全国重点中学优质数学资料高二数学 82椭圆的几何性质第一课时大纲人教版必修.docx

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全国重点中学优质数学资料高二数学82椭圆的几何性质第一课时大纲人教版必修

8.2椭圆的简单几何性质

课时安排

5课时

从容说课

本节主要是通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质，而这种依据曲线的方法去讨论曲线的几何性质是学习解析几何以来的第一次，因此在教学中，不仅要注意对研究结果的理解和应用，而且应注意对研究方法的学习.

由于学生己对由函数的解析式研究函数的性质或其图象的特点比较熟悉，所以在学习由椭圆的标准方程研究椭圆的范围、对称性、顶点时，可将两者进行对比，如在讲解椭圆的范围时，除课本上的方法外，提醒学生也可将椭圆标准方程

（a>b>0）化成y=±

将对椭圆的范围讨论转化为对两个函数y=

与y=-

的定义域和值域的讨论，帮助学生体会解析几何中用代数方法研究曲线性质的过程.

椭圆的离心率、准线方程与椭圆的关系是学生学习的难点，教学中应强调：

椭圆的离心率（e=

）是表示椭圆扁平程度的量；椭圆的准线是用它和相应的焦点、离心率描述椭圆时得到的概念；由椭圆的对称性，相应于焦点F1（-c,0）的准线方程是x=-

，相应于焦点F2（c,0）的准线方程是x=

.

椭圆的参数方程，是表示椭圆的又一种方程，它是相对于直接给出曲线上动点的坐标x、y的关系的普通方程而言的，是一种通过第三个变量ф，间接表示x、y之间的关系的形式，教案例7将距离最值问题通过椭圆的参数方程转化为三角函数最值问题，旨在让学生体会椭圆参数方程的巧妙应用.

直线与椭圆的位置关系是本节的又一难点知识，教学中，应从直线和椭圆的公共点出发，将直线方程与椭圆方程联立成二元二次方程，消元得到一元二次方程，再运用一元二次方程的判别式及求根公式等知识处理有关问题，提醒学生对其中数形结合思想运用的理解.

●课题

§8.2.1椭圆的简单几何性质

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点（截距）.

（二）能力训练要求

1.使学生了解并掌握椭圆的范围.

2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.

3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a、b、c的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距.

4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义.

（三）德育渗透目标

使学生充分认识到数与形的联系，体会数与形的辩证统一.

●教学重点

椭圆的简单几何性质.

●教学难点

椭圆的简单几何性质.

（这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）

●教具准备

投影片两张

第一张：

P97图8—6（记作§8.2.1A）

第二张：

本课时教案后面的预习内容及预习提纲.（记作§8.2.1B）

●教学方法

师生共同讨论法.

通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程已三个课时了，那么，研究讨论它的方程有什么意义呢？

研究方程就是想进一步认识这种曲线的几何特征.

（板书课题）

Ⅱ.讲授新课

［师］研究曲线的几何特征有什么意义？

［生］（通过预习，学生大部分已清楚了）.研究曲线的几何性质可以从整体上把握曲线的形状.大小和位置.

［师］怎样来研究曲线的几何特征呢？

在解析几何里，是通过对曲线的方程的讨论来研究曲线的几何特征的.

［师］我们对椭圆的标准方程.

（a＞b＞0）进行讨论.

1.范围：

［师］能从椭圆的标准方程中找出椭圆的范围吗？

[生]方程中两个非负数的和等于1，所以，椭圆上点的坐标（x,y）适合不等式：

≤1,

≤1

即：

x2≤a2,y2≤b2

∴|x|≤a,|y|≤b

这说明椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形里.

[师]很好！

请大家思考：

对函数性质的研究常常是根据函数的解析来讨论的，能否从函数的思想出发，对椭圆的范围进行分析呢？

[生]（师点拨、提示）椭圆的标准方程可化为两个函数y=

、y=-

，对它们的定义域、值域分别进行讨论可得-a≤x≤a,-b≤y≤b,即椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形里.

[师]将由函数的解析式研究函数的性质与由椭圆的方程研究椭圆的性质结合起来学习，有助于我们理解知识与知识之间的本质联系，对我们的进一步学习是大有益处的.

2.对称性：

［师］在曲线的方程里，我们讨论过对称性，如果以-y代y方程不变，那么当点P（x,y）在曲线上时，它关于x轴的对称点P′（x,-y）也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，如果以-x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称，如果同时以-x代x，以-y代y方程不变，那么曲线关于原点对称.

［师］我们来看椭圆的标准方程，以-x代x，或以-y代y或同时以-x代x,-y代y，方程怎样改变？

［生］没有改变.

［师］所以椭圆关于x轴、y轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.

（板书）

［师］请同学们注意：

标准方程表示的椭圆，它的对称轴是坐标轴、中心是原点，那么能不能说椭圆的对称轴是坐标轴，椭圆的对称中心是原点呢？

［生］不能说椭圆的对称轴是坐标轴，中心是原点.

［师］既然不能这样说，那么椭圆是否就没有对称轴，没有中心了呢？

［生］无论椭圆在什么位置，它都有互相垂直的两条对称轴，都有中心，椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程不是标准方程.

［师］椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程是怎样的？

［生］（回答不上来）

［师］关于这个问题随着我们以后的不断深入学习大家会搞清楚的.

（此课时不必研究）

［师］现在我们应该明白的是：

标准方程表示的椭圆，其中心是原点，对称轴是坐标轴，反过来，对称轴是坐标轴的椭圆，其方程是标准方程.

3.顶点：

［师］研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置，要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.同学们看一下，标准方程所表示的椭圆与x轴、y轴的交点坐标是怎样的.

［生］在椭圆的标准方程里，令x=0得y=±b,所以得到：

（0,b）、（0,-b）是椭圆与y轴的两个交点，同理令y=0，得x=±a，可得（a,0）、（-a,0）是椭圆与x轴的两个交点.

［师］因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点，即椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.（板书）

［师］线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a和2b,其中a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.（板书）

［师］观察图8—6（打出投影片§8.2.1A）

由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即

|B1F1|=|B2F1|=|B1F2|=|B2F2|=a

在Rt△OB2F2中

|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2

即c2=a2-b2

这就是在第8.1节中令a2-c2=b2的几何意义.

至此，a、b、c三者都有了几何意义，它们分别是长半轴长、短半轴长、半焦距.

4.离心率

［师］椭圆的离心率是怎样定义的？

［生］椭圆的焦距与长轴长的比

=e,叫做椭圆的离心率.（板书）

［师］椭圆离心率e的范围是怎样的？

［生］因为a＞c＞0,所以0＜e＜1

［师］非常正确，e既然在（0，1）变化，e的变化又对椭圆有什么影响呢？

［生］e越接近于1，则c就越接近于a,从而b=

越小，椭圆就越扁，反之，e越接近于0，则c就越接近于0，从而b就越接近于a，椭圆就越接近于圆.

［师］当且仅当a=b时，即c=0，两个焦点重合，这时图形变为圆，它的方程为：

x2+y2=a2

因此有些书把圆可以看作是椭圆的特例，它是离心率为0的椭圆，在我们的教材中，把圆单独作为一部分来研究.将圆与椭圆作为两种不同的曲线来讨论，所以椭圆的离心率为0＜e＜1.

［师］下面同学们自己来看例1.

（给学生几分钟时间）

［师］根据椭圆方程求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标时，首先应该做些什么？

［生］首先应将椭圆的方程化成标准方程.

［师］前面大家已预习椭圆的草图画法了，那么请大家谈一下画椭圆草图有几个步骤？

应该注意些什么？

［生］三个步骤：

①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边画矩形.

②由矩形的四边中点即可得椭圆的四个顶点.

③用光滑曲线将四个顶点连成一个椭圆.

在画图时应注意图形的对称性及顶点附近的平滑性.

Ⅲ.课堂练习