中国精算师金融数学第9章 金融衍生工具定价理论综合练习与答案.docx
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中国精算师金融数学第9章金融衍生工具定价理论综合练习与答案
中国精算师
金融数学
第9章 金融衍生工具定价理论综合练习与答案
一、单选题
1、某一股票当前的交易价格为10美元，3个月末，股票的价格将是11美元或者9美元。
连续计复利的无风险利率是每年3.5％，执行价格为10美元的3个月期欧式看涨期权的价值最接近于（ ）美元。
A.1.07
B.0.54
C.0.81
D.0.95
E.0.79
【参考答案】：
B
【试题解析】：
在这种情形下，ｕ＝1.1，d=0.9，r=0.035，如果股票价格上升，则期权价值为1美元，如果股票价格下降，则期权价值为0。
价格上升的概率p可以计算为（e0.035×3/12-0.9）／（1.1-0.9）=0.5439。
因此，该看涨期权的价值是e0.035×3/12×（0.5439×1）=0.54（美元）。
2、一只不分红的股票现价为37美元。
在接下来的6个月里，每3个月股价要么上升5％，要么下降5％。
连续复合收益率为7％。
计算期限为6个月，执行价格为38美元的欧式看涨期权的价值为（ ）美元。
A.1.2342
B.1.1236
C.1.0965
D.1.0864
E.1.0145
【参考答案】：
A
【试题解析】：
3、某股票的当前价格为50美元，在今后两个3个月时间内，股票价格或上涨6％，或下跌5％，无风险利率为每年5％（连续复利）。
执行价格为51美元，6个月期限的看涨期权的价格为（ ）美元。
A.1.653
B.1.635
C.1.615
D.1.605
E.1.561
【参考答案】：
B
【试题解析】：
①图的二叉树图描述了股票价格的变化行为。
向上趋势的风险中性概率p由下式给出：
对于最高的末端节点（两个向上的复合），期权收益为56.18－51=5.18（美元），而在其他情况中的收益为零。
因此，期权的价值为：
5.18×0.56892×e-0.05×0.5=1.635（美元）
②结果同样可以通过价格树计算出来。
看涨期权的价值为图9-2中每个节点的下面的数值。
图 二叉树图
4、某看涨期权的各项参数如下：
则用Black-Scholes期权定价模型计算欧式看涨期权的价格为（ ）美元。
A.1.01
B.1.06
C.1.36
D.1.61
E.2.65
【参考答案】：
B
【试题解析】：
根据Black-Scholes公式：
C=SΦ（d1）-Ke-rTΦ（d2）
可知该看涨期权的价值=75×0.68?
70×e-0.05×1×1×0.75=1.06（美元）
所以该看涨期权的价格也为1.06美元。
5、某股票价格服从几何布朗运动，其中收益率期望为16％，波动率为35％，股票的当前价格为38美元。
一个该股票上具有执行价格为40美元，期限为6个月的欧式看涨期权被行使的概率为（ ）。
A.0.4269
B.0.4598
C.0.4698
D.0.4968
E.0.5032
【参考答案】：
D
【试题解析】：
要求的概率就是6个月后股票价格超过40美元的概率。
假设6个月后股票的价格是ST，则有：
lnST~N（ln38+
×0.5,0.352×0.5）
也即：
lnST~N（3.687,0.06125）
因为ln40=3.689，则要求的概率为：
从正态分布表可以得出Φ（0.008）=0.5032，结果要求的概率是0.4968。
6、股票的当前价格为40美元，假定其收益率期望为15％，波动率为25％。
在两年内的股票收益率（连续复利）的概率分布是（ ）。
A.N（0.11875，0.03235）
B.N（0.11975，0.03125）
C.N（0.11875，0.03125）
D.N（0.11875，0.08125）
E.N（0.11875，0.13125）
【参考答案】：
C
【试题解析】：
μ=0.15和σ=0.25。
根据公式：
可得2年期连续复利的回报率的概率分布是：
也即：
N（0.11875,0.03125）
7、某股票的当前价格为50美元，已知在2个月后股票价格将变为53美元或48美元，无风险利率为每年10％（连续复利），执行价格为49美元，期限为2个月的欧式看涨期权价格为（ ）美元。
A.2.29
B.2.25
C.2.23
D.2.13
E.2.07
【参考答案】：
C
【试题解析】：
①两个月结束的时候，期权的价值或者为4美元（如果股票价格为53美元），或者为0美元（如果股票的价格为48美元）。
考虑一份资产组合的构成：
＋△：
股票，－1：
期权。
两个月后组合的价值或者为48Δ或者为53Δ－4。
如果：
48Δ=53Δ-4
也即：
Δ=0.8
资产组合的价值为38.4美元（48×0.8或者53×0.8－4）。
因此对于组合来说，Δ的值是无风险的。
组合的现值为：
0.8×50-f
其中f是期权的价值。
因为组合必须以无风险的利率盈利：
（0.8×50-f）e0.10×0.16667=38.4
也即：
f=2.23（美元）
因此期权的价值为2.23美元。
②可以直接运用公式：
f=e-rT[pfu+（1-p）fd]
其中：
由题意知，u=1.06，d=0.96，因此：
f=e-0.10×0.16667×0.5681×4=2.23（美元）
可见，两种方法结果一致。
8、假设一股票在相邻的交易日价格上涨50％的概率是1/3，下跌10％的概率是2/3。
如果该股票周一开始交易，价格是每股2美元，那么预期周四价格的期望值是（ ）美元。
A.1.458
B.2.662
C.3.785
D.5.489
E.6.75
【参考答案】：
B
【试题解析】：
设股票从周一到周四三天上涨的次数为X，则X~B（3,1/3）。
周四股票的价格P=2×（1+50%）X×（1-10%）3-X=2×1.5X×0.93-X
预期周四价格的期望值为：
9、某股票的当前价格为50美元。
假定股票的预期收益率为年率18％，波动率为30％，在两年后股票价格的95％的置信区间为（ ）。
A.28.52～150.44
B.28.42～150.54
C.28.32～150.64
D.28.52～153.44
E.27.52～151.44
【参考答案】：
A
【试题解析】：
S0=50（美元）、μ=0.18和σ=0.30。
未来两年的股票价格ST符合正态分布：
即：
lnST~N（4.18,0.18）
50e2×0.18=50e0.36=71.67（美元）
股票价格的标准差：
在给定95%的置信度下，lnST的置信区间为：
（4.18-1.96×0.42,4.18+1.96×0.42）
即：
3.35美元～5.01美元。
股票价格ST在95%置信度下的置信区间是：
e3.35～e5.01
即：
28.52美元～150.44美元。
10、假设股票价格S=50美元，执行价X=50美元，T=1年，r=12%，
=10%。
则看涨期权的理论价格为（）。
A.5.49
B.5.63
C.5.92
D.5.98
E.6.59
【参考答案】：
C
【试题解析】：
计算d1和d2:
分别为：
d1=[ln（S/X）+（r+σ2/2）T]/σT0.5
=[ln（50/50）+（0.12+0.01/2）×1]/0.1×1
=1.25
d2=d1-σT-0.5
=1.25-0.1×1
=1.15
查标准正态分布可得：
Φ（d1）=Φ（1.25）=0.8944
Φ（d2）=Φ（1.15）=0.8749
因此看涨期权理论价格为：
C=SΦ（d1）-Xe-rTΦ（d2）
=50×0.8944-50e-0.12×1×0.8749
=44.72-50×0.8669×0.8749
=44.72-38.80
=5.92
11、无股息股票中股票价格为52美元，执行价格为50美元，无风险利率为年率12％，波动率为年率30％，期限为3个月。
则该股票的欧式看涨期权的价格为（ ）美元。
A.4.65
B.5.00
C.5.06
D.5.16
E.5.36
【参考答案】：
C
【试题解析】：
在本题中S0=52（美元）、K=50（美元）、r=0.12、σ=0.30和T=0.25，
欧式看涨期权的价格为：
也即看涨期权的价格为5.06美元。
12、一个一年期欧式看涨期权，其标的资产为一只公开交易的普通股票，已知：
A.股票现价为122元
B.股票年收益率标准差为0.2
C.ln（股票现价/执行价现价）=0.2利用Black-scholes期权定价公式计算该期权的价格（ ）。
[2011年春季真题]
D.18
E.20
F.22
G.24
H.26
【参考答案】：
D
【试题解析】：
13、假设股价随机模型如下：
其中Z表示标准正态随机变量，则ST的95％置信区间为（ ）。
A.
B.
C.
D.
E.以上选项都不正确
【参考答案】：
C
【试题解析】：
14、某股票的当前价格为80美元，已知在4个月后股票价格将变为75美元或85美元，无风险利率为每年5％（连续复利），执行价格为80美元，期限为4个月的欧式看跌期权价格为（ ）美元。
A.1.65
B.1.71
C.1.73
D.1.75
E.1.80
【参考答案】：
E
【试题解析】：
①4个月结束时，期权的价值或者为5美元（如果股票价格为75美元），或者为0美元（如果股票的价格为85美元）。
考虑一份资产组合的构成：
－△：
股票，＋1：
期权。
参数delta（Δ）在看跌期权中为负值。
构建的这份资产组合为＋1份的期权和－Δ份的股票，以此保证初始投资为正。
4个月后组合的价值或者为－85Δ或者为－75Δ+5。
如果：
-85Δ=-75Δ+5
也即：
Δ=-0.5
资产组合的价值为42.5美元。
对于组合来说，Δ的值是无风险的。
组合的现值为：
0.5×80+f
其中f是期权的价值。
因为组合必须以无风险的利率盈利：
（0.5×80+f）e0.05×0.3333=42.5
也即：
f=1.80（美元）
因此期权的价值为1.80美元。
②可以直接运用公式：
f=e-rT[pfu+（1-p）fd]
其中：
由题意得，u=1.0625，d=0.9375，因此：
1-p=0.3655
f=e-0.05×0.3333×0.3655×5=1.80（美元）
可见，两种方法结果一致。
15、假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12％，该股票的年波动率为10％，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权价格为（ ）美元。
A.5.92
B.5.69
C.4.96
D.3.25
E.0.27
【参考答案】：
A
【试题解析】：
16、无股息股票的股票价格为69美元，执行价格为70美元，无风险利率为年率5％，波动率为年率35％，期限为6个月。
则该股票的欧式看跌期权的价格为（ ）美元。
A.5.60
B.5.80
C.6.00
D.6.20
E.6.40
【参考答案】：
E
【试题解析】：
在本题中，S0=69（美元）、K=70（美元）、r=0.05、σ=0.35和T=0.5，
欧式看跌期权的价格为：
也即看跌期权的价格为6.40美元。
17、不支付红利的股票当前价格是75美元，股票的年波动率是18.25％，当前连续计复利的无风险利率是5％。
现有的某一3年期欧式看涨期权的执行价格是90美元，假设该股票的价格每年将按比例地上升或者下降，且其在任何一年中股票价格将会上升的概率是60％，那么该欧式看涨期权的价值是（ ）美元。
A.22.16
B.12.91
C.3.24
D.7.36
E.8.36
【参考答案】：
D
【试题解析】：
首先，我们需要计算资产的价格上升的比例是
那么价格下降的比例是1／1.20=0.83。
下一步，我们打算在3年期间内股票价格变化的多种途径，该股票存在4种可能的期末价值：
Suuu=75×1.2×1.2×1.2=129.60（美元）
Suud=Sduu=Sudu=75×1.2×1.2×0.83=89.64（美元）
Sudd=Sdud=Sddu=75×1.2×0.83×0.83=62.00（美元）
Sddd=75×0.83×0.83×0.83=42.89（美元）
只有当价格连续3次上升时，期权才能在到期日处于实值状态，这一概率大约是（0.60）（0.60）（0.60）=0.216。
因此，当日期权的价值是（129.60-90）×0.216×e-0.05×3=7.36（美元）。
18、某股票的当前价格为50美元，在6个月后股票价格将变为60美元或42美元，无风险利率为每年12％（连续复利），计算执行价格为48美元，期限为6个月的欧式看涨期权价格为（ ）美元。
A.6.69
B.6.86
C.6.91
D.6.96
E.6.99
【参考答案】：
D
【试题解析】：
①6个月后，该期权价值为12美元（如果股票价格为60美元）或0美元（如果股票价格为42美元）。
考虑一个资产组合，包括：
＋△：
股票，－1：
衍生产品。
6个月后，资产组合价值为42△或60△-12，若：
42Δ=60Δ-12
解得：
Δ=0.6667
资产组合的价值确定为28美元。
因此，由于△的值是无风险的，该组合为无风险资产组合。
而该资产组合当期的价值为：
0.6667×50-f
其中f是期权的价值。
由于资产组合应至少获得无风险利率，所以有：
（0.6667×50-f）e0.12×0.5=28
解得：
f=6.96（美元）
因此，该期权的价值为6.96美元。
②应用风险中性理论可以得到相同的结果。
假设风险中性，p为股票价格上涨的概率，有：
60p+42（1-p）=50×e0.06
解得：
18p=11.09
从而有：
p=0.6161
在风险中性条件下，期权的期望价值为：
12×0.6161+0×0.3839=7.3932（美元）
其现值为：
7.3932e-0.06=6.96（美元）
所以，无套利原理与风险中性理论所得结论是一致的。
19、某一股票的价格为40美元，在今后两个3个月的时间段内，股票价格或上涨10％或下跌10％，无风险利率为每年12％（连续复利）。
执行价格为42美元，6个月的美式看涨期权价格与6个月的欧式看跌期权价格之差为（ ）美元。
A.0.401
B.0.409
C.0.412
D.0.419
E.0.457
【参考答案】：
C
【试题解析】：
①图表示的是描述股票价格变动情况的二叉树。
在风险中性条件下，股票价格上涨的概率p为：
经过计算期望收益和折现，期权的价格为：
（2.4×2×0.6523×0.3477+9.6×0.34772）e-0.12×6/12=2.118（美元）
所以，欧式期权的价格为2.118美元。
②该结果同样也可以从图中利用二叉树模型逆推求出。
图中每个节点的第二个数字即表示当期欧式期权的价格。
二叉树中每个节点的第三个数字表示的是美式期权的价格。
总价值为2.537美元。
所以：
美式期权的价格-欧式期权的价格=2.537-2.118=0.419（美元）
股票、欧式期权与美式期权价值的二叉树
在每个节点，第一个数字表示股票价格，第二个数字表示欧式期权价格，第三个数字表示美式期权价格。
20、一个3个月期的无股息股票，期权执行价格为50美元，股票当前价格为50美元，无风险利率为连续复利10％，波动率为年率30％。
则该股票的欧式看跌期权的价格为（ ）美元。
A.2.03
B.2.19
C.2.27
D.2.37
E.2.65
【参考答案】：
C
【试题解析】：
本题中，S0=50,K=50,r=0.1,σ=0.3,T=0.25,
欧式看跌期权价格为：
50Φ（-0.0917）e-0.1×0.25-50Φ（-0.2417）
=50×0.4634e-0.1×0.25-50×0.4045=2.37（美元）
即看跌期权价格为2.37美元。
21、下列选项中不属于Black-Scholes模型假设条件的是（ ）。
A.没有交易费用
B.没有税收
C.市场是可以套利的
D.无风险利率是一个常数
E.可以无限制的卖空
【参考答案】：
C
【试题解析】：
Black-Scholes是一个连续时间衍生品的定价模型。
该模型建立在对市场的下列假设之上：
①基础资产不支付红利，且其价格服从几何布朗运动；②市场是完全的，即所有未定权益都是可复制的；③市场是无套利的；④无风险利率r是一个常数，且任何期限的借贷利率都相等；⑤可以无限制的卖空；⑥市场无摩擦，即无税收成本、无交易成本；⑦基础资产可以以任何数量在任何连续的时间交易。
22、一个3个月期的无股息股票，期权执行价格为50美元，股票当前价格为50美元，无风险利率为连续复利10％，波动率为年率30％，在两个月后股票预计将支付股息1.5美元。
则该股票的欧式看跌期权的价格为（ ）美元。
A.2.03
B.2.19
C.2.27
D.3.03
E.3.68
【参考答案】：
D
【试题解析】：
在使用Black-Scholes公式之前，需从股票价格中减去股利的现值。
因此，
S0=50-1.50e-0.1667×0.1=48.52（美元）
又：
K=50,r=0.1,σ=0.3,T=0.25
所以：
欧式看跌期权价格为：
50Φ（0.1086）e-0.1×0.25-48.52/Φ（-0.0414）
=50×0.5432e-0.1×0.25-48.52×0.4835=3.03（美元）
即看跌期权价格为3.03美元。
23、某一股票当前的交易价格为10美元，3个月。
股票的价格将是11美元或者9美元。
连续计复利的无风险利率是每年3.5%，执行价格为10美元的3个月期欧式看涨期权的价值最接近于（ ）美元。
A.1.07
B.0.54
C.0.81
D.0.95
E.0.84
【参考答案】：
B
【试题解析】：
在这种情形下，u=1.1，d=0.9，r=0.035，如果股票价格上升，则期权价值为美元1，如果股票价格下降，则期权价值为0。
价格上升的概率p可以计算为（e0.035×3/12-0.9）/（1.1-0.9）=0.5439。
因此，该看涨期权的价值是e-0.035×3/12×（0.5439×1）=0.54。
24、某股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票价格或者上涨10％或下跌10％，无风险利率为每年8％（连续复利），执行价格为100美元，1年期的看跌期权的价格为（ ）美元。
A.1.92
B.1.95
C.1.97
D.1.98
E.1.99
【参考答案】：
A
【试题解析】：
图给出利用二叉树图为看跌期权定价的方法，得到期权价值为1.92美元。
期权价值也可直接通过方程式得到：
25、一只不分红的股票现价为37美元。
在接下来的两年里，每年股价要么上升5％，要么下降5％。
连续无风险收益率为7％。
则期限为两年、执行价格为38美元的美式看跌涨期权的价值为（ ）美元。
A.0.3473
B.1.0265
C.1.1368
D.2.1908
E.2.3654
【参考答案】：
C
【试题解析】：
二叉树过程如图所示。
考虑t=
时，上下两个节点是否要提前执行美式看跌期权。
在上面这个节点，如果不提前执行期权，则期权价值为
如果提前执行期权，则可得收益0。
（该节点股票价格为38.85美元，不应该提前执行）所以，该节点处期权价值P+=max（0.3473，0）=0.3473美元。
在下面这个节点，不提前执行期权的价值为
提前执行期权的收益为38-35.15=2.85美元，所以应该提前执行期权，此节点期权价值为P-=max（2.1908，2.85）=2.85（美元）。
最后，递推到t=0时，可得
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