得m＝－1.
答案：
－1
6．设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝
.则A，B的关系是________．
解析：
＝1可化为y＝x（x≠0），可知，集合A表示直线y＝x，集合B表示剔除（0，0）点的直线y＝x.故BA.
答案：
BA
7．定义A*B＝{x|x∈A且xB}，若A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则A*B的子集个数为________．
解析：
由A*B的定义知：
若A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}
则A*B＝{1，3}，∴子集个数为22＝4个．
答案：
4
8．设A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}．若BA，则a的值为________．
解析：
∵BA，∴a2－a＋1＝3或a.
当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验a＝－1，2均满足集合的互异性；
当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，故A＝{1，3，1}显然不满足集合元素的互异性，故a＝－1或2.
答案：
－1或2
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，
（1）若a＝
，试判定集合A与B的关系；
（2）若BA求实数a组成的集合C.
解：
由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，
∴A＝{3，5}．
（1）当a＝
时，由
x－1＝0得x＝5.
∴B＝{5}．
∴BA；
（2）∵A＝{3，5}且BA，
∴若B＝，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.
若B≠，则方程ax－1＝0中a≠0，得x＝
.
∴
＝3或
＝5，即a＝
或a＝
.
∴C＝{0，
，
}．
10．已知集合A＝{x|1解：
（1）当a＝0时，A＝，满足AB.
（2）当a＞0时，A＝{x|
＜x＜
}．
∵AB，∴
≤1即a≥2.
（3）当a＜0时，A＝{x|
＜x＜
}．
∵AB，∴
≥－2即a≤－1.
综上，实数a的范围是a＝0或a≤－1或a≥2.
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