EXCEL回归分析结果的详细阐释.docx
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EXCEL回归分析结果的详细阐释
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[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
EXCEL回归分析结果的详细阐释
Excel回归分析结果的详细阐释
利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。
下面以连续10年积雪深度和灌溉面积序列（图1）为例给予详细的说明。
图1连续10年的最大积雪深度与灌溉面积（1971－1980）
回归结果摘要（SummaryOutput）如下（图2）：
图2利用数据分析工具得到的回归结果
第一部分：
回归统计表
这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下（表1）：
表1回归统计表
逐行说明如下：
Multiple对应的数据是相关系数（correlationcoefficient），即R=。
RSquare对应的数值为测定系数（determinationcoefficient），或称拟合优度（goodnessoffit），它是相关系数的平方，即有R2==。
Adjusted对应的是校正测定系数（adjusteddeterminationcoefficient），计算公式为
式中n为样本数，m为变量数，R2为测定系数。
对于本例，n=10，m=1，R2=，代入上式得
标准误差（standarderror）对应的即所谓标准误差，计算公式为
这里SSe为剩余平方和，可以从下面的方差分析表中读出，即有SSe=，代入上式可得
最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n=10。
第二部分，方差分析表
方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F值、P值等（表2）。
表2方差分析表（ANOVA）
逐列、分行说明如下：
第一列df对应的是自由度（degreeoffreedom），第一行是回归自由度dfr，等于变量数目，即dfr=m；第二行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n-m-1；第三行为总自由度dft，等于样本数目减1，即有dft=n-1。
对于本例，m=1，n=10，因此，dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9。
第二列SS对应的是误差平方和，或称变差。
第一行为回归平方和或称回归变差SSr，即有
它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。
第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe，即有
它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。
上述的y的标准误差即由SSe给出。
第三行为总平方和或称总变差SSt，即有
它表示的是因变量对其平均值的总偏差。
容易验证+=，即有
而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有
显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。
第四列MS对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。
第一行为回归均方差MSr，即有
第二行为剩余均方差MSe，即有
显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。
第四列对应的是F值，用于线性关系的判定。
对于一元线性回归，F值的计算公式为
式中R2=，dfe=10-1-1=8，因此
第五列SignificanceF对应的是在显着性水平下的Fα临界值，其实等于P值，即弃真概率。
所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P便是模型为真的概率。
可见，P值越小越好。
对于本例，P=<，故置信度达到%以上。
第三部分，回归参数表
回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表3）。
表3回归参数表
第一列Coefficients对应的模型的回归系数，包括截距a=和斜率b=，由此可以建立回归模型
或
第二列为回归系数的标准误差（用
或
表示），误差值越小，表明参数的精确度越高。
这个参数较少使用，只是在一些特别的场合出现。
例如L.Benguigui等人在Whenandwhereisacityfractal一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准，建议采用作为分维判定的统计指标（参见EPB2000）。
不常使用标准误差的原因在于：
其统计信息已经包含在后述的t检验中。
第三列tStat对应的是统计量t值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。
t值是回归系数与其标准误差的比值，即有
，
根据表3中的数据容易算出：
，
对于一元线性回归，t值可用相关系数或测定系数计算，公式如下
将R=、n=10、m=1代入上式得到
对于一元线性回归，F值与t值都与相关系数R等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。
但是，对于多元线性回归，t检验就不可缺省了。
第四列Pvalue对应的是参数的P值（双侧）。
当P<时，可以认为模型在α=的水平上显着，或者置信度达到95%；当P<时，可以认为模型在α=的水平上显着，或者置信度达到99%；当P<时，可以认为模型在α=的水平上显着，或者置信度达到%。
对于本例，P=<，故可认为在α=的水平上显着，或者置信度达到%。
P值检验与t值检验是等价的，但P值不用查表，显然要方便得多。
最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。
可以看出，在α=的显着水平上，截距的变化上限和下限为和，即有
斜率的变化极限则为和，即有
第四部分，残差输出结果
这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。
残差输出中包括观测值序号（第一列，用i表示），因变量的预测值（第二列，用
表示），残差（residuals，第三列，用ei表示）以及标准残差（表4）。
表4残差输出结果
预测值是用回归模型
计算的结果，式中xi即原始数据的中的自变量。
从图1可见，x1=，代入上式，得
其余依此类推。
残差ei的计算公式为
从图1可见，y1=，代入上式，得到
其余依此类推。
标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average和标准差命令stdev容易验证，残差的算术平均值为0，标准差为。
利用求平均值命令standardize（残差的单元格范围，均值，标准差）立即算出表4中的结果。
当然，也可以利用数据标准化公式
逐一计算。
将残差平方再求和，便得到残差平方和即剩余平方和，即有
利用Excel的求平方和命令sumsq容易验证上述结果。
以最大积雪深度xi为自变量，以残差ei为因变量，作散点图，可得残差图（图3）。
残差点列的分布越是没有趋势（没有规则，即越是随机），回归的结果就越是可靠。
用最大积雪深度xi为自变量，用灌溉面积yi及其预测值
为因变量，作散点图，可得线性拟合图（图4）。
图3残差图
图4线性拟合图
第五部分，概率输出结果
在选项输出中，还有一个概率输出（ProbabilityOutput）表（表5）。
第一列是按等差数列设计的百分比排位，第二列则是原始数据因变量的自下而上排序（即从小到大）——选中图1中的第三列（C列）数据，用鼠标点击自下而上排序按钮
，立即得到表5中的第二列数值。
当然，也可以沿着主菜单的“数据（D）→
排序（S）”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。
用表5中的数据作散点图，可以得到Excel所谓的正态概率图（图5）。
表5概率输出表
图5正态概率图
【几点说明】
第一，多元线性回归与一元线性回归结果相似，只是变量数目m≠1，F值和t值等统计量与R值也不再等价,因而不能直接从相关系数计算出来。
第二，利用SPSS给出的结果与Excel也大同小异。
当然，SPSS可以给出更多的统计量，如DW值。
在表示方法上，SPSS也有一些不同，例如PValue（P值）用Sig.（显着性）表征，因为二者等价。
只要能够读懂Excel的回归摘要，就可以读懂SPSS回归输出结果的大部分内容。
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