专题15 线段垂直平分线问题解析版.docx

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专题15线段垂直平分线问题解析版

专题15线段垂直平分线问题

1.线段的垂直平分线定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

2.线段垂直平分线的做法

求作线段AB的垂直平分线.

作法：

（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

说明：

作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．

（2）作直线CD，CD即为所求直线．

说明：

线段的垂直平分线的实质是一条直线.

3.线段垂直平分线的性质：

（1）线段的垂直平分线定理：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

（2）线段的垂直平分线逆定理：

与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

说明：

线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

4.三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

说明：

（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.

（2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与

斜边中点重合.

（3）外心到三顶点的距离相等.

5.尺规作图

线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.

6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型

类型一：

线段的垂直平分线定理。

类型二：

线段的垂直平分线的逆定理。

类型三：

线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。

类型四：

尺规作图。

【例题1】（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）

A．8B．11C．16D．17

【答案】B

【解析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为

∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

∴△ACE的周长＝AC+CE+AE

＝AC+CE+BE

＝AC+BC

＝5+6

＝11．

【对点练习】（2019湖南湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝

，则BC的长是（　　）

A．10B．8C．4

D．2

【答案】D

【解析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2

x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；

∵∠C＝90°，cos∠BDC＝

，

设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2

x，

∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，

∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，

∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2

【点拨】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．

【例题2】（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　　．

【答案】78°．

【分析】过O作射线BP，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．

【解析】过O作射线BP，

∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，

∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，

∴∠DOE+∠ABC＝180°，

∵∠DOE+∠1＝180°，

∴∠ABC＝∠1＝39°，

∵OA＝OB＝OC，

∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，

∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，

∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°

【对点练习】（2020毕节市模拟）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为　　．

【答案】36°．

【解析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可得∠ABE=∠A=36°，然后可计算出∠EBC的度数．

∵等腰△ABC的底角为72°，

∴∠A=180°﹣72°×2=36°，

∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=36°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°．

【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．

【例题3】（2020连云港模拟）如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：

AD是线段BC的垂直平分线．

【答案】见解析

【解析】证明：

∵AB=AC（已知）

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）

又∵∠ABD=∠ACD（已知）

∴∠ABD-∠ABC=∠ACD-∠ACB（等式性质）

即∠DBC=∠DCB

∴DB=DC（等角对等边）

∵AB=AC（已知）

DB=DC（已证）

∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线

段的垂直平分线上）

∴AD是线段BC的垂直平分线。

【点拨】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了“两点确定一条直线”，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线．

【对点练习】（2019广西百色）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点

E、F．

（1）求证：

AE＝BF；

（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．

【答案】见解析。

【解析】

（1）证明：

四边形ABCD是菱形

∴AB＝BC，AD∥BC

∴∠A＝∠CBF

∵BE⊥AD、CF⊥AB

∴∠AEB＝∠BFC＝90°

∴△AEB≌△BFC（AAS）

∴AE＝BF

（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD

∴直线BE为AD的垂直平分线

∴BD＝AB＝2

【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．

【例题4】（2019广西北海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是（　　）

A．

B．4C．

D．2

【答案】B．

【解析】根据线段垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．

连接CD，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，

∴AB＝8，

∵BD＝CD，

∴∠B＝∠BCD＝30°，

∴∠DCA＝60°，

∵∠A＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴CD＝AD＝BD＝

AB＝4

【对点练习】电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析。

【解析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．

设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．

【点拨】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题．

一、选择题

1．（2020•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（　　）

A．△BPA为等腰三角形

B．AB与PD相互垂直平分

C．点A、B都在以PO为直径的圆上

D．PC为△BPA的边AB上的中线

【答案】B

【解析】根据切线的性质即可求出答案．

（A）∵PA、PB为圆O的切线，

∴PA＝PB，

∴△BPA是等腰三角形，故A正确．

（B）由圆的对称性可知：

AB⊥PD，但不一定平分，

故B不一定正确．

（C）连接OB、OA，

∵PA、PB为圆O的切线，

∴∠OBP＝∠OAP＝90°，

∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确．

（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，

∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D正确．

2.如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD

的周长是（）

A．9B．8C．7D．6

【答案】A

【解析】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．

因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.

【点拨】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．

3．（2019广西梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　）

A．12B．13C．14D．15

【答案】B．

8．【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．

∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∵AC＝8，BC＝5，

∴△BEC的周长是：

BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．

二、填空题

4．（2020长春模拟）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为　　．

【答案】6

【解析】由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解

∵ED垂直平分BC，

∴BE=CE，∠EDB=90°，

∵∠B=30°，ED=3，

∴BE=2DE=6，

∴CE=6．

5．（2020莱芜模拟）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，

则AD=　　cm．

【答案】2

【解析】连接BD．

∵AB=BC，∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=

（180°﹣∠ABC）=30°，

∴DC=2BD，

∵AB的垂直平分线是DE，

∴AD=BD，

∴DC=2AD，

∵AC=6，

∴AD=

×6=2

6．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝　　．

【答案】3

【解析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．

由作图步骤可得：

MN垂直平分AB，则AD＝BD，

∵BC＝5，CD＝2，

∴BD＝AD＝BC﹣DC＝5﹣2＝3．

三、解答题

7.如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．

【答案】7

【解析】∵DE为AB的中垂线，

∴AE=BE，

∵FG是AC的中垂线，

∴AG=GC，

△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：

△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，

所以△AEG的周长为BC的长度即7．

8.如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：

PO垂直平分AB．

【答案】见解析

【解析】证明：

∵OP是角平分线，

∴∠AOP=∠BOP

∵PA⊥OM,PB⊥ON,

∴∠OAP=∠OBP=90°

∴在△AOP和△BOP中

∴△AOP≌△BOP（AAS）

∴OA=OB

∴PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

9.已知：

如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点．求证：

BE=CE．

【答案】见解析

【解析】证明：

连结BC

∵AB＝AC，DB＝DC．

∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）

∴AD是线段BC的垂直平分线，

∵点E在AD上，

∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．

【点拨】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线．

10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.

求证：

CM=2BM.

【答案】见解析

【解析】如图所示，连接AM，

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，

∴∠MAC=90°，

∴CM=2AM，

∴CM=2BM．

11.（2019内蒙古赤峰）已知：

AC是▱ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在

（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．

【答案】见解析。

【解析】

（1）如图，CE为所作；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，

∵点E在线段AC的垂直平分线上，

∴EA＝EC，

∴△DCE的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．