全等三角形问题中常见8种辅助线的作法.docx
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全等三角形问题中常见8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见8种辅助线的作法
姓名：
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指导：
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日期：
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01
倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD平分∠BAE.
应用：
1、（崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：
AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
02
截长补短
1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：
CD⊥AC
2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证：
AB＝AD+BC。
3、如图，已知在△ABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：
∠A+∠C=180°
5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
应用：
03
平移变换
例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PB，△EBC周长记为.求证PB＞PA.
例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：
AB+ACAD+AE.
04
借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：
OE=OD
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
应用：
1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
05
旋转
例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
例2D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。
例3如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为；
应用：
1、已知四边形中ABCD，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF．
当∠MBN绕点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
3、在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究：
当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q/L=；
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=x，则Q=（用x、L表示）．
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