第十三章全等三角形复习教案.docx

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第十三章全等三角形复习教案

第十三章全等三角形复习提要

一.知识点结构梳理及解读

1.全等形：

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2.全等三角形：

（1）定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）表示方法：

⊿ABC≌⊿DEF（）

（3）全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等

全等三角形的对应角相等

3.三角形全等的判定：

1边边边（SAS）:

三边对应相等的两个三角形全等。

2角边角（SAS）：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3角边角（ASA）：

两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。

角角边（AAS）：

两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。

4斜边，直角边（HL）：

斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

4.角的平分线的性质

1.角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2.角的平分线的判定：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

1．全等三角形：

⑴全等形：

能够完全重合的两个图形叫全等形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

⑵全等三角形的有关概念：

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

⑶全等三角形的性质：

全等三角形对应边相等，对应角相等；周长、面积也分别相等。

2.三角形全等的性质：

　　全等三角形的识别：

SAS，A

SA，AAS，SSS，HL（直角三角形）

3．角平分线的性质：

⑴角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角两边的距离相等。

　⑵角平分线的判定：

到角两边距离相等的点在角的平分线上。

⑶三角形三个内角平分线的性质：

三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

　　二、经验与提示

　　1．寻找全等三角形对应边、对应角的规律：

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角

是对应角．③有公

共边的，公共边一定是对应边．④有公共角的，公共角一定是对应角．⑤有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）

　　2．找全等三角形的方法

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以

从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

3．角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。

　　4．证明线段相等的方法：

两条线段证相等，全等图形边对应；等角对边中垂线，同倍等量轴对称。

线段和差及倍分，延长截取证相等。

（1）中点定义；

（2）等式的性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。

随着知识深化，今后还有其它方法。

　　5．证明角相等的方法：

欲证两角互相等，全等图形找对应；同角余补同倍量，分角线与等腰形；平行线之诸等角，对应两边互平行（垂直）；中线延倍有等角，分角线作线平行

（1）对顶角相等；

（2）同角（或等角）的余角（或

补角）相等；（3）两直线平行，同位角、内错角

相等；（4）角的平分线定义；（5）等式的性质；（6）垂直的定义；（7）全等三角形的对应角相等；[来源:

学科网]（8）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。

随着知识的深化，今后还有其它的方法。

　　6．证垂直的常用方法

（1）证明两直线的夹角等于90°；

（2）证明邻补角相等；（3）若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；（4）垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。

（5）证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；（6）邻补角的平分线互相垂直。

　　7．全等三角形中几个重要结论

（1）全等三角形对应角的平分线、中线、高分别相等（全等三角

形对应元素都分别相等）

（2）在一个三角形中，等边对等角，反过来，等角对等边；等腰三角形底边上的中线高顶角的平分线是一条线段；等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍；等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这条边的对角等于90°；Rt⊿30°角的对边等于斜边的一半，反之，Rt⊿中如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角是30°。

⑷三角形三内角平分线交于一点（这点叫三角形的内心，这点到三角形三边的距离相等）三角形两外角平分线与第三内角平分线交于一点（这点叫三角形的旁心，这点到三角形三边所在直线的距离相等）到三角形三边所在直线等距离的点有四个

三、典型例题　

例1：

已知：

AB=AC，AE=AF，BF、CE交于D。

求证：

AD平分∠BAC

例2．已知BE=ED，∠1=∠2，　求证：

⊿ABE≌⊿CDE。

例3：

求证：

等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。

已知：

如图，⊿ABC中，AB=AC，∠1=∠2，，求证：

AD⊥BC，BD=DC.　

例4已知：

如图,已知AB=DC,AC=DB,AC和DB相交于点O.　求证:

OB=OC；

例5已知：

如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝DC，AD∥BC，PＢ＝ＰC.求证：

PA=PD．

　　　　全等三角形的应用（生活实际问题）

（1）利用全等三角形配玻璃

例6如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（　　）（A）带①去（B）带②去（C）带③去（D）带①和②去答案：

C

（1）利用全等测距离

例7如图，工人师傅把两根钢条AA’和BB’中心铆在一起，可以做成一个测量工件内槽宽度的工具，请你结合图形，并利用你学过的知识，解释一下它的工作原理。

　　　　三角形中常见辅助线的作法

　　1、延长中线构造全等三角形

　　例1如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围．　提示：

延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．

　2、引平行线构造全等三角形

例2如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．求证：

DF=EF．提示：

此题辅助线作法较多，如：

①作DG∥AE交BC于G；　②作EH∥BA交BC的延长线于H；

再通过证三角形全等得DF＝EF．

　　3、作连线构造等腰三角形

例3如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．求证：

BD=DE=CE．

提示：

连结DC，证△ECD是等腰三角形．

　　4、利用翻折，构造全等三角形．

例4如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：

AC＝AB＋BD．提示：

将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．

5、作三角形的中位线

例5如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：

∠BME＝∠CNE．提示：

连结AC并取中点O，再连结OE、OF．　　则OE∥AB，OF∥CD，　故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．、　且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．　　

全等三角形复习练习题

一、选择题

1．如图，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E,BC=EF；③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F,；④AB=DE，∠B=∠E,AC=DF．其中，能使⊿ABC≌⊿DEF的条件共有（）A．1组

B．2组

C．3组

D．4组

2.如图，D,E分别为⊿ABC的AC,BC，边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点

处．若∠CDE=480，则∠APD等于（）A．420，B．480，C．520，D．580。

3.如图（四），点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出⊿APC≌⊿APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出⊿APC≌⊿APD的是（）A．BC=BD,B.AC=ADC.∠ACB=∠ADBD.∠CAB=∠DAB

4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）（A）∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF（C）∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF

5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC=10cm，则△DBE的周长等于（）A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm

6．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等则可供选择的地址有（）Ａ1处.Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处

7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去

8．如图，在Rt⊿ABC中，∠B=900，，DE是AC的垂直平分线，交BC于点E，交AC于点D．已知∠BAE=100，，则∠C数为（）A．300，B．400，C．500，D．600，

9．如图，⊿ABC≌⊿A′B′C′，∠A=30°，则∠A′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°

10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB；C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

12.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为（）A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定

13．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB。

B．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP

14.如图，已知AB=AD那么添加下列一个条件后，仍无法判定（）A．CB=CDB．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DCAD．∠B=∠D=900.

15.观察下列图形，则第n个形中三角形的个数是（）A．4nB．4n+1C．4n+2D．4n+3

二、填空题

1.如图，已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,⊿ABC≌⊿ADE，可补充的条件是（写出一个即可）．

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=10cm,则△DEB的周长为____

3.如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：

，使OC=OD（只添一个即可）．

4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘M，BC=8厘M，DC=6厘M，则点D到直线AB的距离是__________厘M。

5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律则第5个大三角形中白色三角形有个．

6.已知：

如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝___度.

7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有___（把你认为正确的序号都填上）。

8.如图所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是________.

三、解答题

1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：

BD=CE.

2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=400，，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=900，

（1）求∠DBC的度数；

（2）求证：

BD=CE．

3.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

4.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：

△ABC≌△DCB；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

5．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：

BD=2CE。

6.如图，AB=AC,AD⊥BC于D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于F，，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

7．已知：

如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：

△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

8．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给

予证明；若不成立请说明理由．

9．已知，如图13－6，D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,求证：

AD=CF．

10．阅读下面的证明过程：

已知：

如图8，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：

∠BAE=∠CAE．证明：

在△AEB和△AEC中，∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，∴△AEB≌△AEC……第一步∴∠BAE=∠CAE……第二步问上面证明过程是否正确？

若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．

11．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：

∠ADC＝∠BDE．

12．已知：

如图13－4，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：

△EAD≌△CAB．

13．如图13－5，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB,△BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形：

①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD；③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE．这些三角形真的全等吗？

简要说明理由．

14.如图，点A、E、F、C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？

15.如图，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB,△BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形：

①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD；③△CBE≌△BED④△ACE≌△ADE。

这些三角形真的全等吗？

简要说明理由。

16如图,∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么?

17.已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：

AC、BD互相平分。

18．已知；如图，BD⊥AB于B，DC⊥AC于C且BD=CD，求证：

AD平分∠BAC

19．已知：

如图AD为⊿ABC的高E为AC上一点，BE交AD于F，，且BF=AC，FD=CD。

求证：

BE⊥AC。

20．①求证：

有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。

②两边及其第三边上的中线对应相等的两三角形全等。

21.如图,CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE=BF，AD=BC,则

（1）△ADF和△BEC全等吗为什么？

（2）CM与DN相等吗?

为什么？

22.如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗?

23.如图,已知一个角∠AOB,你能否只用一块三角板作出它的平分线?

说明方法与理由.24、如图，AC=AB，AD平分∠CAB，E在AD上，则图中能全等的三角形有______对。

25、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．40cmB．6cmC．8cmD．10cm

26、如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线．

（1）若AB比AC长5cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________cm．

（2）若△AMC的面积为10cm2，则△ABC的面积为__________s2．A．10B．20　C．30　D．40

（3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．

27、在⊿ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是⊿ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

28、AD为ΔABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC=100°，则∠ADE=。

一、选择题1—5CBBD6—10DCBBA12—15CDCA

二、填空题1.略；2.10；3.AC=BD；4.6；5.283；6.120；7.①②③⑤；

一、两条线段证相等

①两条线段证相等，全等图形边对应；分角等角中垂线，同倍等量轴对称。

1、BECF是三角形ABC的两条高，P在直线BE上且BP=AC，Q在直线CF上且CQ=AB。

求证：

AP=AQ。

2、在RT⊿ABC中，CE平分∠ACB交AB于E,AD⊥BC于D交CE于O，OF∥BC。

求证：

AE=BF=AO。

3、AB=AC，∠B=∠C，E、F分别在AB、AC上（或已知AB=AC，AE=AF）。

求证：

OB=OC。

4、E、O、F三点共线，AB=CD，AD=BC，O为BD中点直线EF分别交BA、DC延长线于E、F，交AD、BC于M、N。

求证：

EM=FN。

5、E为正⊿ABC边AB中点，D为CB延长线上一点且BE=BD，求证：

DE=CE。

6、如图：

∠AFC=∠ABE，AD平分∠BAC分别交BE、CF于M、N，又BE、CF交于P且PQ⊥AD于Q。

求证MQ=NQ。

7、BE∥CD，且BE平分∠ABD，求证：

BC=BD.

8、C为等腰⊿ABE一腰AB延长线上一点且BC=EF，C、D、F三点共线。

求证：

CD=DF。

9、B、C、D三点共线，且有正△ABC与正△CDE，F为AD的中点，G为BE中点。

求证：

CF=FG=CG。

10、BE、CF为△ABC的二高，D为BC的中点，DG⊥EF,求证：

①DE=DF②EG=FG

11、AB=AC，∠1=∠2,∠3=∠4,求证：

BE=CF。

12、已知AB=BF，AD⊥EC，求证：

BC=EB。

13、分别以⊿ABC两边AB、AC为边长向形外作等边⊿ABD和等边⊿ACE，连接BE、CD，作AM⊥CD于M，作AN⊥BE于N，求证：

AM=AN

14、BE、CF分别是⊿ABC的中线，且BE=CF，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N。

则：

AM=AN

15、在△ABC中，∠B是锐角且∠B=2∠C，AD⊥BC于D，在AB延长线上取BE=BD，连接ED且延长交AC于F。

求证：

AF=DF=CF

16、如图

（1），Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

（1）求证：

CE=CF．

（2）将图

（1）中的△AD

E沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上

，其它条件不变，如图

（2）所示．试猜想：

BE'与CF有怎样的数量关系?

请证明你的结论．

17、△DAC,△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：

（1）AE=BD

（2）CM=CN（3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC

18、如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC.求证：

BE=CF

19、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上一点，连接DF和EF，求证：

DF=EF。

20、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．

（1）求证：

AN=BM；

（2）求证：

△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第

（1）、

（2）两小题的结论是否仍然成立。

21、如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图

（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：

h1+h2+h3=h在图

（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．

（1）请探究：

图

（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）

（2）证明图

（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论．（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：

；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

22、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：

EB=FC

23、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明若不成立请说明理由

24、如图所示，AD和BC相交于点O，BE⊥AD，DF⊥BC，BE＝DF，∠ABC＝∠CDA，那么AB＝CD吗？

说明理由．

25、.如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,EN⊥AC,求证：

BM=CN

证两角相等

欲证两角互相等，全等图形找对应；同角余补同倍量，

分角线与等腰形；平行线之诸等角，对应两边互平行；

中线延倍有等角，分角线作线平行。

1.已知BE、CF是⊿ABC之二高，求证：

∠ABE=∠ACF。

2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BE⊥AC交中线AD于H交边AC于E（D在BC上），M为AH中点。

求证：

∠AEM=∠EBC。

3.直角三角形直角的平分线，平分斜边上的中线和高的夹角。

4。

E、F分别是∠AOB的两边OA、OB上的点，且OE=OF，OA=OB，AE、BF交于P。

求证：

OP平分∠AOB（用两种方法证之，其一：

连接AB）

5.BE、CF是等腰三角形ABC两底角平分线，E在AC上，F在AB上，AP⊥CF，AQ⊥BE。

求证：

∠APQ=∠AQP。

6.在RT⊿ABC中，∠A=900，AD⊥BC，∠C平