高三上学期第一次月考数学理试题.docx

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高三上学期第一次月考数学理试题

2019年高三上学期第一次月考数学理试题

一、选择题（每小题4分，共80分）

1．（4分）cos300°=（　　）

A．

B．

﹣

C．

D．

考点：

运用诱导公式化简求值．

专题：

计算题．

分析：

利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．

解答：

解：

∵

．

故选C．

点评：

本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．

2．（4分）（xx•浙江）设P={x|x＜1}，Q={x|x2＜4}，则P∩Q（　　）

A．

{x|﹣1＜x＜2}

B．

{x|﹣3＜x＜﹣1}

C．

{x|1＜x＜﹣4}

D．

{x|﹣2＜x＜1}

考点：

交集及其运算．

专题：

计算题．

分析：

欲求两个集合的交集，先得化简集合Q，为了求集合Q，必须考虑二次不等式的解法，最后再根据交集的定义求解即可．

解答：

解：

∵x2＜4得﹣2＜x＜2，

∴Q={x|﹣2＜x＜2}，

∴P∩Q={x|﹣2＜x＜1}．

故答案选D．

点评：

本题主要考查了集合的基本运算，属容易题．

3．（4分）（xx•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

定积分在求面积中的应用．

专题：

计算题．

分析：

要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．

解答：

解：

由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]

所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，

故选A．

点评：

本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．

4．（4分）（xx•上海）“”是“tanx=1”成立的（　　）

A．

充分不必要条件

B．

必要不充分条件

C．

充分条件

D．

既不充分也不必要条件

考点：

必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的值域．

专题：

计算题．

分析：

得出，“”是“tanx=1”成立的充分条件；举反例推出“”是“tanx=1”成立的不必要条件．

解答：

解：

，所以充分；但反之不成立，如．

故选A

点评：

本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断．充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念．

5．（4分）（xx•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（　　）

A．

第一象限

B．

第二象限

C．

第三象限

D．

第四象限

考点：

复数的代数表示法及其几何意义．

专题：

计算题．

分析：

首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．

解答：

解：

∵z===+i，

∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．

故选A．

点评：

本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．

6．（4分）（xx•南充一模）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（　　）

A．

向左平移个长度单位

B．

向右平移个长度单位

C．

向左平移个长度单位

D．

向右平移个长度单位

考点：

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：

常规题型．

分析：

先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．

解答：

解：

y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），

所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，

故选B．

点评：

本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．

7．（4分）（xx•湖北）函数f（x）=的最小正周期为（　　）

A．

B．

π

C．

2π

D．

4π

考点：

三角函数的周期性及其求法．

专题：

计算题．

分析：

直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可．

解答：

解：

函数f（x）=由T==||=4π，故D正确．

故选D．

点评：

本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．

8．（4分）（xx•福建）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（　　）

A．

3

B．

0

C．

﹣1

D．

﹣2

考点：

函数奇偶性的性质．

分析：

把α和﹣α分别代入函数式，可得出答案．

解答：

解：

∵由f（a）=2

∴f（a）=a3+sina+1=2，a3+sina=1，

又∵f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+1=﹣（a3+sina）+1=﹣1+1=0．

故选B

点评：

本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．

9．（4分）（xx•湖南）下列命题中的假命题是（　　）

A．

∃x∈R，lgx=0

B．

∃x∈R，tanx=1

C．

∀x∈R，x3＞0

D．

∀x∈R，2x＞0

考点：

命题的真假判断与应用．

分析：

A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．

解答：

解：

A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．

故选C

点评：

本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．

10．（4分）（xx•安徽）设，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．

a＞c＞b

B．

a＞b＞c

C．

c＞a＞b

D．

b＞c＞a

考点：

幂函数图象及其与指数的关系．

分析：

根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．

解答：

解：

∵在x＞0时是增函数

∴a＞c

又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b

故答案选A

点评：

本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．

11．（4分）已知sina=，则cos（π﹣2a）=（　　）

A．

﹣

B．

﹣

C．

D．

考点：

二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．

专题：

计算题．

分析：

先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．

解答：

解：

∵sina=，

∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．

故选B．

点评：

本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．

12．（4分）（xx•天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（　　）

A．

（﹣2，﹣1）

B．

（﹣1，0）

C．

（0，1）

D．

（1，2）

考点：

函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．

专题：

计算题．

分析：

函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．

解答：

解：

由及零点定理知f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，

故选B．

点评：

本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．

13．（4分）（xx•天津）设a=log54，b=（log53）2，c=log45则（　　）

A．

a＜c＜b

B．

b＜c＜a

C．

a＜b＜c

D．

b＜a＜c

考点：

对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．

分析：

因为a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，所以c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，排除C．

解答：

解：

∵a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，

∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，

故选D．

点评：

本题考查对数函数的单调性，属基础题．

14．（4分）（xx•重庆）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．

专题：

分析法．

分析：

先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．

解答：

解：

C、D中函数周期为2π，所以错误

当时，，

函数为减函数

而函数为增函数，

故选A．

点评：

本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．

15．（4分）（xx•济南一模）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）

A．

向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

B．

向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．

向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

D．

向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

考点：

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题：

综合题．

分析：

先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．

解答：

解：

由图象可知函数的周期为π，振幅为1，

所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．

代入（﹣，0）可得φ的一个值为，

故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），

即y=sin2（x+），

所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．

故选A．

点评：

本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的

16．（4分）（xx•北京）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（　　）

A．

A88A92

B．

A88C92

C．

A88A72

D．

A88C72

考点：

排列、组合的实际应用．

专题：

计算题．

分析：

本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．

解答：

解：

用插空法解决的排列组合问题，

将所有学生先排列，有A88种排法，

然后将两位老师插入9个空中，

共有A92种排法，

∴一共有A88A92种排法．

故选A．

点评：

本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．

17．（4分）函数y=的定义域为（　　）

A．

（，1）

B．

（，∞）

C．

（1，+∞）

D．

（，1）∪（1，+∞）

考点：

函数的定义域及其求法．

分析：

题目给出的是分式函数，同时分母中含有根式和对数式，既保证分母不等于0，还要根式内部的代数式大于等于0，还要保证对数的真数大于0．

解答：

解：

要使原式有意义，需要log0.54x﹣3＞0，

即0＜4x﹣3＜1，解得：

，

所以原函数的定义域为（，1）．

故选A．

点评：

本题考查了函数的定义域及其解法，解答此题的关键是要保证构成函数的各个部分都有意义，是取交集问题．

18．（4分）（xx•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（　　）

A．

152

B．

126

C．

90

D．

54

考点：

排列、组合的实际应用．

专题：

计算题．

分析：

根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．

解答：

解：

根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：

C31×A32=18种；

②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；

1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；

2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：

A32×C31×C21×A22=72种；

由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，

故选B．

点评：

本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．

19．（4分）（xx•安徽）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f

（1）=1，f

（2）=2，则f（3）﹣f（4）=（　　）

A．

1

B．

2

C．

﹣2

D．

﹣1

考点：

函数奇偶性的性质；函数的周期性．

专题：

计算题．

分析：

利用函数奇偶性以及周期性，将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可．

解答：

解：

∵若f（x）是R上周期为5的奇函数

∴f（﹣x）=﹣f（x），f（x+5）=f（x），

∴f（3）=f（﹣2）=﹣f

（2）=﹣2，

f（4）=f（﹣1）=﹣f

（1）=﹣1，

∴f（3）﹣f（4）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1．

故选D．

点评：

本题考查函数奇偶性的应用，奇（偶）函数的定义：

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x））（或f（﹣x）=f（x）），那么函数f（x）是奇（偶）函数．

20．（4分）（2011•昌平区二模）已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

（3，+∞）

D．

[3，+∞）

考点：

对数的运算性质；函数的值域；函数的单调性及单调区间；基本不等式．

专题：

计算题；压轴题；转化思想．

分析：

由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，

确定a+2b的取值范围．

解答：

解：

因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=

又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，

所以f（a）＞f

（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．

故选C．

点评：

本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=，从而错选A，这也是的用苦良心之处．

二、填空题（每小题4分，共24分）

21．（4分）（xx•安徽）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是　对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0　．

考点：

命题的否定．

分析：

根据命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“=“改为“≠”即可得答案．

解答：

解：

∵命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题

∴命题的否定为：

对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．

故答案为：

对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．

点评：

这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．

22．（4分）（xx•广元二模）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有　30　种．（用数字作答）

考点：

组合及组合数公式．

专题：

计算题；压轴题；分类讨论．

分析：

由题意分类：

（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；

（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．

解答：

解：

分以下2种情况：

（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；

（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．

所以不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．

故答案为：

30

点评：

本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．

23．（4分）（xx•四川）（x﹣）4的展开式中的常数项为　24　（用数字作答）

考点：

二项式系数的性质．

分析：

利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．

解答：

解：

展开式的通项公式为Tr+1==（﹣2）rC4rx4﹣2r

令4﹣2r=0得r=2

得常数项为C42（﹣2）2=24．

故答案为24．

点评：

二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．

24．（4分）（xx•宁夏）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为　y=3x+1　．

考点：

导数的几何意义．

专题：

计算题．

分析：

根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；

解答：

解：

y′=ex+x•ex+2，y′|x=0=3，

∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．

故答案为：

y=3x+1

点评：

本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．

25．（4分）（xx•陕西）已知函数f（x）=若f（f（0））=4a，则实数a=　2　．

考点：

函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

专题：

计算题．

分析：

本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（0）的值，然后将其代入，由此可以得到一个关于a的一元一次方程，解方程即可得到a值．

解答：

解：

∵f（0）=2，

∴f（f（0））=f

（2）=4+2a=4a，

所以a=2

故答案为：

2．

点评：

分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：

分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．

26．（4分）（xx•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是　m＜﹣1　．

考点：

函数恒成立问题．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

已知f（x）为增函数且m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论即可得出答案．

解答：

解：

已知f（x）为增函数且m≠0，

当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，

此时不符合题意．

当m＜0时，有

因为y=2x2在x∈[1，+∞）上的最小值为2，

所以1+，

即m2＞1，解得m＜﹣1或m＞1（舍去）．

故答案为：

m＜﹣1．

点评：

本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．

三、解答题（共46分）

27．（11分）（xx•湖南）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x

（I）求函数f（x）的最小正周期．

（II）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．

考点：

三角函数的周期性及其求法．

分析：

（1）先将函数f（x）化简为f（x）=sin（2x+）﹣1，根据T=可得答案．

（2）令2x+=2kπ+，可直接得到答案．

解答：

解：

（1）因为f（x）=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1

所以函数f（x）的最小正周期为T==π

（2）由

（1）知，当2x+=2kπ+，即x=kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值

因此函数f（x）取最大值时x的集合为：

{x|x=kπ+，k∈Z}

点评：

本题主要考查三角函数最小正周期合最值的求法．属基础题．

28．（11分）（xx•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

考点：

离散型随机变量及其分布列；随机事件．

专题：

计算题．

分析：

（1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可．

（2）中奖人数ξ的所有取值为0，1，2，3，是二项分布．ξ～B（3，）

解答：

解：

（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P（A）=P（B）=P（C）=，

P（）=P（A）P（）P（）=，

答：

甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为．

（2）ξ的可能值为0，1，2，3，

P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）

所以中奖人数ξ的分布列为

Eξ=0×+1×+2×+3×=．

点评：

本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识．同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．

29．（12分）（xx•北京）设定函数，且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．

（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；

（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．

考点：

利用导数研究函数