高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷理.docx
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高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷理
2019-2020年高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷理
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1.【xx广西柳州两校联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，
该几何体的俯视图为C．故选：
C．
2.等比数列的前项和为，则（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
试题分析：
.
考点：
等比数列.
3.【xx江西新余一中四模】如图，已知，若点满足，，（），则（）
A.B.C.D.
【答案】D
4.若对于任意的,关于的不等式恒成立，则的最小值为（）
A．B．C.D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
设，根据已知条件知：
，该不等式表示的平面区域如图所示，设，所以，所以该方程表示以原点为圆心，半径为的圆，原点到直线的距离为，所以该圆的半径，解得，故选A.
考点：
简单的线性规划求最值.
5.设是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）
A．存在唯一直线，使得，且
B．存在唯一直线，使得，且
C．存在唯一平面，使得，且
D．存在唯一平面，使得，且
【答案】C
【解析】
考点：
空间点线面位置关系.
6.在三棱锥中，侧面、侧面、侧两两互相垂直，且，设三棱锥的体积为，三棱锥的外接球的体积为，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
由侧面、侧面、侧两两互相垂直知两两相互垂直，不妨设，，，则．三棱锥的外接球的直径，所以，所以，故选A．
考点：
1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．
7.【xx辽宁沈阳四校联考】正三角形边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（）
A.B.C.D.
【答案】A
外接球的表面积为：
4πr2=7π
故选：
A．
点睛：
空间几何体与球接、切问题的求解方法
（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
8.平行四边形中，
点在边上，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
考点：
平面向量的数量积的运算.
【方法点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算，建模思想，二次函数求最值，数形结合，属于中档题，先根据向量的数量积的运算，求出，再建立坐标系，得，构造函数，利用函数的单调性求出函数的值域，问题得以解决，因此正确建立直角坐标系，将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键.
9.设成等比数列，其公比为3，则的值为（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：
考点：
等比数列通项公式
10.【xx江西新余一中四模】已知数列满足，且（），则的整数部分是（）
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】（），
，
则的整数部分为
故选
点睛：
本题考查数列的综合运用，需根据条件利用裂项法构造新的数列，运用裂项求和得出和的结果，然后推导出其整数部分，注意条件的运用及转化
11.如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）
（1）EP⊥AC；
（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系
12.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（）
【答案】B
【解析】
试题分析：
球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：
（1）当；
（2）当；（3）当.
（1）当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为，且为函数的最大值；
（2）当时，以为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为
（1）中的一半；（3）当时，以为球心，为半径作一个球，其弧长为，且为函数的最大值，对照选项可得B正确.
考点：
函数图象.
【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：
（1）当；
（2）当；（3）当.其中
（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，
（2）中的弧长为
（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：
由，得
，即，所以＝．
考点：
1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．
14.已知数列的前项和为，，则数列的前项和.
【答案】
【解析】
考点：
等比数列求通项公式与求和.
【方法点晴】本题考查学生的是等比数列求通项公式与求和,属于基础题目.首先由和的等式,求出通项公式,基本方法有两种,一种是用替换原式中的得到另一个等式,两式作差消去,是一个关于与的递推关系式,从而求出;第二种是把代入,消去,先求出再求.求出通项公式后判断其为等比数列,用求和公式即可求解.
15.【xx湖南五市十校联考】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．
【答案】
【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
，球的表面积.
点睛：
本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：
三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
16.三棱锥内接于球，，当三棱锥的三个侧面积和最大时，球的体积为．
【答案】
【解析】
考点：
几何体的外接球．
【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点．找几何体外接球球心的一般方法:
过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心．三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:
．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且，为的中点.
E
D
C
B
A
P
（I）求证：
平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（I）详见解析（II）
【解析】
试题解析：
解：
（I）连接，交于点，连接，则是的中点.
又∵是的中点，∴是的中位线，
∴，又∵平面，平面，
∴平面.
（II）∵，，，∴平面，
如图，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，由，得，
，令，则，，
∴，又∵，
∴
，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
z
y
x
O
E
D
C
B
A
P
考点：
线面平行判定定理，利用空间向量求线面角
【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：
第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
18.在中，角，，的对边分别是，，，且向量与向量共线.
（1）求；
（2）若，，，且，求的长度.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
试题分析：
（1）根据条件中的向量共线得到，，满足的一个式子，再进行三角恒等变形即可求解；
考点：
1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形．
19.【xx江西南昌摸底】已知数列的前项和，记.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】试题分析：
（1）利用，同时验证时也满足，可得通项公式；
（2）利用分组求和及等比数列前项和公式可求得结果.
试题解析：
（1）∵，∴当时，∴；当时，
，又，∴
（2）由
（1）知，，∴
．
点睛：
解题中，在利用的同时一定要注意和两种情况，否则容易出错；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
20.已知数列的首项，且.
（Ⅰ）证明：
数列是等比数列.
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）证明数列为等比数列，一般方法为定义法，即确定相邻两项的比值为非零常数：
利用代入化简
，再说明不为零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根据等比数列通项公式求，即得，代入，可得，因此其前项和应用错位相减法求。
试题解析：
解（Ⅰ）证明：
∴
又，∴，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）知，，
即.
∴.
于是
，①
，②
由①-②得，
，
即
，
∴数列的前项和.
考点：
等比数列定义及通项，错位相减法求和
21.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】
（1）详见解析
（2）（3）
【解析】
试题解析：
（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，
又平面平面，且
平面平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
，，，，，，则，．
，，为平面的一个法向量．
又
，
平面．
（2）设平面的一个法向量为，则
，，
，取，得．
平面，平面一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则
．
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（3）根据
（2）知平面一个法向量为，
，
，
设直线与平面所成角为，则
．
因此，直线与平面所成角的余弦值为．
考点：
1．线面平行的判定；2．二面角求解；3．直线与平面所成角
22.【xx广西两市联考】如图，三棱柱中，平面，分别为和的中点，是边长为2的正三角形，.
（1）证明：
平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）.
试题解析：
（1）证明:
取的中点，连接，
∵分别为和的中点，
∴，，∴，，
则四边形是平行四边形，则.
∵平面，平面，∴平面；
（2）取中点，∵为等边三角形，∴.
又平面，，∴平面，
建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系如图:
则
，，
则设平面的法向量为，，，
则，即
令，则，即，
平面的法向量为，，，
则，得，即，
令，则，即，
则，
即二面角的余弦值是.
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