等差数列的前n项和练习含答案.docx
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等差数列的前n项和练习含答案
等差数列的前n项和练习-含答案
LT
方法三：
∵{an}为等差数列，
所以Sn＝na1＋
d，
所以
＝a1－
＋
n，所以
是等差数列．
因为12,20,28成等差数列，
所以
，
，
成等差数列，
所以2×
＝
＋
，解得S28＝1092.
【规律方法】 基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．
课后作业
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10等于（ ）
A．100 B．210
C．380D．400
【答案】 B
【解析】 d＝
＝
＝4，则a1＝3，所以S10＝210.
2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝（ ）
A．27B．24
C．29D．48
【答案】 C
【解析】 由已知
解得
∴a10＝2＋9×3＝29.
3．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则这个数列一定是（ ）
A．等差数列B．非等差数列
C．常数列D．等差数列或常数列
【答案】 B
【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[（n－1）2＋2（n－1）－1]＝2n＋1，当n＝1时a1＝S1＝2.
∴an＝
这不是等差数列．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（ ）
A．6B．7
C．8D．9
【答案】 A
【解析】
∴
∴Sn＝na1＋
d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.
＝（n－6）2－36.
即n＝6时，Sn最小．
5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于（ ）
A．22B．21
C．19D．18
【答案】 D
【解析】 ∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，
an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146，
∴5（a1＋an）＝180，a1＋an＝36，
Sn＝
＝
＝234.
∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.
6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为（ ）
A．8B．7
C．6D．5
【答案】 D
【解析】 S奇＝6a1＋
×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋
×2d＝5（a1＋5d）＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.
7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知
＝
，则
等于（ ）
A．7B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
＝
＝
＝
＝
＝
.
8．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于（ ）
A．445B．765
C．1080D．1305
【答案】 B
【解析】 an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．
∴an＝－60＋（n－1）×3，即an＝3n－63.
∴an＝0时，n＝21，an>0时，n>21，an<0时，n<21.
S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|
＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30
＝－2（a1＋a2＋…＋a21）＋S30
＝－2S21＋S30
＝765.
二、填空题（每小题10分，共20分）
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列的通项公式an＝________.
【答案】 2n
【解析】 设等差数列{an}的公差d，则
，∴
，∴an＝2n.
10．等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于________．
【答案】 10
【解析】 ∵等差数列共有2n＋1项，∴S奇－S偶＝an＋1＝
.
即132－120＝
，求得n＝10.
【规律方法】 利用了等差数列前n项和的性质，比较简捷．
三、解答题（每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
11．在等差数列{an}中，
（1）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
（2）若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.
【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式和前n项和公式，先求出a1和d，然后再求前n项和或特别的项．
【解析】
（1）∵a6＝10，S5＝5，
∴
解方程组，得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝
＝44.
（2）由Sn＝
＝
＝－1022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋（n－1）d，
即－512＝1＋（4－1）d，
解得d＝－171.
【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．
12．已知等差数列{an}，且满足an＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？
【解析】 方法一：
（二次函数法）∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
∴Sn＝
＝
·n＝－2n2＋38n
＝－2[n2－19n＋（
）2]＋
＝－2（n－
）2＋
.
令n－
＝0，则n＝
＝9.5，且n∈N＋，
∴当n＝9或n＝10时，Sn最大，
∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2（10－
）2＋
＝180.
方法二：
（图象法）∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，
Sn＝na1＋
d＝36n＋
·（－4）＝－2n2＋38n，
点（n，Sn）在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，Sn有最大值，其对称轴为x＝－
＝
＝9.5，
∴当n＝10或9时，Sn最大．
∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2×102＋38×10＝180.
方法三：
（通项法）∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
a2＝40－4×2＝32，
∴d＝32－36＝－4<0，数列{an}为递减数列．
令
有
∴
即9≤n≤10.
当n＝9或n＝10时，Sn最大．
∴Sn的最大值为S9＝S10＝
×10＝
×10＝180.
【规律方法】 对于方法一，一定要强调n∈N＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n＝9或n＝10，需注意am＝0时，Sm－1＝Sm同为Sn的最值．
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