储油罐变位问题的数学模型.docx
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储油罐变位问题的数学模型
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文针对A题储油罐的变位识别与罐容表标定问题进行了分析与研究。
第一咱们对储油罐的“油位计量治理系统”，罐容表标定值等相关知识进行了搜集；利用微积分等数学知识在理论上求解复杂空间儿何体积V与高度H之间的关系，从而对应得出储油罐内储油量与油位高度之间的关系：
另外通过分析相关数据，利用数据的线性回归分析的方式寻觅出储油罐内油位高度与储油量之间的对应关系，并成立了相应客观清楚的数据模型。
第二，针对问题
（1）与问题
（2）进行初步分析。
关于问题
（1）：
成立儿何理论模型、数据模拟模型、阻碍比例模型并对其进行模型分析。
通过模型求解得知，纵向变位对罐容表有专门大的阻碍，即在油位高度相等的情形下，有变位时的储油量比无变位时的储油量明显减少，而减少的多少那么依如实际情形的不同而发生转变，在理论计算进程中，利用公式求解可得，变位时储油量减少范围在200I?
850L之间，前后储油量差值比例在9广%之间不等；向罐内加油时，有倾斜变位加油时储油量减少范用在140C283L之间，前后储油量差值比例在%%之间不等。
通过理论讣算，在油罐发生二4.1°的纵向变位后罐内储油量V与油位高度H的表达式为：
Vl2='lan。
（abarcsin-~~-+—（y-b）yjb2-（b-y）2+ab,
y=-ztana+h]2+a,因此在高度为的储油罐内，咱们将距离为lcm油位高度别离代入上式，取得油位高度距离为lcm的罐容表标定值，见文中表格（3）。
关于问题
（2）：
针对空间结构较为复杂的实际储油罐，利用分割法，成立双变位模型，可得到V与&、0和h之间的关系：
V?
=V21+V22+V23,结合关系式和测量数据，利用MATLAB软件求得：
a=3.6。
，0=4.丁。
另外再利用公式V2=V21+V22+V23,求得罐体变位后油位高度距离为10cm的罐容表标定值，见文中表格（4）。
最后成立相对误差模型，山关系式取得储油罐油位高度距离为10cm的罐容表标定值；对附表2中所给的实验数据用SPSS分析方式对曲线进行模拟，取得模拟的测定罐容表标定值，通过比较标定值之间的误差大小，即可明白模型的正确性与方式的靠得住性。
本文中求解取得标准值不同比例为%-□%,大体上误差保留在6%之内，因此利用双向变位模型求得的函数关系式靠得住性较强。
关键词：
分割法标定值阻碍比例模型数据模拟靠得住性
一问题的重述与提出
在全世界经济飞速进展的背景下，像燃油等能源的合理进展利用加大推进了社会的进步。
贮存燃油的储油罐是加油站通常所必备的储蓄装置，为了保证储油罐正常工作和平安等方面问题，一样都有与之配套的“油位计量治理系统”，釆纳流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表来测量罐内油位高度和储油量的转变情形。
但在许多悄形下，储油罐在利用一段时刻后，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变位情形，从而致使罐容表发生改变。
依照有关规定，需要按期对罐容表进行从头标定。
关于实际储油罐（主体为圆柱体，两头为球冠体），要紧有纵向倾斜变位和横向偏转变位两种变位情形；关于小椭圆型储油罐（两头平头的椭圆柱体）只考虑在纵向倾斜变位情形下的罐容表进行从头标定。
要研究解决储油罐的变位识别与罐容表的从头标定，咱们需要探讨解决以下要紧问题：
（1）中的问题：
问题一:
成立模型讨论在小椭圆型储油罐在倾斜角为=4.1°的纵向变位的情形下，储油罐内储油量和罐内油位高度之间的函数关系；并讨论罐体变位后对罐容表的阻碍；
问题二：
利用罐体变位后储油量和油位高度间的对应关系，计算出罐体变位后油位高度距离为lcm的罐容表标定值。
（2）中的问题：
问题三：
关于实际储油罐，求解灌内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾
斜角度和横向偏转角度）之间的一样函数关系式；
问题四：
在灌内储油量与油位高度及变位参数间的关系式确信以后，利用附表2中储油罐变位后在进/出油进程中的实际检测数据确信变位参数纵向倾斜角度和横向偏转角度；
问题五：
讣算罐体变位后油位高度距离为10cm的罐容表标定值；
问题六：
利用附件2中的实际检测数据来分析查验模型的正确性与方式的靠得住性。
1、储油罐的纵向倾斜和横向偏转等变形变位都是微小转变，微小变位对储油罐的位置可不能有太大的阻碍；
2、假定储油罐内所贮存油的密度为必然值，即能够用贮存罐内油的体积来表示其贮存量；
3、油位探针、注油口、检查口、出油口等在储油罐内的体积为0,即不占据储油罐内储油量体积，不考虑储油罐的壁厚；
4、油位探针的低端始终固定在储油罐某一名置处，当储油罐纵向倾斜角&和横向偏转角”时油位探针低端始终固定在一点。
五、在计算储油罐内油位高度h时，以油位探针上的油浮子下表面中心处为读数标准。
六、假设储油罐的质量良好，在油量贮存进程中可不能显现油量泄漏等情形。
7、不管储油罐是在无变位仍是在有变位悄形下，假设储油罐内的储油量不超过贮存罐的最大容量V。
八、在储油罐有变位的情形下，假设油位探针测量的储油罐内油位高度ho>O,即维持储油罐内储油量能成为油位高度的函数。
三符号的约定
务：
小椭圆型储油罐变位时的纵向倾斜角，其值为4.1°：
&：
实际储油罐的纵向倾斜角；
0：
实际储油罐的横向偏转角：
V：
储油罐内总储油量体积；
S：
储油罐内储油量体积的截面面积；
L：
储油罐内储油量体积的长度；
h:
储油罐内油位高度；
a:
小椭圆型储油罐底面的长轴长，其值为0.89m：
b:
小椭圆型储油罐底面的短轴长，其值为0.60m：
V,,：
表示小椭圆型储油罐无变位条件下的储油量（即体积）；
S,,:
表示小椭圆型储油罐无变位时灌内储油量体积在竖直方向上截面面积；
//„：
表示小椭圆型储油罐无变位条件下油位高度；
V』小椭圆型储油罐在倾斜角为*4.1°纵向变位时储油量体积；
/；12:
小椭圆型储油罐在倾斜角为*4.1°纵向变位时油位高度；
R：
表示实际储油罐中间柱体底面半径，其值为1.5m：
V21：
表示实际储油罐发生两方位变位时，油量在中间柱体内所占据空间的体积;
V22：
表示实际储油罐发生两方位变位时，油量在左侧球罐体内所占据空间的体
积；
V23：
表示实际储油罐发生两方位变位时，油量在右边球罐体内所占据空间的体
积；
h,：
表示题二中仅纵向偏移的油位高度；
他：
表示题二中实际储油罐内油位舟度；
r:
表示实际储油罐的双侧球冠体在xOy平面所截得的半径；
Ro：
表示球冠与yOz面相截所得圆的半径；
H：
表示球冠在在z轴上的长；
四问题分析
本文要紧解决两方面的问题，即题中
（1）与
（2）中的相关问题。
关于
（1）中的问题可分为：
问题一：
小椭圆型储油罐罐体变位后对罐容表的阻碍；
问题一的分析：
要想得知小椭圆型储油罐变位后对罐容表的阻碍，需要分析小椭圆型储油罐在发生变位前后罐容表的情形，即需要明白小椭圆型储油罐在发生变位前后管内储油量V与油位高度H之间的关系，通过比较从而清楚地明白罐体变位对罐容表的阻碍。
能够从两个方面讨论：
理论计算方面和实际测量方面，只要小椭圆型储油罐发生变位，那么不管从理论方面仍是实际方面，前后罐容表标定值将都会有专门大的不同，即变位会对罐容表标定值有专门大阻碍。
在理论方面，成立儿何理论模型，能够利用儿何关系求得罐体变位前后油量体积和高度之间的函数关系，从而取得罐体变位前后储油量和油位高度之间的关系，通过成立阻碍比例模型，得知理论上罐体变位后对罐容表的阻碍；在实际方面，成立数据模拟模型，再次通过阻碍比例模型通过处置附表1中的实际测量数据将直接得知罐体变位后对罐容表的阻碍。
问题二：
求解小椭圆型储油罐罐体变位后油位高度距离为1cm的罐容表标定值。
问题二的分析：
成立直接代入模型。
在求解问题一的进程中，将会取得储油罐罐体变位后对罐容表的理论关系式，因此能够直接将数据代入模型，不同的油位高度代入方程式后即可求得距离为lcm的罐容表标定值。
关于
（2）中的问题可分为：
问题三：
求解实际储油罐储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度0）之间的一样函数关系式；
关于问题三的分析：
当实际储油罐在纵向倾斜和横向偏移的两个方向都发生变位的时候，成立双向变位模型，利用儿何关系求得罐体变位后储油量V和a、0、三者之间的关系。
问题四：
利用实际检测数据确信变位参数纵向倾斜角度a和横向偏转角度0：
关于问题四的分析：
利用定参模型，在问题三的进程中将会求得储油量V和Q、卩、/2三者之间的关系式，利用附表2中的测量数据，在储油量V和油位高度H已知的情形下，即可求得相关参数a、0。
问题五：
计算罐体变位后油位高度距离为10cm的罐容表标定值，分析方式同问题二。
问题六：
分析检验模型的正确性与方式的靠得住性，分析方式同问题一。
五模型的成立与求解
（1）中的问题：
求解小椭圆型储油罐变位前后的罐容表标定值等有关问题
问题一：
小椭圆型储油罐在发生纵向倾斜*4.1°转变悄形下，储油罐内储油量和罐内油位高度之间的函数关系，研究纵向倾斜角cc对罐容表的阻碍。
模型一：
儿何理论模型（分为变位前和变位后两种情形）
第一种惜形：
求小椭圆型储油罐无变位时V与H间的关系式
（―）问题的分析：
为了能够清楚地对照出小椭圆型储油罐在发生纵向倾斜0=4.1°前后罐容表
的转变情形，分析纵向倾斜角a对储油罐内储油量和油位高度之间的对应关系阻碍如何，咱们第一对小椭圆型储油罐在无发生任何变形等理想情形下的罐容表标定值进行了理论计算，成立了理想儿何模型确信出储油罐内储油量与油位高度之间的函数关系式。
（二）模型的成立及应用：
如图
（1）、
（2）所示，小椭圆型储油罐在无变位的情形下罐底截面和整体的图形形状。
很明显得知，在小椭圆型储油罐无变位情形时，其灌内储油量所占据的储油罐体积是规那么立体图形，整体积二底面积*高:
VH=LSn
（1）
由于小椭圆型储油罐底面图形为椭圆，但当储油罐内油位高度不同的时候，灌内储油量所占据的储油罐体积底面截面的形状就不一样，如下图，利用积分的方式进行求解底面积，
Sn=[z^（^arcsin-+-yJb2-y2）
（2）
」bb
由
（1）
（2）两式得：
V"二L『二十加（abarcsin丄+#yj，）（3）
Jbb°
将相关数据带入通过积分得：
V"二彳厶（知1一”）\〃5（"-你）+b'arcsin（牛_1）+*初丄
=[J（/?
u-0.6）（1.2/zu-/?
u2）+0.36arcsin（—-1）+0.1]（4）
0.6
即（4）式表达出了小椭圆型储油罐在无纵向倾斜变位时，储油罐内储油量V和油位高度H之间的函数关系。
将其函数关系曲线用MATLAB刻画出，如以下图所示：
（图中H即公式中久均表示油位高度）
3.6342（（H-0.6）（1.2H-H2）1/2+0.36asin（H./0.6-1）+0.18罚
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
图（3）小椭圆型储油罐无变位时储油量与油位高度的理论关系图
第二种情形：
求小椭圆型储油罐发生纵向倾斜角为6^4.1°变位时V与H间
的关系式。
（一）问题的分析:
当小椭圆型储油罐在发生纵向倾斜角为*4.1°的变位情形下，山于岀游灌内
储油量所占据的空间儿何体是发杂不规那么的形状，没有明确而正确的计算公式去讣算灌内储油量跟油位高度之间的函数关系；因此为了较准确地求解岀在微小变形情形下，储油量跟油位高度之间的关系，咱们利用空间直角坐标系，成立纵向变位模型，合理准确地解决了问题。
（二）模型的成立及应用：
如图（3）、（4）所示，小椭圆型储油罐在发生纵向倾斜角为*4.1°的变位
情形下罐底截面和整体的图形形状。
图（4）小椭圆型储油罐纵向倾斜&=4、1°时底面图
图（5）小椭圆型油罐纵向倾斜a=44°时，成立空间直角坐标系图
在结合如图（4）（5）的表达，很明显利用二重积分的求解方式求得小椭圆型储油罐储油量V和油位高度H之间的关系：
（5）
/（（y-0.6）2_1
r丁;1
0.8920.62
0y=-Ztana+h,2+a（7）
公式（5）小椭圆型储油罐下底面椭圆的方程式；
公式（6）表示竖坐标z的取值范围；
公式（7）表示岀在座标系中y、z、hy和a之间的对应关系；
1.2）/?
12）2.05tana（8）
0〈/片2〈2・05tana（9）
=0（10）
公式（8）、（9）、（10）表示当油位高度如不同范圉内储油量乂2的计算式;将（9）式积分求解，取得油罐两头均有油时储油量与油位高度的关系：
V12=2UnCf（"arcsin;—+y（y-b）yjb2-（b-y）2+ab^）dz（11）
类似的，咱们依照（8）（10）取得只是积分限不同的积分式子。
模型二：
数据模拟模型
（1）问题的分析：
通过模型一和模型二成立与求解，在理论计算上，咱们对小椭圆型储油罐在无变位和纵向有变位时储油罐内储油量和油位高度之间的函数关系进行了研究;在题口的附表1中，咱们得知储油罐内储油量和油位高度之间关系的实际测量值，利用SPSS软件对所给的数据进行了处置，成立了数据回归分析模型，模拟分析了发生变位前后储油量和油位高度之间的数量转变规律，并取得了近似一次线性函数的数学表达式，从而得出变位对罐体容量标定值的阻碍。
（2）模型的成立及应用：
第一种情形：
在进油情形下，无变位进油和倾斜变位进油时前后之间储油量的转变。
1、模拟小椭圆型贮存罐无纵向变位加油时的罐容表曲线。
5000
X油位高
图（6）小椭圆型储油罐无变位时每次加油后储油罐内总储油量与油位高的测量数据模拟图。
（x坐标单位为mm,y坐标单位为L）
通过精准模拟得方程为：
y=（12）
二、模拟小椭圆型贮存罐纵向变位加油时的罐容表曲线。
4000
X油位高
图（7）小椭圆型储油罐在纵向倾斜角变位a=4.1°时每次进油后储油罐内总储油量与油位高的测量数据模拟图。
（X坐标单位为mm,y坐标单位为L）
通过精准模拟得方程为：
y=（13）
模型三：
阻碍比例模型
第一种情形：
（一）问题的分析：
当利用儿何理论模型时，就只是利用数学有关方面的知识，别离计算岀小椭圆型储油罐在无变位情形下储油量和油位高度之间的对应关系；也可求出当小椭圆型储油罐在纵向倾斜角a=4.1°时储油量和油位高度之间的对应关系。
因此,
咱们只需要确信油位高度，采纳操纵变量的方式求得有无变位询后储油罐两次储油量的大小关系，通过对照，即可得知纵向变位&对灌内储油量是不是有阻碍，和阻碍程度等。
（二）模型的成立及应用
如以下图所示，共采取了当油位高度为410mm-1190mm的79组数据,计算岀了在儿何理论模型的情形下，小椭圆型储油罐无变位时和变位a时储油量的大小值，和储油量前后之间的差值。
文中只给出了17组数据，详细数据见附录。
表格
（一）小椭圆型储油罐在相同油位高度时，利用理论儿何方程关系式,求得其有无变位前后储油量之间的关系表
表格
（一）
序号
油位高度/mm
无变位时储汕量的标泄值L
有变位时储油量的标定值L
有无变位时储汕量之间的差值
变位前后储油量差值比例
1
■110
2
120
3
430
4
480
5
490
2238
6
500
7
510
8
840
9
890
10
900
11
910
12
1090
13
1100
14
1160
15
1170
16
1180
17
1190
第二种情形:
（一）问题的分析：
利用题中所给的实际测量数据，在上一步的数据模拟模型中，利用利用SPSS软件对所给的数据进行了处置，成立了数据回归分析模型，形成了线性比例关系式，通过对小椭圆型储油罐在相同油位高度时加油时，分析有无变位前后储油量之间的转变关系，从而得知变成对储油量的阻碍，和阻碍的程度。
（二）模型的成立及其应用：
图中只给出了19组数据，依照随机取点的方式
表格
（二）小椭圆型储油罐在相同油位高度时加油时，有无变位前后储油量之间的关系表
表格
（二）
序号
油位高度
mm
无变位加油时储油量/L
有变位加油时储油量/L
加油时有无变位前后油量之差
储油量差值比例
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
有关结论：
在表格
（一）中，显示出的是利用空间儿何模型体积的计算方式来反映出在理论情形下，在表格
（二）中，显示出的是利用储油罐有无变位加油时的测量数据来反映出在实际测量情形下，变位对小椭圆型储油罐储油量的阻碍及其阻碍程度。
从图表中得知：
不管是在理论计算进程中仍是在实际向罐内加油时，咱们会发此刻油位高度相同的情形下，发生纵向倾斜变位后灌内储油量老是少于未发生变位时储油量。
不管是在利用公式解析，仍是在加油出油等情形下，发生变位时使得储油量在一样油位高度下减少（或使得油位高度在一样储油量时增加）。
而减少的多少大小那么依如实际情形而不同。
如在利用公式在理论计算进程中，变位时储油量减少范围在200L-850L之间，前后储油量差值比例在之间不等。
向罐内加油时，有倾斜变位加油时储油量减少范圉在140~283之间，前后储油量差值比例在之间不等。
问题二小椭圆型储油罐在倾斜角为6^4.1°纵向变位后，计算罐体变位后油位高度距离为lcm的罐容表标定值。
模型四：
直接带入模型
（一）问题的分析：
在计算罐体变位后油位距离髙度为lcm的罐容表标定值之前，利用儿何模型的求解方式求得管内储油量与油位高度之间的函数关系式。
（二）模型的成立与应用
题H要求中规定油位高度距离为lcm时内的储油量，乂因为小椭圆型储油罐的总高度为120cm,因此共分成了120组数据，在小椭圆型储油罐在倾斜角为0=4.1°纵向变位后，计算罐体变位后油位高度距离为lcm的罐容表标定值如下表三。
表格（三）
序号
变位后油位高度/mm
变位后储油量/L
序号
变位后油位高度/mm
变位后储油量/L
1
10
31
310
2
20
32
320
3
30
33
330
4
40
34
340
5
50
35
350
6
60
36
360
7
70
37
370
8
SO
3S
380
9
90
39
390
10
100
40
400
11
110
41
410
12
120
42
420
13
130
43
430
14
140
44
440
15
150
45
450
16
160
46
460
17
170
47
470
18
180
48
480
19
190
49
490
20
200
50
500
21
210
51
510
22
220
52
520
23
230
53
530
24
240
54
540
25
250
55
550
26
260
56
560
27
270
57
570
28
280
58
580
29
290
59
590
30
300
60
600
序号
变位后油位高度/mm
变位后储油量/L
序号
变位后油位高度/mm
变位后储油量/L
61
610
91
910
62
620
92
920
63
630
93
930
64
640
94
940
65
650
95
950
66
660
96
960
67
670
97
970
68
680
98
980
69
690
99
990
70
700
100
1000
71
710
101
1010
72
720
102
1020
73
730
103
1030
74
740
104
1040
75
750
105
1050
76
760
106
1060
77
770
107
1070
78
780
108
1080
79
790
109
1090
80
800
110
1100
81
810
111
1110
82
820
112
1120
83
830
113
1130
84
840
114
1140
3448
85
850
115
1150
86
860
116
1160
87
870
117
1170
88
880
118
1180
89
890
119
1190
90
900
120
1200
（2）中的问题：
求解实际储油罐变位前后的罐容表标定值等有关问题
问题三：
求解实际储油罐灌内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度Q和横向偏转角度0）之间的一样函数关系式。
模型五：
双向变位模型
（1）问题的分析：
在问题分析进程中，为了进一步了解储油罐有纵向倾斜或横向偏转时油罐的罐容表标定值转变情形，咱们先分析研究当实际储油罐无纵向倾斜&和横向偏转0时罐容表标定值，因此成立了双向变位模型。
很明显在此种情形下，利用截隔的方式将储油罐内油量的体积分割成三部份；
即:
整体积二中间所占体积+左侧球罐所占体积+右边球罐所
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