笔心算第二册.docx

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笔心算第二册

01速算第二册

教材简介

本册开始学习乘法验算，特殊数为除数，广义计数法，二位数乘二位数，平方数等的速算。

共二十节，每时两课时，共四十个课时。

重点与难点，就是要把握广义计数法。

这是01速算法的又一大基石。

另一个重点是，平方数的速算是下册平方差速算的基础，本册把81个平方数分成四大块讲述。

要多多练习，并且要求牢记这四大块的平方数计算口诀。

另外在家庭作业中。

补充了一些速算技巧。

希望家长监督完成。

采用，老师，家长，学生三结合的模式。

使学生真正的撑握速算技巧。

希望家长常出一些生活中的与数字计算有关的问题。

让孩子养成速算的习惯。

同时希望孩子在生活中留意跟数字有关的问题。

比如电话号码，车牌号码等，以训练自己对数字的记忆能力。

目录

1、乘法的快速验算……1

2、除数为５的速算……3

3、９乘任意整数……5

4、除数为９的速算……7

5、除数为11的速算……9

6、广义计数法……11

7、两位数乘法速算……13

8、首同尾补二位数乘法速算……15

9、尾同首补乘两位数乘法速算……17

10、首尾互补乘以一个二位叠数……19

11、首数相差1尾数互补的乘法速算……21

12、首同尾互余及补互余速算……23

13、十几，三十几，六十几，八十几平方数速算……25

14、二十几，七十几平方数速算……27

15、四十几，五十几，九十几平方速算……29

16、以５为尾数的平方数速算……31

17、快速验算一个数不是平方数……33

18、小数加法的速算……35

19、小数减法的速算……37

20、小结……39

1、乘法的快速验算

　　　我们在第一册中，学习了加减法的快速验算法。

本节开始学习乘法的快速验算法。

　　　两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。

如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。

例检验下面的乘法算式是否正确：

　　46876×9537=447156412

分析与解：

上式中，被乘数的九余数是4+6+8+7+6——4，乘数的九余数是9+5+3+7——6，4×6=24，24的九余数是6。

乘积的九余数是7。

6≠7，所以这个算式不正确。

练习题

1、用弃九法检验下列各题计算的正确性：

（1）228×222＝50616；

（2）334×336＝112224；

2、计算下面各题并用所学的方法检验

　　　25×25＝　　37×33＝　　76×36＝

　　　21×63＝　　32×93＝　　46×77＝

游戏：

对答案。

让全班同学，任意写一个4位数，例如1996。

把这个数乘以3456，乘积记为A，然后把A的各位数字相加，得到的数记为B：

最后再把B的各位数字相加，得到的数记为C。

最后告诉老师，Ｃ是多少。

然后老师知道，谁算错了。

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教师评语

今天上课积极，继续努力（　）　　　　　　请认真复习（　）

你太有潜力，继续保持（　）　　　　　　　计算有进步，加油！

　（　）

别迟到、守纪律哟！

（　）　　　　　　　　已到校辅导（　）

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1、将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？

2、有一个2000位的数A能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B，数B的各个数位上的数字之和是C，数C的各个数位上的数字之和是D。

求D。

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2、除数为５的速算

　被除数÷5=被除数×2÷10除5的运算实际等同于，乘2的速算。

例

（1）：

计算110÷5

解：

110÷5=（110×2）÷（5×2）（熟练后此步可以略）

＝220÷10=22

（2）计算19÷5

解：

19÷5＝38÷10＝3.8

（3）计算8765÷5

解：

8765÷5=1753（8满5进1；本个6，后位7，满5进1，6+1＝7，得7；7本个4，后位6，满5进1，4+1＝5得５；6本个2，后位5；满5进1，2+1＝3得3，5本个0，无后位。

得0。

）

练习题

1、375÷5＝　　　　460÷5＝　　　　362795÷5＝　

6215÷5＝　　　　　4805÷5＝　　　　9123545÷5＝　

2、擂台陶汰赛

　　老师出一道千以内乘2的计算题，全班计算。

最先算出答案的，并正确的（一起验算），可以出下道计算题。

由全班计算，最先算出答案的。

如果正确他就被打下擂台。

他将站到讲台的左边。

如果错误，则错的学生不得参加下一轮计算。

站到讲台右边。

继续下去，直到最个。

然后由站在右边的同学，做二十个府卧撑。

左边的同学数一、二、三……

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你太有潜力，继续保持（　）　　　　　　　计算有进步，加油！

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　　　1、请用史丰收速算计算下列各题。

并写出象例题（3）计算步骤。

3567×2　　　　872513×2　　　　635421×2

36985×2　　　523475×2　　　　9865324５×2

2、在外国古代数学书里有“井底之蜗”，讲的是一只从井底往上爬的蜗牛：

　　井深二十二，

　　蜗牛在井底。

　　白天升七尺，

　　夜里降二尺，

　　何时爬出井？

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3、９乘任意整数

我们在第一册里学习了，递增数乘９的方法，其实对于任意数乘９此法均可。

例14263×9

解：

把14263看成是014263.0。

首位是1仍写0，第二位是4-1为3，第三位是2-4为-2记2第四位是6-2为4，倒数第二位为3-6为-3还要减1为-4，尾为3的补7。

即得数是132433，换成常规计数法为。

128367。

当然速练后。

中间的过程是可以省略的。

练习题

1、把下列计算法转换成常规表示法。

2365874　　　　326148　　　　　698524　　　　365249

2、计算下列各题

325614×9　　　　369852×9　　　　254618×9

123456789×9　　6789×9　　　　　　13579×9

54321×9　　　　987654321×9　　　97531×9

88888×9　　　　22334455×9　　　　201354×9

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　史丰收速算，的进位律是：

超１进１以，超２进２，……超８进８

例：

365978×9

解：

365978可以看成是0365978，首位0，后位超3，进3得3；3的本个为7，后位超5进5，7+5得12，得2；6的本个为4，后为超5，进5，5+4＝9得9；5的本个为5，后位超8进8，即8+5＝13得3；9的本个为1，后位超7进7+1＝8，即得8。

7的本个为3，后位超7进7，7+3＝10，得0。

8的本个为2，后为0，不进位。

因此365978×9＝3293802。

可见我们乘9的方法，比史丰收的方法更简洁。

1、分别用两各速算法计算下列各题。

并写出象例题的计算步骤。

3567×9　　　　872513×9　　　　635421×9

36985×9　　　523475×9　　　　98653245×9

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4、除数为９的速算

我们先看一个例子，

比如23÷9＝2……5，其中商2等于首数2，余数5＝2+3

双如35÷9＝3……8，其中商3等于首数3余数8＝3+5，

再看一例。

58÷9＝6……4，58÷9的商应该为首数5，余数为5+8＝13。

其中13大于9须向前进一位，5+1＝6，即商为6余数为13-9＝4。

我们再来看一个三位数的例子，125÷9＝13……8，其中商13，首位为被除数的首位1，尾位3＝1+2，即首位与计算的商的和，余数为3+5＝8，即为商3加尾数5得8。

再看一例，238÷9＝26……4，238÷9商首位为2，第二位商2加3得5，余数为5+8＝13。

其中13大于9须向前进一位。

13-9＝4。

故238÷9＝26……4。

对于任意位整数除以9，都可以以此类推。

练习题

1、计算题

2、123÷9　　　　245÷9　　　　698÷9　　824÷9

1354÷9　　　3625÷9　　　　5697÷9　　5634÷9

2、游戏：

由老师任举一个数不整除9的数，第一个同学算出除9的商及余数，写在黑板上；第二个学生则把余数放在商的前面作为首数除9算出商与余数，写在黑板上；第三个学生重复第二个学生的操作。

游戏到不能操作为止，就结束。

算出商小于9倍数，余数等于0。

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1、从36954里减去285，加上276，减去285，加上276，……照这样计算下去，减多少次后，结果是0？

2、思考题：

除数为99，999……时，是否可以速算？

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5、除数为11的速算

　　除数为11的速算方法是，首位前加零，商的第一位为首位减零，商的第二位为被除数的第二位减商的第1位，商的第三位为被除数减商的第二位，……余数为被除数减商的尾位。

例如1546÷11，首位为1-０得１，第二位为5减商的第一位1得４，第三位为4减商的第二位４得0，余数为尾数6减商的尾数0得６。

即1546÷11＝140……6

36215÷11＝3312……3变成常规写法就是，3292……3

再如987351÷11＝9185·10……9这里余数出现负数。

怎么办，此时要余数加11在尾数上退一位。

变成常规写法就是89759……2。

练习题

由老师任举一个数不整除11的数，第一个同学算出除11的商及余数，写在黑板上；第二个学生则把余数放在商的前面作为首数除11算出商与余数，写在黑板上；第三个学生重复第二个学生的操作。

游戏到不能操作为止，就结束。

算出商小于11倍数，余数等于0时。

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１、知道爸爸，或妈妈的手机号吗？

用这个数除以11看看商是多少，余数是多少

２、思考题

偶数除以22时能速算吗？

奇数除以22是能速算吗？

如果能请写你的方法。

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6、广义计数法

各位数通常数字只是0到9之前的数，我们现在为了方便计算，推出一种新的计数法。

定义：

a×10+b=a·b

各位数可为任意整数的包括负数及多位数。

如果各位数中出现了两个或两个以上的数码，则各位之间以“·”隔开，称之为分位符。

每位数如果只有一个数码，不管是正数还是负数，分位符可以省略不写。

与普通十进制一样。

注意不要与小数点混成。

则如果是负数，则在上面加上上划线。

有时为了计算的方便，甚至可以使各位数表示成分数，或有限小数。

如25可以写成35，46可以写成54即补数形式。

这样除首数外，所有的数字计算，数字的绝对值均可变成小于等于5的数，为计算带来很大的便利。

分位符有·有类似于加法的一些性质，不适用交换律。

但适合左结律。

如3·4·5＝（3·4）·5，对于各位是一位数时，分位符可以省略。

如3·5就等于35。

因为3·4·5＝345，如（3·4）·5＝35·4＝354，而3·（4·5）＝30+45＝75。

适合乘法的分配律，c（a·b）=ca·cb，可以进行加减乘除计算。

a·b+c·d=（a+c）·（b+d），a·b-c·d=（a-c）·（b-d）

a·b×c·d＝ac·（ad+bc）·bd，

练习题

　将下列数，转换成通常的十进制数。

3256　　　　95·26　　　6354　　　8524　　　　95·21　　9635　　　　　21·46　　　　9·63·4　　　　　2·156　　

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十进制的演化

约在公元前1700年，60进制开始出现，米索不达将它用于360天的日历中，今天的位置值系统是由古巴比伦人设计，只是其中没有设置0的符号，而是在数的左边留下一个空位表示零。

大约在公元前300年，零开始出现，在公元后的早些年，希腊人和印度人开始使用十进制。

最后，大约于公元500年，印度人发明了十进制的位置记数法．大致于公元825年左右，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米写了一本有关对印度数字仰慕的书．

十进制传到西班牙差不多是11世纪的事，此时的欧洲则处于疑虑和缓慢改变的状态．后来，大约在16世纪，小数也出现了．而小数点，则是J·纳皮尔于公元1617年建议推广的。

随着我们的需要和计算方法的改变，广义计数法将替代我们现有的十进制！

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7、两位数乘法速算

两个两位数，A·B，C·D相乘有：

A·B×C·D=AC·（AD+BC）·BD，为了阐述的方便，我们称AC为前积，AD+BC为中积，BD为后积。

“·”为分位符。

例如；37×64，则我们计算其积可以这样写37×64＝18·（3×4+7×6）·28=18·54·28=2368。

分位后有两位数，则必须向前进位。

其中，23为18+5而来，6为4+2而来。

对于37×64因为37＝4·3所以可以改写成计算，

37×64＝4·3×64＝24·2·12

＝24·32＝2368

练习题

比一比，看谁算得快

74×64=73×23=72×27=

68×48=67×57=66×26=

59×59=98×75=98×24=

58×48=57×27=56×36=

54×34=53×23=52×25=

48×38=45×25=44×24=

42×52=39×29=97×63=

38×58=37×67=99×46=

35×45=34×24=33×74=

29×19=99×19=92×59=

88×37=88×24=87×65=

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末尾几个0

　从1到10，连续相乘：

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。

连乘积的末尾有几个0？

　　答案是两个0。

其中，从因数10得到1个0，从因数2和5相乘又得到1个0，共计两个。

刚好两个0。

原式=3628800。

你看，乘积的末尾刚好两个0！

　　１、从1乘到20：

1×2×3×4×…×19×20。

这时乘积的末尾共有几个0呢？

　　２、从1乘到30：

1×2×3×4×…×29×30。

现在乘积的末尾共有几个0？

　　３、从1乘到100：

1×2×3×4×…×99×100。

现在的乘积末尾共有多少个0？

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8、首同尾补二位数乘法速算

　　当首同尾补二位数乘法有口诀：

首数乘首数加一，为前积。

尾数的积为后积，中积为0。

例：

13×17前积为1×（1+１）＝2后积为3×7＝21，所以13×17＝221

28×22＝2×3·0·2×8＝616熟练后，中间可以省略不写。

特例，所有以５为尾的两位数自乘，或叫平方。

都可以用此法计算。

如，25×25＝625　85×85＝725

为了方便记忆，可以把口诀改成。

前积首乘首加一，尾数相乘为后积。

练习题

１、请计算

23×27　　　　46×44　　　　53×57　　　

68×62　　　　35×35　　　　91×99　　

63×67　　　　96×94　　　　86×84

２、把同学分成两个两一组，一个出题一个答题。

出题都是首同尾补的类型！

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思考题

1、尾数为５的两个数自乘，怎么速算？

2、117×113怎么速算？

请看下面的算式

13×17＝221　　　　　　　13×17＝221

26×17＝442　　　　　　　13×34＝13×2·14＝442

39×17＝663　　　　　　　13×51＝13×3·21＝663

　　　我们可以看到，两个首同尾补的数，一个数扩大几倍以后，仍然可以用，前积首乘首加一，尾数相乘为后积。

这个口诀。

注意加一的首是未变数之首。

另外如果一个数扩大或缩小数倍后，有进位（或退位）。

我们必须把扩大或缩小的数，改写成广义计数法才成立。

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9、尾同首补乘两位数乘法速算

　当尾同首补乘两位数乘法速算口诀：

用首位相乘,再加尾位的和为前积，后积为尾平方。

例：

36×76=（3×7+6）·0·6×6=2736

又如68×48=（24+8）·0·64＝3264

练习题

1、把同学分成两个两一组，一个出题一个答题。

出题都是首同尾补的类型！

２、任意写下８个二位数，数码是1２３４５６７８９，每个数码最多只能用两次，然后甲、乙两个游戏者轮流把８个数填入一个九宫格的方格内，填完之后，对甲计算最上一行从左到右的三位数，和从右到左的三位数，（注意！

每位都是两位数的数），对乙计算最最右行从上到下的三位数，和最左一列从下到上的三位数，然后上下两数相加，左右两数相加，和大者为胜。

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思考题

1、首数为５的两个数自乘，怎么速算？

2、311×711怎么速算？

请看下面的算式

32×72＝2304　　　　　　　　32×72＝2304　

64×72＝4608　　　　　　　　32×14·4＝4608　

96×72＝6912　　　　　　　　32×21·6＝6912

18·12×72＝13824　　　　　32×42·12＝13824

其中，18我们视为首。

138＝18×7+12＝3×42+12

　两个尾同补首的数，一个数扩大或缩小几倍以后，仍然可以用口诀，前积首乘首加尾，尾数相乘为后积。

注意加尾是变数之尾！

一个变数有进位（或退位）。

我们必须把变数，改写成广义计数法才成立。

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10、首尾互补乘以一个二位叠数

口诀：

前积首加1乘首位。

后积尾乘尾，中积为零。

例：

37×99=（3+1）×9·0·7×9=3663

又如46×77=（4+1）×7·0·4×6＝3542

练习题

1、把同学分成两个两一组，一个出题一个答题。

出题都是首尾补乘叠数的类型！

２、下面的前积为叠数，中积为叠数乘百位数，后积为尾数乘尾数

例一、973×77＝7｜49｜21＝74921

例二、946×44＝4｜16｜24＝41624

你还能找出多少这样算式？

请写下来

请看下面的式子

46×77＝3542

46×14·14＝7082

37×18·18＝72·126＝7326

可见广义计数中的叠数一样的可以用这上述口诀。

请注意，这里的分位符，中的数字。

两位数看成一位数。

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找规律　：

例如37×77＝2849

37×777＝28749

37×7777＝287749

37×7777777＝？

82×33＝？

82×333＝？

82×3333＝？

小朋友，你找到首尾互补与一个叠数乘的规律了吗？

家长是否根据家庭作业一栏检查学生作业（有）（无）

学生是否预习下一节内容（有）（无）

家长签字：

　　　　　年　　月　　日

家长反馈

请家长认真监督孩子在家复习与预习情况，并在（）里选择打“√”。

谢谢！

11、首数相差1尾数互补的乘法速算

首位数差1，个位数互补。

口诀：

变形后，前积为首乘首，后积为尾乘尾

例题一、37×43

方法：

（40-3）×（40+3）＝1600-9＝1591

例题二、89×71=

方法：

89×71=（80+9）×（80-9）＝6400-81＝6319

练习题

1、计算题

56×64　　　72×68　　　45×55　

39×41　　　73×87　　　92×88

家长联络单

教师评语

今天上课积极，继续努力（　）　　　　　　请认真复习（　）

你太有潜力，继续保持（　）　　　　　　　计算有进步，加油！

　（　）

别迟到、守纪律哟！

（　）　　　　　　　　已到校辅导（　）

教师签名：

应用题：

一个长方形，周长是240厘米，长比宽多8厘米，求这个长方形的面积。

请看下面的算式