全国初中数学竞赛辅导初2第17讲 集合与简易逻辑.docx

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全国初中数学竞赛辅导初2第17讲集合与简易逻辑

第十七讲*集合与简易逻辑

§17．1集合

　　我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C…等表示集合，小写字母a，b，c，…等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n

　　（i）你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素．

　　（ii）自然数全体1，2，3，…组成一个集合（通常把它叫作自然数集）．

　　（iii）如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线上每个点都是这个集合的元素．

　　总之，集合是数学中一个最基本、最常用的概念，下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识．

　　1．集合的描述方法

（1）列举法

　　当一个集合所含元素个数较少时，一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，这叫列举法．用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之间用逗点隔开．填写集合的元素时，与元素的排列次序无关．例如：

　　（i）由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作

A=｛a，b，c，d，e｝，

　　也可记作

A=｛b，a，c，d，e）．

　　（ii）由小于40的质数组成的集合B，记作

B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．

　　（iii）平方等于1的有理数集合C，记作

C=｛1，-1｝．

　　（iv）三条直线l1，l2，l3组成的集合D，记作

D=｛l1，l2，l3｝．

（2）特征性质描述法

　　当一个集合所含元素较多时，用列举法描述很麻烦，这就要用到特征性质描述法．

　　所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：

（i）这个集合中每个元素都具有这些性质；（ii）具有这些性质的事物都是这个集合的元素．

　　例如，集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是

A=｛x│x2=1｝，

　　或者

A=｛x││x│=1｝．

　　全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是

B=｛x│x是能被2整除的整数｝，

　　或者

B=｛2n│n是整数｝．

　　全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是

C=｛x│x是不能被2整除的整数｝，

　　或者

C=｛2n＋1│n是整数｝，

C=｛2n-1│n是整数｝．

　　一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：

A=｛x│x具有性质α｝．

　　2．集合之间的关系和运算

（1）包含与子集

　　（i）你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：

前者是后者的子集，后者包含前者．

　　（ii）设集合

　　例1设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有子集．

　　｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．

（2）交集运算

　　对于给定的集合A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A与B的交集．我们用A∩B表示A，B的交集（图2-88）．例如

　　（i）如图2-89，设

A=｛x│x是12的正因数｝，

B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝，

　　则

　　A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．

　　所以A∩B=｛6，12｝．

　　（ii）设l1，l2是平面上两条不同的直线，则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合．

　　如果l1与l2相交于一点P，则l1∩l2=｛P｝（图2-90）；

　　（3）并集运算

　　对于给定的两个集合A，B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B的并集，我们用符号A∪B表示A，B的并集（图2-92）．例如

　　（i）设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合．

　　（ii）设

A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，

　　则A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．

　　注意在求上述集合A，B的并集时，虽然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次．

　　（iii）设E=｛x│x是实数，且x≥4｝，

　　F={x│x是实数，且x≤-4}，G={x│x2≥16}．

　　则E∪F=G．

　　一般地说，如果α，β分别是集合A，B的特征性质，即

　　A={x│x具有性质α}，B=｛x│x具有性质β｝，则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合，也就是

A∪B=｛x│x具有性质α或β｝，

　　或者

A∪B={x│x∈A或x∈B}．

　　例2设

　　A={x│x是12的正因数}，B={x│x是18的正因数}，

C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．

　　求：

（1）A∩B∩C；

（2）A∪B∪C．

　　解根据已知条件，用填文氏图各区域的元素的方法来解决（如图2-93（a），（b））.

（1）A∩B∩C=｛1，2，3｝；

（2）A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．

　　例3设A={1，a，a2}，B={1，a，b），假定A，B中的元素都是整数，并且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值．

　　解因为A=｛1，a，a2｝，B=｛1，a，b｝，所以

A∩B＝｛1，a｝．

　　已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于

　　A∪B=｛1，a，b，a2｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．

§17．2简易逻辑

　　逻辑一词是LOGIC的音译，它是研究思维法则的一门学科．数学和逻辑的关系非常密切，在此，对逻辑知识做一些初步介绍．

　　1．推出关系

　　如果设A={x│x是4的倍数}，B={x│x是2的倍数}，则A中元素具有性质α——4的倍数；B中元素具有性质β——2的倍数．我们知道：

如果某元素x是4的倍数，那么x一定是2的倍数，即具有性质

　　一般地说，如果具有性质α的元素也具有性质β，我们便说由α推

　　下面再举一个例子．

　　2．命题和证明

（1）命题和逆命题

　　人们在思维活动中，经常要对客观事物做出判断．例如：

　　（i）雪是白的；

　　（ii）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；

　　（iii）3+4=6；

　　上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的（真），也可能是错误的（假）．我们把肯定或否定的判断语句叫作命题．上述语句（i），（ii），（iii），（iv）都是命题．

　　关于命题的真假性，有些容易判断，如（i），（ii）是真命题，（iii）是假命题．但对（iv）的真假性就不是显然可判断的．可通过设x=1，y=0（x＞y），那么

　　因此，命题（iv）为假命题（注意：

证明一个命题为真命题，必须通过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可）．

　　数学命题具有多种形式，经常采用的命题形式是“若α，则β”，“如果α，那么β”．

　　命题“若α，则β”或是真命题，或是假命题，二者必居其一．“若

　　当由α不可能推出β时，“若α，则β”便是假命题．

　　在命题“若α，则β”中，α叫作这个命题的条件，β叫作这个命题的结论．如果将命题“若α，则β”的条件和结论互换，就得到一个新命题“若β，则α”，这两个命题之间具有互连关系，其中一个叫作原命题时，则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题．

　　当“如果α，则β”为真命题时，它的逆命题“如果β，则α”不一定是真命题．例如：

　　（i）“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命题．它的逆命题“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命题．

　　（ii）“若a=0并且b=0，则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0并且b=0”就不是真命题．

　　（iii）“如果∠1，∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“∠1=∠2，那么∠1，∠2是对顶角”就是假命题．

（2）证明

　　我们要说明“若α，则β”是真命题时，以什么方式来推证呢？

最常用的基本格式就是推出关系的传递性，即：

　　如果

　　那么

　　例如，（i）若

　　∠1和∠2是对顶角，①

　　对顶角相等，②

　　则∠1=∠2．③

　　（ii）张三是人，①

　　凡人必有死，②

　　所以张三必有死．③

　　上述推理格式叫作三段论式，推理中的①，②是两个前提条件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的结论．

　　实际上，三段论式和推出关系的传递性是一致的．例如“对顶角相等”的证明过程，可以像下面这样来理解．

　　已知：

∠1是∠2的对顶角（图2-98），求证：

∠1=∠2．

　　证

　　从上述证明过程可知，要证明“若α，则β”，我们先设法找出一

　　应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据，经过推演，导出某一命题成立，这种方法就叫作演绎推理法（简称演绎法）．演绎法是证明数学问题的重要方法．

　　　　　　＝a2＋b2＋c2

　　（a+b-c）2=a2+b2+c2.

　　例2某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H八位同学获得了前八名，老师叫他们猜一下谁是第一名．A说：

“或者F，或者H是第一名．”B说：

“我是第一名．”C说：

“G是第一名．”D说：

“B不是第一名．”E说：

“A说的不对．”F说：

“我不是第一名．”G说：

“C不是第一名．”H说：

“我同意A的意见．”老师说八个人中有三人猜对了，那么试问第一名是谁？

　　分解与解由已知条件可知：

A与H同真假，E与F同真假，B与D必定一真一假．

　　（i）如果A与H猜对了，那么D与G也都猜对了．这样就有四人猜对，不合题意，因此，A与H必定都猜错了．

　　（ii）如果E与F猜对了，即F与H都不是第一名，这时若B猜对了，那么D就猜错了，C也猜错了，G猜对了，这样，就有E，F，B，G四人猜对，也与题意不符．因此B猜的不对，D猜对了，这时已有E，F，D三人猜对，所以G，C都必定猜错了，所以C是第一名．

练习十七

　　1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，8}，写出集合：

（1）A∩B∩C；

（2）A∪B∪C；

　　（3）A∩（B∪C）；（4）A∪（B∩C）．

　　3．有某种产品100个，通过两种检查，第一种检查合格品有90个，第二种检查合格品有78个，两种检查都合格的有72个．试问这100个产品中，通过两种检查都不合格的产品有多少个？

（1）a＞0□│a│＞0；

（2）a＝0且b=0□a2＋b2=0；

　　（3）（x-a）（x-b）=0□x=a或x=b；

　　（4）如果α＞1，β＞2，γ＞3，那么，α□γ，β□α，β□γ．

　　5．写出下列命题的逆命题，并指出其真假．

（1）若a=b，则（a-b）2=0；

（2）若a=b，则a2-b2=0；

　　（3）若a≠b，则a2＋b2＞2ab；

　　6．已知3（a2＋b2＋c2）=（a+b+c）2，求证：

a=b=c．