高三上学期第一次月考数学理试题.docx
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高三上学期第一次月考数学理试题
2019年高三上学期第一次月考数学理试题
一、选择题(每小题4分,共80分)
1.(4分)cos300°=( )
A.
B.
﹣
C.
D.
考点:
运用诱导公式化简求值.
专题:
计算题.
分析:
利用三角函数的诱导公式,将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值.
解答:
解:
∵
.
故选C.
点评:
本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识.
2.(4分)(xx•浙江)设P={x|x<1},Q={x|x2<4},则P∩Q( )
A.
{x|﹣1<x<2}
B.
{x|﹣3<x<﹣1}
C.
{x|1<x<﹣4}
D.
{x|﹣2<x<1}
考点:
交集及其运算.
专题:
计算题.
分析:
欲求两个集合的交集,先得化简集合Q,为了求集合Q,必须考虑二次不等式的解法,最后再根据交集的定义求解即可.
解答:
解:
∵x2<4得﹣2<x<2,
∴Q={x|﹣2<x<2},
∴P∩Q={x|﹣2<x<1}.
故答案选D.
点评:
本题主要考查了集合的基本运算,属容易题.
3.(4分)(xx•山东)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
定积分在求面积中的应用.
专题:
计算题.
分析:
要求曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求∫01(x2﹣x3)dx即可.
解答:
解:
由题意得,两曲线的交点坐标是(1,1),(0,0)故积分区间是[0,1]
所求封闭图形的面积为∫01(x2﹣x3)dx═,
故选A.
点评:
本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积.
4.(4分)(xx•上海)“”是“tanx=1”成立的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分条件
D.
既不充分也不必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断;正切函数的值域.
专题:
计算题.
分析:
得出,“”是“tanx=1”成立的充分条件;举反例推出“”是“tanx=1”成立的不必要条件.
解答:
解:
,所以充分;但反之不成立,如.
故选A
点评:
本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断.充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一,要理解好其中的概念.
5.(4分)(xx•陕西)复数z=在复平面上对应的点位于( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
考点:
复数的代数表示法及其几何意义.
专题:
计算题.
分析:
首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母根据平方差公式得到一个实数,分子进行复数的乘法运算,得到最简结果,写出对应的点的坐标,得到位置.
解答:
解:
∵z===+i,
∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限.
故选A.
点评:
本题考查复数的乘除运算,考查复数与复平面上的点的对应,是一个基础题,在解题过程中,注意复数是数形结合的典型工具.
6.(4分)(xx•南充一模)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin(2x+)的图象( )
A.
向左平移个长度单位
B.
向右平移个长度单位
C.
向左平移个长度单位
D.
向右平移个长度单位
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:
常规题型.
分析:
先将2提出来,再由左加右减的原则进行平移即可.
解答:
解:
y=sin(2x+)=sin2(x+),y=sin(2x﹣)=sin2(x﹣),
所以将y=sin(2x+)的图象向右平移个长度单位得到y=sin(2x﹣)的图象,
故选B.
点评:
本试题主要考查三角函数图象的平移.平移都是对单个的x来说的.
7.(4分)(xx•湖北)函数f(x)=的最小正周期为( )
A.
B.
π
C.
2π
D.
4π
考点:
三角函数的周期性及其求法.
专题:
计算题.
分析:
直接利用正弦函数的周期公式T=,求出它的最小正周期即可.
解答:
解:
函数f(x)=由T==||=4π,故D正确.
故选D.
点评:
本题是基础题,考查三角函数的周期的求法,考查计算能力.
8.(4分)(xx•福建)函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(﹣a)的值为( )
A.
3
B.
0
C.
﹣1
D.
﹣2
考点:
函数奇偶性的性质.
分析:
把α和﹣α分别代入函数式,可得出答案.
解答:
解:
∵由f(a)=2
∴f(a)=a3+sina+1=2,a3+sina=1,
又∵f(﹣a)=(﹣a)3+sin(﹣a)+1=﹣(a3+sina)+1=﹣1+1=0.
故选B
点评:
本题主要考查函数奇偶性的运用.属基础题.
9.(4分)(xx•湖南)下列命题中的假命题是( )
A.
∃x∈R,lgx=0
B.
∃x∈R,tanx=1
C.
∀x∈R,x3>0
D.
∀x∈R,2x>0
考点:
命题的真假判断与应用.
分析:
A、B、C可通过取特殊值法来判断;D、由指数函数的值域来判断.
解答:
解:
A、x=1成立;B、x=成立;D、由指数函数的值域来判断.对于C选项x=﹣1时,(﹣1)3=﹣1<0,不正确.
故选C
点评:
本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域,属容易题.
10.(4分)(xx•安徽)设,则a,b,c的大小关系是( )
A.
a>c>b
B.
a>b>c
C.
c>a>b
D.
b>c>a
考点:
幂函数图象及其与指数的关系.
分析:
根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
解答:
解:
∵在x>0时是增函数
∴a>c
又∵在x>0时是减函数,所以c>b
故答案选A
点评:
本题主要考查幂函数与指数的关系.要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题.
11.(4分)已知sina=,则cos(π﹣2a)=( )
A.
﹣
B.
﹣
C.
D.
考点:
二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值.
专题:
计算题.
分析:
先根据诱导公式求得cos(π﹣2a)=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案.
解答:
解:
∵sina=,
∴cos(π﹣2a)=﹣cos2a=﹣(1﹣2sin2a)=﹣.
故选B.
点评:
本题考查了二倍角公式及诱导公式.考查了学生对三角函数基础公式的记忆.
12.(4分)(xx•天津)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A.
(﹣2,﹣1)
B.
(﹣1,0)
C.
(0,1)
D.
(1,2)
考点:
函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理.
专题:
计算题.
分析:
函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通可采用代入排除的方法求解.
解答:
解:
由及零点定理知f(x)的零点在区间(﹣1,0)上,
故选B.
点评:
本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.
13.(4分)(xx•天津)设a=log54,b=(log53)2,c=log45则( )
A.
a<c<b
B.
b<c<a
C.
a<b<c
D.
b<a<c
考点:
对数的运算性质;对数函数的单调性与特殊点;不等式比较大小.
分析:
因为a=log54<log55=1,b=(log53)2<(log55)2,c=log45>log44=1,所以c最大,排除A、B;又因为a、b∈(0,1),所以a>b,排除C.
解答:
解:
∵a=log54<log55=1,b=(log53)2<(log55)2,c=log45>log44=1,
∴c最大,排除A、B;又因为a、b∈(0,1),所以a>b,
故选D.
点评:
本题考查对数函数的单调性,属基础题.
14.(4分)(xx•重庆)下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的单调性;余弦函数的单调性.
专题:
分析法.
分析:
先根据周期排除C,D,再由x的范围求出2x+的范围,再由正余弦函数的单调性可判断A和B,从而得到答案.
解答:
解:
C、D中函数周期为2π,所以错误
当时,,
函数为减函数
而函数为增函数,
故选A.
点评:
本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性.属基础题.三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键.
15.(4分)(xx•济南一模)图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A.
向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
B.
向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.
向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D.
向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
考点:
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题:
综合题.
分析:
先根据函数的周期和振幅确定w和A的值,再代入特殊点可确定φ的一个值,进而得到函数的解析式,再进行平移变换即可.
解答:
解:
由图象可知函数的周期为π,振幅为1,
所以函数的表达式可以是y=sin(2x+φ).
代入(﹣,0)可得φ的一个值为,
故图象中函数的一个表达式是y=sin(2x+),
即y=sin2(x+),
所以只需将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.
故选A.
点评:
本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识,属于基础题题.根据图象求函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最后求φ.三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数,进行周期变换时,需要将x的系数变为原来的
16.(4分)(xx•北京)8名学生和2位第师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( )
A.
A88A92
B.
A88C92
C.
A88A72
D.
A88C72
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题.
分析:
本题要求两个教师不相邻,用插空法来解决问题,将所有学生先排列,有A88种排法,再将两位老师插入9个空中,共有A92种排法,根据分步计数原理得到结果.
解答:
解:
用插空法解决的排列组合问题,
将所有学生先排列,有A88种排法,
然后将两位老师插入9个空中,
共有A92种排法,
∴一共有A88A92种排法.
故选A.
点评:
本题考查排列组合的实际应用,考查分步计数原理,是一个典型的排列组合问题,对于不相邻的问题,一般采用插空法来解.
17.(4分)函数y=的定义域为( )
A.
(,1)
B.
(,∞)
C.
(1,+∞)
D.
(,1)∪(1,+∞)
考点:
函数的定义域及其求法.
分析:
题目给出的是分式函数,同时分母中含有根式和对数式,既保证分母不等于0,还要根式内部的代数式大于等于0,还要保证对数的真数大于0.
解答:
解:
要使原式有意义,需要log0.54x﹣3>0,
即0<4x﹣3<1,解得:
,
所以原函数的定义域为(,1).
故选A.
点评:
本题考查了函数的定义域及其解法,解答此题的关键是要保证构成函数的各个部分都有意义,是取交集问题.
18.(4分)(xx•湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )
A.
152
B.
126
C.
90
D.
54
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题.
分析:
根据题意,按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一,②甲乙不同时参加一项工作;分别由排列、组合公式计算其情况数目,进而由分类计数的加法公式,计算可得答案.
解答:
解:
根据题意,分情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一:
C31×A32=18种;
②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况;
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作,有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种;
2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作:
A32×C31×C21×A22=72种;
由分类计数原理,可得共有18+36+72=126种,
故选B.
点评:
本题考查排列、组合的综合运用,注意要根据题意,进而按一定顺序分情况讨论.
19.(4分)(xx•安徽)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f
(1)=1,f
(2)=2,则f(3)﹣f(4)=( )
A.
1
B.
2
C.
﹣2
D.
﹣1
考点:
函数奇偶性的性质;函数的周期性.
专题:
计算题.
分析:
利用函数奇偶性以及周期性,将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可.
解答:
解:
∵若f(x)是R上周期为5的奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x),f(x+5)=f(x),
∴f(3)=f(﹣2)=﹣f
(2)=﹣2,
f(4)=f(﹣1)=﹣f
(1)=﹣1,
∴f(3)﹣f(4)=﹣2﹣(﹣1)=﹣1.
故选D.
点评:
本题考查函数奇偶性的应用,奇(偶)函数的定义:
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x))(或f(﹣x)=f(x)),那么函数f(x)是奇(偶)函数.
20.(4分)(2011•昌平区二模)已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( )
A.
B.
C.
(3,+∞)
D.
[3,+∞)
考点:
对数的运算性质;函数的值域;函数的单调性及单调区间;基本不等式.
专题:
计算题;压轴题;转化思想.
分析:
由题意f(a)=f(b),求出ab的关系,然后利用“对勾”函数的性质知函数f(a)在a∈(0,1)上为减函数,
确定a+2b的取值范围.
解答:
解:
因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或,所以a+2b=
又0<a<b,所以0<a<1<b,令,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a∈(0,1)上为减函数,
所以f(a)>f
(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).
故选C.
点评:
本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得a+2b=,从而错选A,这也是的用苦良心之处.
二、填空题(每小题4分,共24分)
21.(4分)(xx•安徽)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是 对任意x∈R,都有x2+2x+5≠0 .
考点:
命题的否定.
分析:
根据命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”是特称命题,其否定为全称命题,将“存在”改为“任意”,“=“改为“≠”即可得答案.
解答:
解:
∵命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”是特称命题
∴命题的否定为:
对任意x∈R,都有x2+2x+5≠0.
故答案为:
对任意x∈R,都有x2+2x+5≠0.
点评:
这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”.
22.(4分)(xx•广元二模)某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 30 种.(用数字作答)
考点:
组合及组合数公式.
专题:
计算题;压轴题;分类讨论.
分析:
由题意分类:
(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,确定选法;
(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,确定选法;然后求和即可.
解答:
解:
分以下2种情况:
(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种不同的选法;
(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C41种不同的选法.
所以不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种.
故答案为:
30
点评:
本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
23.(4分)(xx•四川)(x﹣)4的展开式中的常数项为 24 (用数字作答)
考点:
二项式系数的性质.
分析:
利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项,令x的指数为0得常数项.
解答:
解:
展开式的通项公式为Tr+1==(﹣2)rC4rx4﹣2r
令4﹣2r=0得r=2
得常数项为C42(﹣2)2=24.
故答案为24.
点评:
二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.
24.(4分)(xx•宁夏)曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 y=3x+1 .
考点:
导数的几何意义.
专题:
计算题.
分析:
根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成斜截式即可;
解答:
解:
y′=ex+x•ex+2,y′|x=0=3,
∴切线方程为y﹣1=3(x﹣0),∴y=3x+1.
故答案为:
y=3x+1
点评:
本题考查了导数的几何意义,同时考查了导数的运算法则,本题属于基础题.
25.(4分)(xx•陕西)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a= 2 .
考点:
函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法.
专题:
计算题.
分析:
本题考查的分段函数的函数值,由函数解析式,我们可以先计算f(0)的值,然后将其代入,由此可以得到一个关于a的一元一次方程,解方程即可得到a值.
解答:
解:
∵f(0)=2,
∴f(f(0))=f
(2)=4+2a=4a,
所以a=2
故答案为:
2.
点评:
分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:
分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.
26.(4分)(xx•天津)设函数f(x)=x﹣,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是 m<﹣1 .
考点:
函数恒成立问题.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
已知f(x)为增函数且m≠0,分当m>0与当m<0两种情况进行讨论即可得出答案.
解答:
解:
已知f(x)为增函数且m≠0,
当m>0,由复合函数的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数,
此时不符合题意.
当m<0时,有
因为y=2x2在x∈[1,+∞)上的最小值为2,
所以1+,
即m2>1,解得m<﹣1或m>1(舍去).
故答案为:
m<﹣1.
点评:
本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解.
三、解答题(共46分)
27.(11分)(xx•湖南)已知函数f(x)=sin2x﹣2sin2x
(I)求函数f(x)的最小正周期.
(II)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.
考点:
三角函数的周期性及其求法.
分析:
(1)先将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x+)﹣1,根据T=可得答案.
(2)令2x+=2kπ+,可直接得到答案.
解答:
解:
(1)因为f(x)=sin2x﹣(1﹣cos2x)=sin(2x+)﹣1
所以函数f(x)的最小正周期为T==π
(2)由
(1)知,当2x+=2kπ+,即x=kπ(k∈Z)时,f(x)取最大值
因此函数f(x)取最大值时x的集合为:
{x|x=kπ+,k∈Z}
点评:
本题主要考查三角函数最小正周期合最值的求法.属基础题.
28.(11分)(xx•四川)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.
(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
考点:
离散型随机变量及其分布列;随机事件.
专题:
计算题.
分析:
(1)甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立,可利用独立事件的概率求解,甲中奖概率为,乙、丙没有中奖的概率为,相乘即可.
(2)中奖人数ξ的所有取值为0,1,2,3,是二项分布.ξ~B(3,)
解答:
解:
(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么
P(A)=P(B)=P(C)=,
P()=P(A)P()P()=,
答:
甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为.
(2)ξ的可能值为0,1,2,3,
P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ的分布列为
Eξ=0×+1×+2×+3×=.
点评:
本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识.同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力.
29.(12分)(xx•北京)设定函数,且方程f′(x)﹣9x=0的两个根分别为1,4.
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在(﹣∞,+∞)无极值点,求a的取值范围.
考点:
利用导数研究函数