最新常微分方程第三版答案.docx
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最新常微分方程第三版答案
常微分方程第三版答案
习题1.2
1．«SkipRecordIf...»=2xy,并满足初始条件：
x=0,y=1的特解。
解：
«SkipRecordIf...»=2xdx两边积分有：
ln|y|=x«SkipRecordIf...»+c
y=e«SkipRecordIf...»+e«SkipRecordIf...»=cex«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y=cex«SkipRecordIf...»,x=0y=1时c=1
特解为y=e«SkipRecordIf...».
2.y«SkipRecordIf...»dx+（x+1）dy=0并求满足初始条件：
x=0,y=1的特解。
解：
y«SkipRecordIf...»dx=-（x+1）dy«SkipRecordIf...»dy=-«SkipRecordIf...»dx
两边积分:
-«SkipRecordIf...»=-ln|x+1|+ln|c|y=«SkipRecordIf...»
另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e
特解：
y=«SkipRecordIf...»
3．«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
解：
原方程为：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»dy=«SkipRecordIf...»dx
两边积分：
x（1+x«SkipRecordIf...»）（1+y«SkipRecordIf...»）=cx«SkipRecordIf...»
4.（1+x）ydx+（1-y）xdy=0
解：
原方程为：
«SkipRecordIf...»dy=-«SkipRecordIf...»dx
两边积分：
ln|xy|+x-y=c
另外x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x）dy+（x-y）dx=0
解：
原方程为：
«SkipRecordIf...»=-«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»=u则«SkipRecordIf...»=u+x«SkipRecordIf...»代入有：
-«SkipRecordIf...»du=«SkipRecordIf...»dx
ln（u«SkipRecordIf...»+1）x«SkipRecordIf...»=c-2arctgu
即ln（y«SkipRecordIf...»+x«SkipRecordIf...»）=c-2arctg«SkipRecordIf...».
6.x«SkipRecordIf...»-y+«SkipRecordIf...»=0
解：
原方程为：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»
则令«SkipRecordIf...»=u«SkipRecordIf...»=u+x«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»du=sgnx«SkipRecordIf...»dx
arcsin«SkipRecordIf...»=sgnxln|x|+c
7.tgydx-ctgxdy=0
解:
原方程为：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
两边积分：
ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|
siny=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
所以原方程的通解为sinycosx=c.
8«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»=0
解：
原方程为：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»
2e«SkipRecordIf...»-3e«SkipRecordIf...»=c.
9.x（lnx-lny）dy-ydx=0
解：
原方程为：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»ln«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»=u,则«SkipRecordIf...»=u+x«SkipRecordIf...»
u+x«SkipRecordIf...»=ulnu
ln（lnu-1）=-ln|cx|
1+ln«SkipRecordIf...»=cy.
10.«SkipRecordIf...»=e«SkipRecordIf...»
解：
原方程为：
«SkipRecordIf...»=e«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»
e«SkipRecordIf...»=ce«SkipRecordIf...»
11«SkipRecordIf...»=（x+y）«SkipRecordIf...»
解：
令x+y=u,则«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»-1
«SkipRecordIf...»-1=u«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»du=dx
arctgu=x+c
arctg（x+y）=x+c
12.«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
解：
令x+y=u,则«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»-1
«SkipRecordIf...»-1=«SkipRecordIf...»
u-arctgu=x+c
y-arctg（x+y）=c.
13.«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
解:
原方程为：
（x-2y+1）dy=（2x-y+1）dx
xdy+ydx-（2y-1）dy-（2x+1）dx=0
dxy-d（y«SkipRecordIf...»-y）-dx«SkipRecordIf...»+x=c
xy-y«SkipRecordIf...»+y-x«SkipRecordIf...»-x=c
14:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
解：
原方程为：
（x-y-2）dy=（x-y+5）dx
xdy+ydx-（y+2）dy-（x+5）dx=0
dxy-d（«SkipRecordIf...»y«SkipRecordIf...»+2y）-d（«SkipRecordIf...»x«SkipRecordIf...»+5x）=0
y«SkipRecordIf...»+4y+x«SkipRecordIf...»+10x-2xy=c.
15:
«SkipRecordIf...»=（x+1）«SkipRecordIf...»+（4y+1）«SkipRecordIf...»+8xy«SkipRecordIf...»
解：
原方程为：
«SkipRecordIf...»=（x+4y）«SkipRecordIf...»+3
令x+4y=u则«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»=u«SkipRecordIf...»+3
«SkipRecordIf...»=4u«SkipRecordIf...»+13
u=«SkipRecordIf...»tg（6x+c）-1
tg（6x+c）=«SkipRecordIf...»（x+4y+1）.
16:
证明方程«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=f（xy）,经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：
1）y（1+x«SkipRecordIf...»y«SkipRecordIf...»）dx=xdy
2）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
证明：
令xy=u,则x«SkipRecordIf...»+y=«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»，有：
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=f（u）+1
«SkipRecordIf...»du=«SkipRecordIf...»dx
所以原方程可化为变量分离方程。
1）令xy=u则«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»
（1）
原方程可化为：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»[1+（xy）«SkipRecordIf...»]
（2）
将1代入2式有：
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»（1+u«SkipRecordIf...»）
u=«SkipRecordIf...»+cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：
设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：
y=y’（x-x）+y
则与x轴，y轴交点分别为：
x=x«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»y=y«SkipRecordIf...»-x«SkipRecordIf...»y’
则x=2x«SkipRecordIf...»=x«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»所以xy=c
18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»。
解：
由题意得：
y’=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»dy=«SkipRecordIf...»dx
ln|y|=ln|xc|y=cx.
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»则y=tg«SkipRecordIf...»x所以c=1y=x.
19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：
设（x,y）为所求曲线上的任意一点，则y’=kx
则：
y=kx«SkipRecordIf...»+c即为所求。
常微分方程习题2.1
1.«SkipRecordIf...»,并求满足初始条件：
x=0,y=1的特解.
解：
对原式进行变量分离得
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»并求满足初始条件：
x=0,y=1的特解.
解：
对原式进行变量分离得：
«SkipRecordIf...»
3«SkipRecordIf...»
解：
原式可化为：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
12．«SkipRecordIf...»
解
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
15．«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
16．«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，这是齐次方程，令«SkipRecordIf...»
17.«SkipRecordIf...»
解：
原方程化为«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»
方程组«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
则有«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»
当«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»
另外
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
19.已知f（x）«SkipRecordIf...».
解：
设f（x）=y,则原方程化为«SkipRecordIf...»两边求导得«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
20.求具有性质x（t+s）=«SkipRecordIf...»的函数x（t）,已知x’（0）存在。
解：
令t=s=0x（0）=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»若x（0）«SkipRecordIf...»0得x«SkipRecordIf...»=-1矛盾。
所以x（0）=0.x’（t）=«SkipRecordIf...»）
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»两边积分得arctgx（t）=x’（0）t+c所以x（t）=tg[x’（0）t+c]当t=0时x（0）=0故c=0所以
x（t）=tg[x’（0）t]
习题2.2
求下列方程的解
1．«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
解：
y=e«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»）
=e«SkipRecordIf...»[-«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）+c]
=ce«SkipRecordIf...»-«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）是原方程的解。
2．«SkipRecordIf...»+3x=e«SkipRecordIf...»
解：
原方程可化为：
«SkipRecordIf...»=-3x+e«SkipRecordIf...»
所以：
x=e«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»）
=e«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»+c）
=ce«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»是原方程的解。
3．«SkipRecordIf...»=-s«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
解：
s=e«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»e«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»）
=e«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）
=e«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）
=«SkipRecordIf...»是原方程的解。
4．«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，n为常数.
解：
原方程可化为：
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»是原方程的解.
5．«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
解：
原方程可化为：
«SkipRecordIf...»=-«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»是原方程的解.
6．«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=u«SkipRecordIf...»
因此：
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»（*）
将«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»带入（*）中得：
«SkipRecordIf...»是原方程的解.
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
13
«SkipRecordIf...»
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
P（x）=«SkipRecordIf...»Q（x）=-1
由一阶线性方程的求解公式
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
14«SkipRecordIf...»
两边同乘以«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»令«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
P（x）=«SkipRecordIf...»Q（x）=«SkipRecordIf...»
由一阶线性方程的求解公式
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
15«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»这是n=3时的伯努利方程。
«SkipRecordIf...»两边同除以«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»P（y）=-2yQ（y）=«SkipRecordIf...»
由一阶线性方程的求解公式
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
16y=«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
P（x）=1Q（x）=«SkipRecordIf...»由一阶线性方程的求解公式
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
c=1
y=«SkipRecordIf...»
17设函数«SkipRecordIf...»（t）于«SkipRecordIf...»∞试求此函数。
令t=s=0得«SkipRecordIf...»（0+0）=«
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