中考二次函数与线段周长有关的问题含答案.docx

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中考二次函数与线段周长有关的问题含答案

中考二次函数与线段、周长有关的问题

1.如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA-MC|的值最大？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

第1题图备用图

2.（2015珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5,且=.以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：

y=-x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F.

（1）求证：

△ABD∽△ODE;

（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：

MF⊥BD;

（3）P是线段BC上一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？

若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由.

第2题图

3.（2015孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P.

①如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点D，当线段PD取得最大值时，求出点P的坐标；

②如图②，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE∶OE=3∶8，求k的值.

图①图②

第3题图

4.（2015天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝-x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限.

（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式;

（2）平移

（1）中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：

平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点;

（3）在

（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？

若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.

第4题图

5.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得△BEQ的周长最小？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

第5题图

6.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AB∥OC,OA=AB=2,OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过

（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标.

第6题图

【答案】

1.解：

（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），

∴，

解得,

∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.

（2）令x=0,则y=3,

∴点C（0，3），

又∵点A（3,0）,

∴直线AC的解析式为y=-x+3,

设点P（x,x2-4x+3）,

∵PD∥y轴，且点D在AC上，

∴点D（x,-x+3）,

∴PD=（-x+3）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-）2+,

∵a=-1<0,

∴当x=时，线段PD的长度有最大值，最大值为.

（3）存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB，

可得：

MA＝MB，

由三角形的三边关系，｜MA-MC｜

可得：

当M、B、C三点共线时,｜MA-MC｜最大，即为BC的长度，

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）,由B、C两点的坐标分别为（1，0）、（0,3）,

则,

解得,

∴直线BC的解析式为y=-3x+3,

∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2,

∴当x=2时，y=-3×2+3＝－3，

∴点M（2，－3），

即抛物线对称轴上存在点M（2，－3），使｜MA-MC｜最大.

2.

（1）证明：

由折叠知∠ADB=90°-∠ODE＝∠OED，

∵∠EOD＝∠DAB=90°，

∴Rt△ABD∽Rt△ODE.

（2）证明：

设OE＝3k，则OD＝4k，CE＝DE＝5k，AB＝OC＝8k，

由Rt△ABD∽Rt△ODE可得AD＝6k，则OA＝BC＝BD＝10k，

于是BE＝=5,解得k＝1，

∵抛物线y＝-x2+x+c经过点E（0，3），

∴c＝3，

将点A的横坐标x＝10代入y＝-x2+x+3，

得到点F的坐标为（10，），

∴DF＝＝＝，

∵BF＝AB-FA＝8-＝，

∴DF＝BF，

又∵∠BDE=90°，M是BE的中点，第2题解图

∴MB＝MD，

∴MF是线段BD的中垂线，

∴MF⊥BD.

（3）解：

能.如解图，令y＝0，求得抛物线与x轴交点坐标为H（-4，0），G（12，0），

①当PD⊥x轴时，由于PD＝8,DG＝DH＝8，

故点Q的坐标为（-4，0）或（12，0）时，△PDQ是以D为直角顶点的等腰直角三角形；

②当PD不垂直x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8,

∵PD⊥DQ,

∴∠QDI=90°-∠PDN＝∠DPN，

∴Rt△PDN∽Rt△DQI,

∵PN=8,

∴PN≠DI,

∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等,

∴PD≠DQ,另一侧同理可得PD≠DQ.

综上①，②所有满足题设的点Q的坐标为（-4，0）和（12，0）.

3.解：

（1）对于直线y=x+4,令x=0，得y＝4,令y=0，得x=-4,

则A（-4,0）,C（0,4）,代入抛物线解析式得,

解得，

∴抛物线的解析式为y=-x2-x+4.

（2）①∵抛物线的解析式为y=-x2-x+4，

∴点P（x,-x2-x+4）,

∵PD∥y轴，直线AC的解析式为y=x+4，

∴D（x,x+4）,

∵P点在AC的上方，

∴PD=-x2-x+4-（x+4）=-（x+2）2+2,

∵-2>-4,

∴当x=-2时，线段PD取得最大值，

将x=-2代入y=-x2-x+4中得y=4,

∴线段PD取得最大值时,点P的坐标为（-2,4）.

②过点P作PF∥OC交AC于点F，如解图.

∵PF∥OC,∴△PEF∽△OEC,

∴.

又∵=,OC=4,∴PF=.

∴由①得PF＝（-x2-x+4）-（x+4）=.

化简得：

x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3.

当x=-1时，y=；当x=-3时，y=.

即满足条件的P点坐标是（-1，）或（-3，）.第3题解图

又∵点P在直线y=kx上，

∴k=-或k=-.

4.

（1）解：

设AC与x轴的交点为M，

∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0,-1）,C的坐标为（4,3）,

∴直线AC的解析式为y=x-1，

∴直线AC与x轴的交点M（1，0）.

∴OM=OA，∠CAO=45°.

∵△CAB是等腰直角三角形，

∴∠ACB=45°，

∴BC∥y轴,

又∵∠OMA=45°，

∴∠OAB＝90°，

∴AB∥x轴,

∴点B的坐标为（4，-1）.

∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，将两点代入抛物线的解析式中，

得,解得，

∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x-1.

（2）证明：

抛物线y=-x2+2x-1=-（x2-4x）-1=－（x－2）2+1,

∴顶点P的坐标为（2，1），

∵抛物线y=-（x－2）2+1顶点P平移到直线AC上并沿AC方向移动的距离为，

∴其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度,

∴平移后的二次函数的解析式为y=-（x-3）2+2，

∵当y=0时，有0=-（x-3）2+2，

解得x1=1，x2=5，

∴y＝-（x-3）2+2过点（1，0）和（5,0），

∵直线AC的解析式为y=x-1，

∴直线AC与x轴的交点坐标为（1，0），

∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.

（3）解：

如解图，NP+BQ存在最小值，最小值为2.理由：

取AB的中点F，连接FN，FQ，作B点关于直线AC的对称点B′，设平移后的抛物线的顶点为P′.

连接BB′，B′Q,BQ,则BQ＝B′Q,

∵抛物线y=-（x-2）2+1的顶点P（2，1），A（0,-1），

∴PA==2,

∴抛物线沿AC方向任意滑动时，P′Q=2，

∵A（0，-1），B（4，-1），

∴AB中点F（2，-1），

∵B（4，-1），C（4，3），

∴N（4，1），

∴FN==2,

∴FN＝P′Q,

∵在△ABC中，F、N分别为AB、BC的中点，第4题解图

∴FN∥P′Q，

∴四边形P′NFQ是平行四边形，

∴NP′=FQ,

∴NP′+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2.

∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2.

5.解：

（1）∵OA=2,

∴点A的坐标为（-2，0）.

∵OC=3,

∴点C的坐标为（0，3）.

把A（-2，0），C（0，3）分别代入抛物线y=-x2+bx+c,

得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+3.

（2）把y=0代入y=-x2+x+3,第5题解图

解得x1=3,x2=-2,

∴点B的坐标为（3，0），

∴OB=OC=3,

∵OD⊥BC,

∴OE所在的直线为y=x.

解方程组,

解得,

∵点E在第一象限内，

∴点E的坐标为（2，2）.

（3）存在，

如解图，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，

∵QA=QB,

∴△BEQ的周长＝BE+QA+QE,

∵BE为定值，且QA+QE≥AE,

∴当A、Q、E三点在同一直线上时，△BEQ的周长最小，

由A（-2,0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为y=x+1,

由

（2）易得抛物线的对称轴为x=,

∴点Q的坐标为（，）,

∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小.

6.解：

（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.

设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2（a≠0）,

将点B、C分别代入得,

解得,

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.

（2）∵y=-x2+x+2=-+，

设抛物线的顶点为G，

则顶点G的坐标为（1，），

过G作GH⊥AB，垂足为H，如解图①,

则AH=BH=1,GH=-2=,

∵EA⊥AB,GH⊥AB,

∴EA∥GH,

∴GH是△BEA的中位线,

∴EA=2GH=.

过B作BM⊥OC,垂足为M,如解图①,则MB=OA=AB.

第6题解图①第6题解图②

∵∠EBF=∠ABM=90°,

∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.

∴Rt△EBA≌Rt△FBM.

∴FM=EA=.

∵CM=OC-OM=3-2=1,

∴CF=FM+CM=.

（3）如解图②,要使四边形BCPQ的周长最小，将B点向下平移一个单位至点K，取C点关于对称轴对称的点M，

连接