八年级数学综合复习二华东师大版知识精讲.docx
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八年级数学综合复习二华东师大版知识精讲
初二数学综合复习
（二）华东师大版
【本讲教育信息】
一.教学内容：
综合复习
（二）
复习内容：
勾股定理、平移与旋转、平行四边形的认识
二.重点、难点：
1.重点：
（1）勾股定理与直角三角形的判定；
（2）平移、旋转的特征；
（3）平行四边形的性质；
（4）几种特殊的平行四边形.
2.难点：
（1）勾股定理与其逆定理的应用；
（2）平移与旋转的特征的运用；
（3）旋转对称图形、中心对称与中心对称图形的区别联系；
（4）平行四边形以及几种特殊平行四边形的性质的综合运用。
三.知识梳理：
1.勾股定理与直角三角形的判定
勾股定理揭示了直角三角形中两直角边与斜边之间的数量关系。
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
即如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么这三边a、b、c有如下关系：
a2+b2=c2
勾股定理揭示了直角三角形的三边关系.其作用有：
①已知两边求第三边；
②证明三角形中的某些线段的平方关系；
直角三角形的判定：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，边c所对的角是直角。
注意：
直角三角形的判定定理不能叙述为：
当斜边的平方等于两条直角边平方的和时，这个三角形为直角三角形.这样叙述在判定前就已经把待判定的三角形当作了直角三角形、直角三角形的判定定理是把数转为形，是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形、直角三角形的判定定理作为判断一个三角形是否是直角三角形的根据之一，其运用步骤是：
（1）首先确定最大边（如c）。
（2）验证a2+b2与c2是否具备相等的关系：
①若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C＝900的直角三角形；
②c为最长边，若a2+b2不等于c2，则△ABC不是直角三角形。
勾股定理的验证方法很多，用拼图的方法来证明勾股定理最简捷和直观。
2.平移与旋转
（1）平移：
图形的平行移动，称为平移。
在平移中，要注意基本元素的平移。
在平移过后，能找到原来元素的对应元素。
如图1：
（2）平移的特征：
经过观察，发现平移后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在一直线上）并且相等，对应角相等，平移后对应点所连成的线段平行并且相等，图形的形状、大小都没有改变，改变的只是图形的位置。
如图2：
（3）图形的旋转：
物体绕着某个点转动，叫做旋转。
绕着旋转的点，叫做旋转中心。
旋转中心在旋转过程中保持不变。
图形的旋转由旋转中心和旋转的角度决定。
如图3：
（4）旋转的特征：
观察上面图3，发现：
图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等、对应线段相等、对应角相等，图形的大小和形状未发生改变。
3.旋转对称图形和中心对称图形，中心对称与中心对称图形：
（1）旋转对称图形和中心对称图形：
某图形如果绕固定圆心旋转60°（或120°或180°）后，能与自身重合。
这种图形就称之为旋转对称图形，如电扇的转叶。
而某一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。
（2）中心对称与中心对称图形：
如果一个图形绕着某一点旋转180°，能与另一个图形重合，就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心。
这两个图形的对应点，叫关于中心对称的对称点。
如图4：
中心对称与中心对称图形是两个不同的概念.
4.图形的全等：
图形经过翻折或平移或旋转过程，只是位置发生了改变，而在变换前后图形的对应线段相等，对应角相等，即它们的形状和大小并没有改变.我们把能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
若两对多边形是全等图形，也称是全等多边形。
全等多边形的对应边、对应角分别相等.三角形是特殊的多边形，所以，全等三角形的对应边、对应角分别相等。
5.平行四边形的性质：
平行四边形的定义为“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。
因此其最大
的性质特征是其两组对边平行。
另外，如果绕着对角线的交点O将平行四边形ABCD旋转，发现旋转180°后，与原图形完全重合。
由此可以得到（如图5所示）：
AD＝BC，AB＝DC
∠A＝∠C，∠B＝∠D
即平行四边形的对边相等，对角相等
6.几种特殊的平行四边形：
（1）矩形：
也叫长方形，是每个内角都是直角的平行四边形。
平行四边形所有的性质，矩形都有。
而且，矩形还有另外的性质：
①矩形的四个内角都是直角。
②矩形的对角线相等且互相平分。
（2）菱形：
四条边都相等的平行四边形，叫菱形。
菱形四边相等，且其对角线互相垂直平分。
（3）正方形：
正方形是非常特殊的四边形，它既可以看作有一个角是直角的菱形，又可以看作有一组邻边相等的矩形。
它既是中心对称图形，又是轴对称图形。
7.梯形：
在梯形中，主要研究等腰梯形。
发现：
（1）等腰梯形是一个轴对称图形；
（2）等腰梯形同一底边上的两个内角相等；
（3）等腰梯形的两条对角线相等。
【典型例题】
例1.若直角三角形的三边长为2、4、x，则x的可能值有（）.
A.1个B.2个C.3个D.4个
分析：
本题没有说明4，x谁为斜边，故应分两种情况讨论.若4为斜边，则X为直角边，由勾股定理可得一值；若x为斜边，由勾股定理得另一个值。
解：
答案：
B。
例2.在ΔABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.
分析：
此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形的内部也可能在三角形外部，所以应考虑其高的位置分两种情况来解答.如下图所示，ΔABC有两种情况（如下图①②）。
图①图②
解：
当BC边上的高AD在ΔABC的内部时，如图①，由勾股定理，分别在RtΔABD和RtΔADC中，得BD2=AB2-AD2=152-122=81，则BD=9；CD2=AC2-AD2=202-122=256，则CD=16。
所以BC=9+16=25。
当BC边上的高AD在ΔABC的外部时，如图②，同样由勾股定理可得BD=9，CD=16，这时BC=16-9=7。
综上，可得BC边的长为25或7。
例3.下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到左图的是（）
分析：
A先平移然后再旋转可以得到左图，B通过旋转可以得到左图，D可通过轴对称变换得到左图，C是封闭的，它通过平移旋转只能形成几个封闭的图形，而左图不是封闭的图形.
解：
答案：
C
例4.在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如：
正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°。
（1）判断正误（在相应的括号内填上“√”或“×”）.
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°.（）
②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（）
（2）填空：
下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是______________________（写出所有正确结论的序号）：
①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形。
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：
；
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：
.
分析：
从题目的阅读材料可以知道：
因为等腰梯形绕它的对角线的交点旋转180°后，不能与自身重合，所以不是旋转对称图形；而矩形绕它的对角线的交点旋转180°后，能与自身重合，所以是旋转对称图形，旋转角为180°。
对照上面的材料可知
（2）中的四个图形都是旋转对称图形，但只有正三角形和正六边形有一个旋转角是120°。
（3）的结论不唯一，只要符合条件的都行，但要注意旋转角为72°。
解：
（1）中的①×，②√；
（2）应填①、③；
（3）的答案可以是①如正五边形，正十五边形；②如正十边形，正二十边形.
例5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
分析：
A是一个轴对称图形，B既是轴对称图形又是中心对称图形，C是中心对称图形但不是轴对称图形，D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，是旋转对称图形。
解：
选B.
例6.如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分．若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为_______。
分析：
同心圆是指圆心相同的两个圆，三条直径同样把小圆也分成了面积相等的六部分，小圆绕圆心旋转60°后，小圆中的阴影部分如图所示，故阴影部分面积为大圆面积的
，即
×
×22=2
。
解：
答案：
2
例7.已知□ABCD的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD于F，可得OE＝OF。
为什么？
分析：
要得到OE＝OF，可先证得它们所在△AEO与△CFO（△BEO与△DFO）重合．
解：
在□ABCD中，
∵AB∥CD，OD＝OB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴将△BOE绕点O旋转180度后与△DOF重合．
∴OE＝OF．
注意：
把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征来说理．
例8.已知如图所示，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE＝CF＋AE。
分析：
要说明BE＝CF＋AE，如果把△ABE绕点B沿顺时针旋转90°成△BCN，现在只须说明BN＝NF，而∠BFN＝∠ABE＋∠EBF，∠ABE＝∠CBF，从而有∠BFN＝∠FBN，所以BN＝NF＝CN＋CF＝AE＋CF＝BE．
解：
将△ABE绕点B沿顺时针旋转90°成△BCN
∴∠ABE＝∠CBN，BE＝BN
∵四边形ABCD为正方形
∴CD∥AB
∴∠NFB＝∠ABF
∵∠ABF＝∠ABE＋∠EBF
∠NBF＝∠NBC＋∠CBF
∠EBF＝∠FBC
∴∠NBF＝∠NFB
∴BN＝NF＝CN＋CF
∴BE＝AE＋CF
说明：
旋转变换就是图形绕点旋转，其性质为：
旋转前后的图形重合。
例9.已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________。
分析：
本题是几何中的计算问题．通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长。
解：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z
由题得：
x+y+z=16
，（熟记梯形面积公式）
解得x+y=8，z=8
过D作DE∥AC交BC的延长线于E
∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）
∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）
在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8
根据勾股定理得
∵AC=DE
∴
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
一.选择题：
1.下面的说法不正确的是（）
A.火车在笔直的铁轨上行驶，可看作火车在平移
B.小明第一次乘观光电梯，随着电梯的上升，他高兴地对同伴说：
太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了
C.推开屋门回到温暖的家，离不开旋转变换
D.小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印不能通过平移或旋转与右手手印完全重合
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
3.在四边形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，则四边形ABCD是（）
A.平行四边形B.等腰梯形C.矩形D.等腰梯形或矩形
4.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是（）
A.
B.
C.
D.
二.填空题：
1.如图所示，□ABCD中的全等三角形是___________________。
2.如图所示，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和
cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是___________cm。
3.已知菱形ABCD中，若它的面积是12，且AC=3，则BD=__________。
4.用两个全等的三角形最多能拼成________个不同的平行四边形。
5.如图所示，在周长为30cm的梯形ABCD中，AB∥CD，若DE∥BC，CD=5cm，则ΔADE的周长为__________。
6.如图所示，四边形CDEF旋转后与正方形ABCD重合，那么旋转中心可以取的位置有_____个。
三.解答题：
1.小明和小东经常在一块等腰三角形的草坪上玩耍，一天他们发现了一个有趣的现象：
如图，草坪为等腰三角形ABC，AB=AC，他们两人同在BC边上一点P，然后小明沿AC平行线PE（点E在AB上）、EA走向A处，小东沿BA的平行线PF（F点在AC上）、FA走向A处，当他们两个步行速度一样时，则同时到达A点.并且在BC边上不断改变P点位置，在步行速度一定时，他们到达A处的时间也完全一样，你知道为什么吗?
说说你的理由。
2.如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF、CH、DG分别为四个内角的平分线，这四条角平分线分别交于点M、N、P、Q。
试问：
四边形MNPQ是什么四边形?
并说明理由。
3.观察图①和图②，请回答下列问题：
（1）请简述由图①变换为图②的形成过程；
（2）若AD=3，DB=4，求ΔADE与ΔBDF面积的和.
4.假期中，小明和小强到某海岛观光旅游，在岛上两人参加探宝游戏，按照旅游公司提供的探宝图（如图），它们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走6千米往东一拐，仅走1千米就找到了宝藏.问：
登陆点A到宝藏的埋藏点B的直线距离是多少千米?
5.自我设计：
通知
学校有一块正方形空地（见图），要在上面修建一个花园，现征集花园设计方案，要求：
在布局上必须体现出旋转的特点，既美观又大方简练，既要是旋转对称图形，又要是轴对称图形……
团委
2007年1月5日
【试题答案】
一.选择题。
1.B2.B3.D4.A.
二.填空题。
1.ΔABD≌ΔCDB
2.53.84.35.20cm6.3
三.解答题。
1.因为PE∥AC，PF∥AB，所以四边形PEAF是平行四边形。
所以PE=AF，PF=AE。
所以PE+AE=PF+AF.即小明和小东从点P到点A的距离相等.因此他们在步行速度一定时，到达A处的时间也完全一样。
2.四边形MNPQ是矩形.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC。
所以∠BAD+∠ABC=180°。
因为AE、BF平分∠BAD和∠ABC，所以∠BAE+∠ABF=90°，所以∠ANB=180°-（∠BAE+∠ABF）=90°，所以∠MNP=180°-∠ANB=90°。
同理可得∠NPQ=∠MQP=90°，所以四边形MNPQ是矩形。
3.
（1）图①变换为图②的形成过程是ΔDA1F绕点D顺时针方向旋转90°。
（2）根据旋转的特征，可得AD=A1D=3，∠A1DF=∠ADE.所以∠A1DB=90°。
所以
4.根据题意，构造如图所示的直角三角形，根据勾股定理可得到：
登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是10千米。
5.只要设计的图案体现出旋转的特点，既是旋转对称图形，又是轴对称图形就行。
（图略）
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