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概率习题答案终审稿

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[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

概率习题答案

第五章数理统计的基础知识

数理统计的基本概念

习题一

已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布（λ未知）,X1,X2,,Xn为X的样本，则（）.

（A）1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；

（B）1n∑i=1nXi-E（X）是一个统计量；

（C）X1+X2是一个统计量；

（D）1n∑i=1nXi2-D（X）是一个统计量.

解答：

应选（C）.

由统计量的定义：

样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.（A）（B）（D）中均含未知参数.

习题2

观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位（单位：

cm）,得到如下表中所列的数据.按区间[70,80）,[80,90）,,[150,160）,将100个数据分成9个组，列出分组数据计表（包括频率和累积频率）,并画出频率累积的直方图.

解答：

分组数据统计表

组序号

组限

组中值

组频率

组频率%

累计频率%

70～8075333

80～

90～

100～

110～

组序号

组限

组中值

组频率

组频率%

累计频率%

120～

130～94

140～98

150～

频率直方图见图（a）,累积频率直方图见图（b）.

习题3

测得20个毛坯重量（单位：

g）,列成如下简表：

毛坯重量

006

频数

毛坯重量

227

频数

将其按区间[,,,[,组，列出分组统计表，并画出频率直方图.

解答：

分组统计表见表

组序号

12345

组限

组中值

组频数

组频率/%

～

频率直方图见下图

习题4

某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：

月人均收入（百元）

5-66-77-88-99-

合计

户数

200

求样本容量n,样本均值Xˉ，样本方差S2.

解答：

对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200.这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料（频率分布）,我们首先计算各组的“组中值”，然后计算Xˉ和S2的近似值：

月人均收入（百元）

5-66-77-88-99-

合计

组中值ak

5.56.57..5

户数fk

200

Xˉ=1n∑kakfk=1200×18++×14）=,

S2≈1n-1∑k（ak-Xˉ）2fk=1n-1∑kak2fk-Xˉ2

=1199×18++×14）

≈习题5

设总体X服从二项分布B（10,3100）,X1,X2,,Xn为来自总体的简单随机样本，

Xˉ=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n（Xi-Xˉ）2

分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E（Xˉ）,E（S2）.

解答：

由X～B（10,3100）,得

E（X）=10×3100=310,D（X）=10×3100×97100=2911000,

所以

E（Xˉ）=E（X）=310,E（S2）=n-1nD（X）=291（n-1）1000n.

习题6

设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料

日售出台数k

合计

天数fk

100

求样本容量n,经验分布函数Fn（x）.

解答：

（1）样本容量n=100;

（2）经验分布函数

Fn（x）={0,x<,2≤x<,3≤x<,4≤x<,5≤x<61,x≥6.

习题7

设总体X的分布函数为F（x）,概率密度为f（x）,X1,X2,,Xn为来自总体X的一个样本，记

（1）=min1≤i≤n（Xi）,X（n）=max1≤i≤n（Xi）,

试求X

（1）和X（n）各自的分布函数和概率密度.

解答：

设X

（1）的分布函数和概率密度分别为F1（x）和f1（x）,X（n）的分布函数和概率密度分别为Fn（x）和fn（x）,则

Fn（X）=P{X（n）≤x}=P{X1≤x,,X（n）≤x}

=P{X1≤x}P{X2≤x}P{Xn≤x}=[F（x）]n,

fn（x）=F′n（x）=n[F（x）]n-1f（x）,

F1（x）=P{X

（1）≤x}=1-P{X

（1）>x}=1-P{X1>x,X2>x,,Xn>x}

=1-P{X1>x}P{X2>x}P{Xn>x}

=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}][1-P{Xn≤x}]

=1-[1-F（x）]n,

F′1（x）=f1（x）=n[1-F（x）]n-1f（x）.

习题8

设总体X服从指数分布e（λ）,X1,X2是容量为2的样本，求X

（1），X

（2）的概率密度.

解答：

f（x）={λe-λx,x>00,其它,F（x）={1-e-λx,x>00,x≥0,

（2）的概率密度为

（2）（x）=2F（x）f（x）={2λe-λx（1-e-λx）,x>00,其它,

又X

（1）的概率密度为

（1）（x）=2[1-F（x）]f（x）={2λe-2λx,x>00,其它.

习题9

设电子元件的寿命时间X（单位：

h）服从参数λ=的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：

（1）没有元件在800h之前失效的概率；

（2）没有元件最后超过3000h的概率.

解答：

（1）总体X的概率密度f（x）={,x>00,其它,

分布函数F（x）={,x>00,其它,

{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X

（1）>800},有

P{X

（1）>800}=[P{X>800}]6=[1-F（800）]6

=exp×800×6）=exp≈.

（2）{没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X（6）<3000}

P{X（6）<3000}=[P{X<3000}]6=[F（3000）]6

=[1-exp{×3000}]6=[1-exp{}]6

≈.

习题10

设总体X任意，期望为μ,方差为σ2,若至少要以95%的概率保证∣Xˉ-μ∣<σ,问样本容量n应取多大

解答：

因当n很大时，Xˉ-N（μ,σ2n）,于是

P{∣Xˉ-μ∣<σ}=P{μσ

≈Φσσ/n）-Φσσ/n）=2Φ-1≥,

则Φ≥,查表得Φ=,因Φ（x）非减，故≥,n≥,故样本容量至少取385才能满足要求.

常用统计分布

习题1

对于给定的正数a（0

（A）z1-a（n）=-za（n）;（B）χ1-a2（n）=-χa2（n）;

（C）t1-a（n）=-ta（n）;（D）F1-a（n1,n2）=1Fa（n2,n1）.

解答：

应选（B）.

因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以（A）和（C）是对的.（B）是错的.对于F分布，若F～F（n1,n2）,则

1-a=P{F>F1-a（n1,n2）}=P{1F<1F1-a（n1,n2）=1-P{1F>1F1-a（n1,n2）

由于1F～F（n2,n1）,所以

P{1F>1F1-a（n1,n2）=P{1F>Fa（n2,n1）=a,

即F1-a（n1,n2）=1Fa（n2,n1）.故（D）也是对的.

习题2

（1）

2.设总体X～N（0,1）,X1,X2,,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布

（1）X1-X2X32+X42;

解答：

因为Xi～N（0,1）,i=1,2,,n,所以：

X1-X2～N（0,2）,X1-X22～N（0,1）,X32+X42～χ2

（2）,

故X1-X2X32+X42=（X1-X2）/2X32+X422～t

（2）.

习题2

（2）

2.设总体X～N（0,1）,X1,X2,,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布

（2）n-1X1X22+X32++Xn2;

解答：

因为Xi～N（0,1）,∑i=2nXi2～χ2（n-1）,所以

n-1X1X22+X32++Xn2=X1∑i=2nXi2/（n-1）～t（n-1）.

习题2（3）

2.设总体X～N（0,1）,X1,X2,,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布

（3）（n3-1）∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.

解答：

因为∑i=13Xi2～χ2（3）,∑i=4nXi2～χ2（n-3）,所以：

（n3-1）∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/（n-3）～F（3,n-3）.

习题3

设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X～N（0,22）的简单随机样本，且

Y=a（X1-2X2）2+b（3X3-4X4）2,

则a=,b=时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少

解答：

解法一?

Y=[a（X1-2X2）]2+[b（3X3-4X4）]2,

令Y1=a（X1-2X2）,Y2=b（3X3-4X4）,则

Y=Y12+Y22,

为使Y～χ2

（2）,必有Y1～N（0,1）,Y2～N（0,1）,因而

E（Y1）=0,D（Y1）=1,E（Y2）=0,D（Y2）=1,

注意到D（X1）=D（X2）=D（X3）=D（X4）=4,由

D（Y1）=D[a（X1-2X2）]=aD（X1-X2）=a（D（X1）+22D（X2））

=a（4+4×4）=20a=1,

D（Y2）=D[b（3X3-4X4）]=bD（3X3-4X4）

=b（9D（X3）+16D（X4））=b（4×9+16×4）=100b=1,

分别得a=120,b=1100.这时Y～χ2

（2）,自由度为n=2.

解法二因Xi～N（0,22）且相互独立，知

X1-2X2=X1+（-2）X2～N（0,20）,3X3-4X4=3X3+（-4）X4～N（0,100）,

故X1-2X220～N（0,1）,3X3-4X4100～N（0,1）,为使

Y=（X1-2X21/a）2+（3X3-4X41/b）2～χ2

（2）,

必有X1-2X21/a～N（0,1）,3X3-4X41/b～N（0,1）,

与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是

1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.

习题4

设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N（0,32）.X1,X2,,X9和Y1,Y2,,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量

T=X1+X2++X9Y12+Y22++Y92

服从自由度为9的t分布.

解答：

首先将Xi,Yi分别除以3,使之化为标准正态.

令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,,9,则

X′i～N（0,1）,Y′i～N（0,1）;

再令X′=X′1+X′2++X′9,则X′～N（0,9）,X′3～N（0,1）,

Y′2=Y′12+Y′22++Y′92,Y′2～χ2（9）.

因此

T=X1+X2++X9Y12+Y22++Y92=X1′+X2′++X9′Y′12+Y′22++Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9～t（9）,

注意到X′,Y′2相互独立.

习题5

设总体X～N（0,4）,而X1,X2,,X15为取自该总体的样本，问随机变量

Y=X12+X22++X1022（X112+X122++X152）

服从什么分布参数为多少

解答：

因为Xi2～N（0,1）,故Xi24～χ2

（1）,i=1,2,,15,

而X1,X2,,X15独立，故

X12+X22++X1024～χ2（10）,X112+X122++X1524～χ2（5）,

所以

X12+X22++X1024/10X112+X122++X1524/5=X12+X22++X1022（X112+X122++X152）=Y

习题6

证明：

若随机变量X服从F（n1,n2）的分布，则

（1）Y=1X服从F（n2,n1）分布；

（2）并由此证明F1-α（n1,n2）=1Fα（n2,n1）.

解答：

（1）因随机变量X服从F（n1,n2）,故可设X=U/n1V/n2,其中U服从χ2（n1）,V服从χ2（n2）,且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1,由F分布之定义知

Y=1x=V/n2U/n1,

服从F（n2,n1）.

（2）由上侧α分位数和定义知

P{X≥F1-α（n1,n2）}=1-α,P{1X≤1F1-α（n1,n2）=1-α,

即P{Y≤1F1-α（n1,n2）=1-α,1-P{Y>1F1-α（n1,n2）=1-α,故

P{Y>1F1-α（n1,n2）=α,

而P{Y≥Fα（n2,n1）}=α.

又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α（n1,n2）=α,从而

Fα（n2,n1）=1F1-α（n1,n2）,

即F1-α（n1,n2）=1Fα（n2,n1）.

习题7

查表求标准正态分布的上侧分位数：

,与.

解答：

=,=,=,=.

习题8

查表求χ2分布的上侧分位数：

χ（5）,χ（5）,χ（10）与χ（10）.

解答：

,,.

习题9

查表求F分布的上侧分位数：

（4,6）,（3,7）与（5,5）.

解答：

习题10

查表求t分布的下侧分位数：

（3）,（5）,（7）与（10）.

解答：

,,.

抽样分布

习题1

已知离散型均匀总体X,其分布律为

246

1/31/31/3

取大小为n=54的样本，求：

（1）样本平均数Xˉ落于到之间的概率；

（2）样本均值Xˉ超过的概率.

解答：

μ=E（X）=13×（2+4+6）=4,

σ2=E（X2）-[E（X）]2=13×（22+42+66）-42=83,

所以

μXˉ=μ=4,σXˉ2=σ2n=8/354=481,σXˉ=29.

令Z=Xˉ-42/9,则n充分大时，Z～近似N（0,1）.

（1）P{

≈Φ-Φ=≈1-Φ==.

习题2

设总体X服从正态分布N（10,32）,X1,X2,,X6是它的一组样本，设

Xˉ=16∑i=16Xi.

（1）写出Xˉ所服从的分布；

（2）求Xˉ>11的概率.

解答：

（1）Xˉ～N（10,326）,即Xˉ～N（10,32）.

（2）P{Xˉ>11}=1-P{Xˉ≤11}=1-Φ（11-1032）

≈1-Φ（0,8165）≈1-Φ=.

习题3

设X1,X2,,Xn是总体X的样本，Xˉ=1n∑i=1nXi,分别按总体服从下列指定分布求E（Xˉ）,D（Xˉ）.

（1）X服从0-1分布b（1,p）;

（2）*X服从二项分布b（m,p）;

（3）X服从泊松分布P（λ）;（4）X服从均匀分布U[a,b];

（5）X服从指数分布e（λ）.

解答：

（1）由题意，X的分布律为：

P{X=k}=Pk（1-P）1-k（k=0,1）.

E（X）=p,D（X）=p（1-p）.

所以

E（Xˉ）=E（1n∑i=1nXi）=1n∑i=1nE（Xi）=1nnp=p,

D（Xˉ）=D（1n∑i=1nXi）=1n2∑i=1nD（X1）=1n2np（1-p）=1np（1-p）.

（2）由题意，X的分布律为：

P{X=k}=CmkPk（1-p）m-k（k=0,1,2,,m）.

同

（1）可得

E（Xˉ）=mp,D（Xˉ）=1nmp（1-p）.

（3）由题意，X的分布律为：

P{X=k}=λkk!

e-λ（λ>0,k=0,1,2,）.

E（X）=λ,D（X）=λ.

同

（1）可得

E（Xˉ）=λ,D（Xˉ）=1nλ.

（4）由E（X）=a+b2,D（X）=（b-a）212,同

（1）可得

E（Xˉ）=a+b2,D（Xˉ）=（b-a）212n.

（5）由E（X）=1λ,D（X）=1λ2,同

（1）可得

D（Xˉ）=1λ,D（Xˉ）=1nλ2.

习题4

某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：

（1）容量为9的随机样本平均寿命落在年和年之间的概率；

（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。

解答：

（1）由题意知Xˉ～N（5,1n）,n=9，则标准化变量

Z=Xˉ-51/9=Xˉ-51/3～N（0,1）.

而P{

=P{

（2）P{Xˉ<6}=P{Xˉ-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ（3）=.

习题5

设X1,X2,,X16及Y1,Y2,,Y25分别是两个独立总体N（0,16）和N（1,9）的样本，以Xˉ和Yˉ分别表示两个样本均值，求P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}.

解答：

Xˉ～N（0,1616），Yˉ～N（1,925），Xˉ-Yˉ～N（-1,1+925），即

　　　　　　　　　　Xˉ-Yˉ～N（-1,3425）．

标准化变量Xˉ-Yˉ，令Z=Xˉ-Yˉ34/5～N（0,1），所以

　　　P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}=1-P{∣Xˉ-Yˉ∣≤1}=1-P{-1≤Xˉ-Yˉ≤1}

　　　　　　　　　=1-P{0≤Xˉ-Yˉ+134/5≤234/5

　　　　　　　　　≈1-Φ+Φ（0）

　　　　　　　　　=+=．

习题6

假设总体X服从正态分布N（20,32）,样本X1,,X25来自总体X,计算

P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.

解答：

令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi,由于X1,,X25相互独立同正态分布N（20,32）,因此有Y1与Y2相互独立，且Y1～N（320,122）,Y2～N（180,92）,

Y1-Y2～N（140,152）,

P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},

=P{Y1-Y2-14015≤≈Φ=.

习题7

从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为,试求总体的标准差.

解答：

设总体X～N（μ,σ2）,样本均值为Xˉ,则有

Xˉ-μσ/n=Xˉ-μσ/4～N（0,1）.

因为

P{∣Xˉ-μ∣>2}=P{∣Xˉ-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ（8σ）]=,

所以Φ（8σ）=.

查标准正态分布表，得8σ=,从而σ==.

习题8

设在总体N（μ,σ2）中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知.

（1）求P{S2/σ2≤},其中S2为样本方差；

（2）求D（S2）.

解答：

（1）因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知

（n-1）S2σ2～χ2（n-1）.

这里n=16,于是

P{S2/σ2≤}=P（15S2σ2≤15×

=1-P{15S2σ2>（查χ2分布表可得）

==.

（2）因为（n-1）S2σ2～χ2（n-1）,又知

D（（n-1）S2σ2）=2（n-1）,

所以

D（S2）=σ4（n-1）2D（（n-1）S2σ2）=σ4（n-1）22（n-1）=2n-1σ4=215σ4

（因为n=16）.

习题9

设总体X～N（μ,16）,X1,X2,,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=,求常数a.

解答：

因为（n-1）S2σ2～χ2（n-1）,n=10,σ=4,所以

P{S2>a}=P{9S216>916a=.

查自由度为9的χ2分布表得，916a=,所以a≈.

习题10

设X1,X2,,Xn和Y1,Y2,,Yn分别取自正态总体

X～N（μ1,σ2）和Y～N（μ2,σ2）

且相互独立，问以下统计量服从什么分布

（1）（n-1）（S12+S22）σ2;

（2）n[（Xˉ-Yˉ）-（μ2-σ2）]2S12+S22.

解答：

（1）由（n-1）S12σ2～χ2（n-1）,（n-1）S22σ2～χ2（n-1）,由χ2（n）的可加性

（n-1）（S12+S22）σ2～χ（2（n-1））.

（2）Xˉ-Yˉ～N（μ1-μ2,2σ2n）,标准化后（Xˉ-Yˉ）-（μ1-μ2）σ2n～N（0,1）,故有

[（Xˉ-Yˉ）-（μ1-μ2）]22σ2n～χ2

（1）,

又由（n-1）（S12+S22）σ2～χ2（2n-2）,注意F分布定义

[（Xˉ-Yˉ）-（μ1-μ2）]21n2σ2/1（n-1）（S12+S22）σ2/2（n-1）=n[（Xˉ-Yˉ）-（μ1-μ2）]2S1

习题11

分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率.

解答：

用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知

F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=～F（8-1,10-1）=F（7,9）.

又设事件A={S12≥2S22},下面求P{S12≥2S22},因

P{S12≥2S22}=P{S12S22≥2=P{S12/20S22/35≥2×3520=P{F≥}.

查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上α分布点Fα（n1=7,n2=9）有如下数值：

（7,9）=,（7,9）=,

因而（7,9）=<<（7,9）=,即事件A的概率介于和之间，故

≤P{S12≥2S22}≤.

总习题解答

习题1

设总体X服从泊松分布.一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,计算样本均值，样本方差和经验分布函数.

解答：

样本的频率分布为xˉ=4,s2=.经验分布函数为

F10（x）={0,x<11/10,1≤x<22/10,2≤x<34/10,3≤x<47/10,4≤x<58/10,5≤x<69/10,6≤x<71,x≥8.

习题2

A厂生产的某产种电器的使用寿命服从指数分布，参数λ未知.为此，抽查了n件电器，测量其使用寿命，试确定本问题的总体、样本及样本的分布.

解答：

总体是这种电器的使用寿命，其概率密度为

f（x）={λe-λx,x>00,x≤0（λ未知）,

样本X1,X2,,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,,Xn相互独立，来自同一总体X,所以样本的联合密度为

f（x1,x2,,xn）={λne-λ（x1+x2++xn）,x1,x2,,xn>00,其它.

习题3

设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，求：

（1）来自X的简单随机样本X1,X2,,Xn的密度f（x1,x2,,xn）;

（2）Y=max{X1,X2,,Xn}的密度fY（x）;

Z=min{X1,X2,,Xn}的密度fZ（x）.

解答：

（1）X的密度为f（x）={1b-a,x∈（a,b）0,其它,由于X1,X2,,Xn独立且与X同分布，所以有

f（x1,x2,,xn）=∏i=1nf（xi）={1（b-a）n,a≤x1≤≤xn≤b0,其它.

（2）由题设X在[a,b]上服从均匀分布，其分布函数为

F（x）={0,xb,

由Y=max{X1,X2,,Xn}及Z=min{X1,X2,,Xn}分布函数的定义

FY（x）=[F（x）]n,FZ（x）=1-[1-F（x）]n,

于是有

fY（x）=nFn-1（x）f（x）=n（x-a）n-1（b-a）n,x∈[a,b],

fZ（x）=n[1

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