小学思维数学讲义位值原理带详解.docx

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小学思维数学讲义位值原理带详解

位值原理

教学目标

1.利用位值原理的定义进行拆分

2.巧用方程解位值原理的题

知识点拨

位值原理

2.位值原理的表达形式：

以六位数为例：

abcdefa×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝：

当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一

个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”写,在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表

示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式

（2）利用十进制的展开形式，列等式解答

（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答

例题精讲

模块一、简单的位值原理拆分

例1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。

答案】10

例2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是？

（注：

老师年龄都在20岁以上）

考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空

关键词】学而思杯，4年级，第5题

解析】解设张老师年龄为ab，则李老师的年龄为ba，根据题意列式子为：

baab18，整理这个式子得到：

9ba18，所以ba2，符合条件的最小的值是a1,b3，但是13和31不符合题意，所

以，答案为a2与b4符合条件的为：

2442666岁。

【答案】

66岁

【例3】

把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是．

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】学而思杯，5年级，第3题

【解析】

设为ab，即10ab10ba1，整理得19a8b1，a3,b7，两位数为372

【答案】

37

【例4】

几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十

位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元

年。

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，4年级，初赛，10题

解析】肯定是1×××年，16－1＝15，百位，十位与个位和是15，十位加1后，数字和是15＋1＝16，此时十位和个位和是6的倍数，个位不是1，只能是2，十位原来是9，百位是4，所以是在1492年。

答案】1492

例5】小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：

他今年多少岁?

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】华杯赛，初赛，第11题

【解析】

设小明出生那年是，则1＋9＋a＋b＝95－10a－b

从而11a＋2b＝85在a≥8时，11＋2b>85；在a≤6时，11a＋2b≤66＋2×9＝84，所以必有a＝7，b＝4。

小明今年是1＋9＋7＋4＝21（岁）.

【答案】

21岁

【例6】

将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。

那么B＋A是B－A的倍。

（结果写成分

数形式）

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，六年级，初赛，第9题，5分

【解析】

将A的小数点向右移动两位则A变成100倍，即B=100A，那么B+A=101A，B-A=99A，B＋A是B－A的101倍。

99

【答案】

101

99

【例7】

一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位

数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。

考点】简单的位值原理拆【难度】3星【题型】填空

关键词】希望杯，五年级，复赛，第4题，5分

【解析】

令这个三位数为a0b，则由题意可知，100ab67（ab），可得a2b，而调换个位和百位之后变为：

b0a100ba102b，而abb3，则得到的新三位数是它的各位数字之和的102b3b34倍。

【答案】

34

【例8】

一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它

们的差。

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，四年级，复赛，第18题，10分

【解析】

【答案】

abccba个位是7，明显a大于c，所以10+c-a=7，a-c=3，所以他们的差为297297

例9】三位数abc比三位数cba小99，若a,b,c彼此不同，则abc最大是

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，五年级，初赛，第7题，6分

解析】由题意，abc99cba，有ac9，要abc最大，如果a9，那么c0，与cba为三位数矛盾；如果a8，那么c9，剩下b最大取7，所以abc最大是879。

答案】879

例10】一个三位数abc与它的反序数cba的和等于888，这样的三位数有个。

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，六年级，二试，第4题，5分

解析】显然ac、bb都没有发生进位，所以ac8、bb8，则b4，a、c的情况有1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种。

所以这样的三位数有7种。

答案】7个

例11】将2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同

的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是。

□□□□□□□□考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，六年级，初赛，第5题，6分

解析】设原式abcdefgh1000（ae）100（bf）10（cg）（dh）,其中a，b，c，d，e，f，g，h从2~9中选择。

显然，7ae，bf，cg，dh7，要让这个差最小，则应使ae1，bf7，cg5，dh3，即a6，e5，b2，f9，c3，g8，d4，h7，∴这个计算结果是1000700503247

答案】247

巩固】用1，2，3，4，5，7，8，9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是。

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，四年级，复赛，第5题，5分

解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取123，所以

这两个四位数应该是4987和5123，差为136.

答案】136

例12】在下面的等式中，相同的字母表示同一数字，若abcddcba□997，那么□中应填。

考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】3星【题型】填空

关键词】华杯赛，五年级，决赛，第3题，10分

解析】由题意知，a≥d,由差的个位为7可知，被减数个位上的d要向十位上的c借一位，则10+d－a=7,即a－d=3.又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b=c，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即a1d2,因此□内应填入2。

答案】2

例13】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空

关键词】希望杯，五年级，初赛，第6题，4分

解析】本题属于基础型题型。

我们不妨设a>b>c。

（abc-cba）÷99＝[（100a+10b+c）-（100c+10b+a）]÷99＝（99a-99c）÷99＝a-c；答案】a与c的差

巩固】ab与ba的差被9除，商等于与的差；

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空解析】（ab-ba）÷9＝[（10a+b）-（10b+a）]÷9＝（9a-9b）÷9＝a-b；

答案】a与b的差

巩固】ab与ba的和被11除，商等于与的和。

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空解析】（ab+ba）÷11＝[（10a+b）+（10b+a）]÷11＝（11a+11b）÷11＝a+b。

答案】a与b的和

例14】xy，zw各表示一个两位数，若xy+zw=139，则x+y+z+w=。

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，4分

解析】和的个位为9，不会发生进位，y+w=9，十位明显进位x+z=13，所以x+y+z+w=22

答案】22

例15】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？

考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】解答关键词】美国，小学数学奥林匹克

解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，

abba（10ab）（10ba）9（ab）45，ab5，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a9，b4，原来的两位数中最大的是94．

答案】94

关键词】希望杯，六年级，初赛，第13题，6分

解析】设这个两位数是ab，则100a+b=8（10a+b）-1，化为20a+1=7b，方程的数字解只有a=1，b=3，原来的两位数是13。

答案】13

例17】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．

考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答关键词】清华附中

解析】设这样的四位数为abcd，则abcdabcd2008，即1001a101b11c2d2008，则a1或2．

⑴若a2，则101b11c2d6，得bc0，d3，abcd2003；

⑵若a1，则101b11c2d1007，由于11c2d11929117，所以101b1007117890，所以b8，故b为9，11c2d100790998，则c为偶数，且11c982980，故c7，由c为偶数知c8，d5，abcd1985；所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：

200319853988．

答案】3988

巩固】已知abcdabcaba1370,求abcd.考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答解析】原式：

1111a＋111b＋11c＋d＝1370，

所以a＝1，则111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，111b＋11c＋d＝259推知b＝2；则222＋11c＋d＝259，11c＋d＝37进而推知c＝3，d＝4所以abcd＝1234。

答案】1234

例18】abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd—abc—ab—a=1787，

则这四位数abcd=或考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空

关键词】希望杯，4年级，初赛，16题

解析】原式可表示成：

889a89b9cd1787，则知a只能取：

1或2，当a1时，b无法取，故此值舍去。

当a2时，b0，c0或1，d相应的取9或0.所以这个四位数是：

2009或2010。

答案】2009或2010

例19】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数），新数比原数

大8802．求原来的四位数．

考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

解析】设原数为abcd，则新数为dcba，

dcbaabcd（1000d100c10ba）（1000a100b10cd）999（da）90（cb）．根据题意，有999（da）90（cb）8802，111（da）10（cb）97888890．推知da8，cb9，得到d9，a1，c9，b0，原数为1099．

答案】1099

巩固】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有

0的四位数M，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答解析】设组成这个四位数的四个数码为a，b，c，d（9abcd1），

则有abcddcba383443388172，

可得999（ad）90（bc）81727992180，

则ad8，bc2，a9，d1，M1cb94338，且M的四位数字分别为1、c、b、9，由于8917的个位数字为7，所以b，c中有一个为7，但bc2，所以c不能为7，故b7，c5，M157943385917．

答案】5917

例20】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。

例如，99就是一个巧数，因为9×9＋（9＋9）＝99。

可以证明，所有的巧数都是两位数。

请你写出所有的巧数。

考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

解析】设这个巧数为ab，则有ab+a+b＝10a+b，a（b+1）＝10a，所以b+1＝10，b＝9。

满足条件的巧数有：

19、29、39、49、59、69、79、89、99。

答案】巧数有：

19、29、39、49、59、69、79、89、99。

例21】聪聪和明明做猜数游戏，聪聪让明明任意写出一个四位数，明明就写了明年的年号2008，聪聪让

明明用这个四位数减去它各个数位上的数的和，明明得到2008（2008）1998，聪聪又让明明将所得的数随便圈掉一个数，将剩下的数说出来，明明圈掉了8，告诉聪聪剩下的三个数是1，

9，9。

聪聪一下就猜出圈掉的是8，明明感到莫名其妙，于是又做了一遍这个游戏，最后剩下的三个数是6，3，7，这次明明圈掉的数是多少，聪明你猜出来了么？

考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

解析】设任意一个四位数为abcd依题意中的计算方法可得

abcd（abcd）999a99b9c9（111a11bc）即任意一个四位数减去其各个数位数字之和后的结果是9的倍数，根据被9整除的数字特点：

各位数字之和应是9的倍数，而6＋3＋7＝16，16不是9的倍数，所以圈掉的数字是2。

答案】2

例22】设八位数Aa0a1a7具有如下性质：

a0是A中数码0的个数，a1是A中数码1的个数，⋯⋯，a7是A中数码7的个数，则a0a1a2a7。

a5a6a7，该八位数

A。

考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空

关键词】学而思杯，6年级

解析】

（1）由于a0是A中数码0的个数，a1是A中数码1的个数，，a7是A中数码7的个数，那么

a0a1a2a7表示A中所有数码的个数；而实际上A中共有8个数码，所以

a0a1a2a78。

（2）略

（3）a5a6a70，说明a5、a6、a7都是0，这就表明A的末三位都是0，另外还表明A的各位数码中都没有出现5、6、7，所以A的数码中最大的最多为4，所以3a04。

如果a03，也就是A的首位为3，末位都为0，中间的四位中还有一位为0，另外的三个数之和为4，只能是2个1和1个2。

由于1出现了两次，所以a11，由于2和4各出现了1次，所以a2和a4都是1，这样可得A为42101000。

答案】a0a1a2a78，a5a6a70，42101000

模块二、复杂的位值原理拆分

【例23】有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？

【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，培训试题

【解析】设这六个不同的三位数为abc,acb,bac,bca,cab,cba，

因为abc100a10bc，acb100a10cb，⋯⋯，它们的和是：

222（abc）1554，所以abc15542227，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少

为1，2，而7（12）4，所以最大的数最大为4；又12367，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．

【答案】1，2，4

【巩固】有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数的最小值．

【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：

abcacbbacbcacabcba2（abc）1002（abc）102（abc）222（abc）所以abc288622213，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193，所以所

有这样的6个三位数中最小的三位数为139．

【答案】139

【例24】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。

若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？

最大的可能是几？

【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

【解析】设这三个数字分别为a、b、c。

由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222×（a＋b＋c）＝3330，推知a＋b＋c＝15。

所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。

【答案】最小为159，最大为951

【例25】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？

【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

【解析】卡片“9倒”过来看是“6”。

作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6，”1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。

这12个数的平均值是：

[（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）]×222÷12＝573.5。

【答案】573.5

例26】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和

是2234，那么另一个三位数是几？

考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

解析】由a，b，c组成的六个数的和是222（abc）．因为223422210，所以abc10．

若abc11，则所求数为222112234208，但2081011，不合题意．

若abc12，则所求数为222122234430，但430712，不合题意．

若abc13，则所求数为222132234652，65213，符合题意．

若abc14，则所求数为222142234874，但8741914，不合题意．

若abc15，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意．

所以，只有abc13时符合题意，所求的三位数为652．

答案】652

例27】在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。

求出所有这样的三位数。

考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。

如果个位数是0，那么无论