完整版题型五二次函数与几何图形综合题.docx

完整版题型五二次函数与几何图形综合题.docx

《完整版题型五二次函数与几何图形综合题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版题型五二次函数与几何图形综合题.docx（43页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版题型五二次函数与几何图形综合题

题型五二次函数与几何图形综合题2

类型一与特殊三角形形状有关2

类型二与特殊四边形形状有关8

类型三与三角形相似有关18

类型四与图形面积函数关系式、最值有关23

类型五与线段、周长最值有关29

题型五二次函数与几何图形综合题

类型一与特殊三角形形状有关

针对演练

1.（'1原6创）如图，已知抛物线y=-x+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为（0,3），与x轴交于点A、B，顶点为D.

1）求抛物线的解析式；

2）求A、B、D的坐标，并确定四边形ABDC的面积；

3）点P是x轴上的动点，连接CP，若△CBP是等腰三角形，求点P的坐标.

12

3.

（'16原创）如图，抛物线y=-2x2+mx+n与x轴交于点A、B两点，与y轴

交于点C，其对称轴与x轴的交点为D，已知A（-1,0），C（0,2）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角

三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由

4.如图，已知二次函数L1:

y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.

（1）写出A、B两点的坐标；

（2）二次函数L2:

y=kx2-4kx+3k（k≠0）顶,点为P.①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？

如果存在，请求出k的值；如不存

在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？

如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由

答案

1.解：

（1）∵抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为xb1，

12解得b=2，∵抛物线过点C（0,3），∴c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（2）由抛物线y=-x2+2x+3，令y=0得，-x2+2x+3=0，解得x1=-1,x2=3，∴点A（-1,0），点B（3,0），当x=1时，y=-12+2+3=4,∴点D的坐标为（1,4）.如解图，过D作DM⊥AB于M，则OM=1，DM=4，∴S四边形ABDC=S△AOC+S四边形OMDC+S△BMD

111

=AO·OC+（OC+MD）·OM+BM·DM

222

111

=×1×3+×（3+4）×1+×4×2

222

=9.

（3）设点P的坐标为（t,0），则PC2=t2+32，PB2=（3-t）2，∴BC2=32+32=18，若△PBC是等腰三角形，则有①PC2=PB2，即t2+9=（3-t）2，解得t=0，此时点P的坐标为（0,0）；②PC2=BC2，则t2+9=18，解得t=3（舍）或t=-3，此时点P的坐标为（-3,0）；③PB2=BC2则（3-t）2=18，解得t=3+32或t=3-32，此时点P的坐标为（3+32,0）或（3-32,0）.

2.解：

（1）由抛物线的顶点为N（-1,433），故设抛物线的顶点式为

3

将点M（-2,3）代入解析式得，

243

a×（-2+1）2+=3，

3

解得a=3,

3

∴抛物线的解析式为y=-3（x+1）2+43.

33

即y=3x223x+3.

33

（2）对于抛物线y=3x2-23x+3，令y=0,

33

得3x2-23x+3=0，

33

解得x1=1,x2=-3，

∴点A（1,0），点B（-3,0），令抛物线x=0,得y=3，

∴点C的坐标为（0,3）.

∴AB2=42=16,AC2=12+（3）2=4,BC2=32+（3）2=12,

∴AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形.

（3）由抛物线顶点N（-1,43）知抛物线的对称轴为x=-1，

3

设点Q的坐标为（-1,t），

则BQ2=（-3+1）2+t2=4+t2,CQ2=（-1）2+（t-3）2=t2-23t+4，BC2=12.要使△BQC是直角三角形，

（ⅰ）当∠BQC＝90°，则BQ2+QC2=BC2,

即4+t2+t2-23t+4=12，

解得t1=23+211,t2=23-23，此时点Q的坐标为（-1，23+211）或（-1，

311）；

-）；22

（ⅱ）当∠QBC＝90°，则BQ2+BC2=QC2，

即4+t2+12=t2-23t+4，解得t=-23，此时点Q的坐标为（-1，-23）；

（ⅲ）当∠BCQ=90°时，则QC2+BC2=BQ2，

即t2-23t+4+12=4+t2，解得t=23，此时点Q的坐标为（-1,23）

综上，当△QBC是直角三角形时，点Q坐标为（-1，3211），（-1，±23）

3.解：

（1）

∵点A（-1,0），C（0,2）在抛物线上，

1

m

∴2n2

3

n0，解得m32

n2

∴抛物线解析式为y=-12x2+23x+2；

（2）△ACD是等腰三角形.

理由：

∵抛物线y=-1x2+3x+2的对称轴为直线x=3，

222

3

∴点D（3,0），

2

∵A（-1,0），C（0,2），

∴AC=5，AD=1+3=5,CD=2（3）5，

∴AD=CD≠AC，∴△ACD是等腰三角形；

13

（3）令抛物线y=-1x2+3x+2=0，得x1=-1,x2=4,

22

∴点B的坐标为（4,0），则BC=25，

取BC的中点为S，则点S的坐标为（2,1）；

3

设点P（3,t），

13

则PS=1BC=5，即（2-3）2+（t-1）2=5，22

解得t1=1+19,t2=1-19，

22

∴存在这样的点

P，其坐标为（3,1+19）或（3，1-19）.

2222

4.解：

（1）当y=0时，x2-4x+3=0，

∴x1=1，x2=3，即：

A（1，0）,B（3，0）;

2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：

（Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标都为2；（Ⅱ）都经过A（1，0）,B（3，0）两点；②存在实数k，使△ABP为等边三角形.∵y=kx2-4kx+3k=k（x-2）2-k,

∴顶点P（2，-k）.

∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2，

要使△ABP为等边三角形，必满足|-k|=3，∴k=±3；

③线段EF的长度不会发生变化∵直线y=8k与抛物线L2交于点E、F两点，

∴kx2-4kx+3k=8k,

∵k≠0∴,x2-4x+3=8,

∴x1=-1，x2=5，∴EF=x2-x1=6，

∴线段EF的长度不会发生变化且EF＝6.

类型二与特殊四边形形状有关

针对演练

1.抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，点D在x轴的正半轴.

（1）求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？

若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c>0）的顶点D在第二象限，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使AC=2BC，连接OA，OB，BD和AD.

（1）若点A的坐标为（-4,4），求抛物线的解析式；

（2）在

（1）的条件下，求直线BD的解析式；

（3）是否存在b、c使得四边形AOBD是矩形，若存在，直接写出b与c的关系式；若不存在，说明理由.

4

3.如图，已知直线y=3x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB

3

的中点，抛物线y=ax2+bx+c（a>0）过O、A两点，且其顶点的纵坐标为4.

（1）分别写出A、B、C三点的坐标；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形？

若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4.（'15毕节16分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.第4题图

（1）求抛物线的解析式;

（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积;

（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？

若存在，求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由.

5.（'1黄5冈14分）如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，

OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

（1）求OE的长；

（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；

（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（4）若点N在

（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由

答案

1.解:

（1）把A（0,2）,B（3,2）代入y=x2+bx+c,得

c2

93bc

2，解得cb

3，

2

∴抛物线的解析式为：

y=x2-3x+2,当y=0时，x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1,0）、（2,0）.

（2）存在.理由：

∵A（0，2），B（3，2），∴AB∥x轴，且AB=3,要使A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，则只要CD=AB=3.

1当C点坐标为（1，0）时，D坐标为（4，0）；

2当C点坐标为（2，0）时，D坐标为（5，0）.

D点的坐标

∴存在点D，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，为（4，0）或（5，0）.

2.解：

（1）∵CA∥x轴，点A的坐标为（-4,4），

∴点C的坐标为（0,4），

将点A与点C代入y=-x2+bx+c得

164bcc4

4b

4，解得bc

∴抛物线的解析式为y=-x2-4x+4；

（2）∵AC=2BC，∴BC=2，

∴点B的坐标为（2,4），

由抛物线y=-x2-4x+4得顶点D的坐标为（-2,8），

设直线BD的解析式为y=kx+m，

∴直线BD的解析式为y=-x+6.

（3）存在，b与c的关系式为b=-2c.

【解法提示】∵点C的坐标为（0，c），抛物线的对称轴为x=b<0，即b<0，

2

AC∥x轴，

∴点A的坐标为（b,c），∵AC=2BC，∴点B的坐标为（-b,c），

2

则AB的中点坐标为（b,c），

4

若四边形AOBD是矩形，

则需①OD的中点坐标为（b,c）；②OD=AB，

4

由①得点D的坐标为（b,2c），

4

由②得（3b）2=（b）2+（2c）2，整理得2c2=b2，

24

∵c>0，b<0,

∴b=-2c.

4

3.解：

（1）令y=0，即-3x+8=0，得x=6,∴A点坐标为（6，0），

3

令x=0,则y=8，∴B点坐标为（0，8），

∴C点坐标为（3，4）.

（2）∵点C在抛物线的对称轴上，∴抛物线顶点坐标为（3，-4）.

3

27

0,解得

c0

依题意有36a6bc

9a3bc

3）存在.

∵∠AOB＝90°，A（6，0）、B（0，8），

∴ABOA2OB2628210,

∵C是AB的中点，

1

∴OC=AB=BC=5,

2

∵OB=8,∴OB>OC，且OB>BC，

∴当以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形时，OB是菱形的对角线，连接PC，则OB是PC的垂直平分线，

∴点P与点C关于y轴对称，

∵C（3，4），

∴P（-3，4），

把点P（-3，4）代入抛物线解析式y4x28x得：

279

当x＝-3时，y＝4×（-3）2-8×（-3）＝4，

279

∴点P（-3，4）在抛物线上.

故在抛物线上存在点P，使以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形，且点P的坐标是（-3，4）.

4.解：

（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1,0），B（3,0）,

∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x-3）＝x2-2x-3；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）

（2）∵抛物线y＝x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴点M的坐标为（1,-4）.

∵点M与点M′关于x轴对称，∴点M′的坐标为（1,4），

设直线AM′的解析式为y=kx+m，

将点A（-1,0），点M′（1，4）代入得，

km0，解得k2，

km4m2

∴直线AM′的解析式为y＝2x+2，

6分）

8分）

将直线AM′与抛物线y＝x2-2x-3联立得

∴点C的坐标为（5,12），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）又∵AB=3-（-1）＝4，

1

∴S△CAB=×4×12＝24.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）

2

（3）∵四边形APBQ是正方形，

∴PQ垂直且平分AB，且PQ=AB，

1

设PQ与x轴交点为N，则PN=1AB＝2,

2

∵抛物线的对称轴为x＝1，

∴点P的坐标为（1,2）或（1，-2）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）

设过A、B两点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），

1

将点（1,2）代入得a=-1，

2

113

此时抛物线解析式为y=-1（x+1）（x-3）=-1x2+x+3；⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15分）

222

将点（1，-2）代入得a=1，

2

113

此时抛物线解析式为y1（x1）（x3）1x2x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（16分）

5.解:

（1）∵四边形OABC为矩形，

∴BC＝OA＝5，OC＝AB＝4，∠COA＝90°，

又∵△CED是△BCD沿直线CD折叠得到的，点B的对应点为点E，

∴CE＝BC＝5，

在Rt△COE中，OE2＝CE2-OC2，

∴OE＝5242,

∴OE＝3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）

（2）设AD=m,

则DE=BD=4-m.∵OE＝3，∴AE＝OA-OE＝5-3＝2.

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2,即m2+22=（4-m）2,

3

∴m＝，

2

3

∴D（-3，-5）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）

2

又∵C（-4，0），O（0，0），

2

4∴a＝，

3

∴PB＝QE,即CB-CP＝EQ.

∴5-2t＝t,

解得t＝35.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）

（4）（ⅰ）如解图②，当M点在对称轴右侧，即为M1点，M1N∥CE且M1N=CE时，四边形ECNM1为平行四边形，过M1作M1F垂直对称轴于点F，则△M1FN≌△COE，∴FM1＝OC，∵对称轴为直线x＝-2，

∴此时，点M1的横坐标为2，

对于y=4x2+16x，当x＝2时，y=16，

33

∴点M1的坐标为（2，16）.

（ⅱ）如解图③，当M点在对称轴左侧，即为M2，

且M2N=CE时，四边形ECM2N为平行四边形，

2F垂直对称轴于点F，则△M2FN≌△COE，∴FM2＝OC，

∴此时，点M2的横坐标为-6.

对于y=4x2+16x，当x＝-6时，y=16，

33

（10分）

（12分）

∴点M2的坐标为（-6，16）.

（ⅲ）如解图④，当M点在抛物线的顶点上，即为点M3，CN∥M3E且CN=M3E时,四边形EM3CN为平行四边形,CE与NM3相交于点O′，则O′为线段CE的中点，

又∵点M3在对称轴上，则M3的横坐标为-2，

对于y=4x2+16x，当x＝-2时，y=-16，

333

16

∴点M3的坐标为（-2，-）.

316

综上所述，当点M的坐标为（2，16）、（-6，16）、（-2，-16）时，以M,N,C,E

3

为顶点的四边形为平行四边形

类型三与三角形相似有关

针对演练

12

1.（'15黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-1x2+bx+c

过点A（0,4）和C（8,0）,P（t,0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.

（1）求b、c的值；

（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；

（3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？

若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.

2.（'15常德模拟）已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与1

y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=-x+1交y轴于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：

△BCE∽△BOD；

（3）点P是抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于

△BOE的面积？

答案

1

解：

（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0）可得，

6

由

（2）知△AOP∽△PEB，则OPAP2，

BEPB

即tt2441t

2

整理得t2+16=0,

解得t1=-2+25或t2=-2-25（舍去）；

若△POA∽△BDA，同理可得t无解.综上可知，当t=-2+25或8+45时，以A、

似.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）

2b2

2.解：

（1）由抛物线y=ax2-2x+c得，对称轴x1,∴a=1，

2a2a

将点A（-1，0）及a＝1，代入y=ax2-2x+c中，得1+2+c=0，c=-3，

∴抛物线的解析式：

y=x2-2x-3；

（2）由抛物线的解析式y=x2-2x-3=（x-1）2-4=（x+1）（x-3）,得点C（0，-3）、B（3，

0）、E（1，-4）.

易知点D（0，1），则有：

OD＝1，OB＝3，BD＝10，CE＝2，BC＝32，BE＝25，

∴ODOBBD，

∴CEBCBE，

∴△BCE∽△BOD；

11

（3）S△BOE=×BO×|yE|=×3×4＝6，

22

112

∴S△BDP＝×BD×h=S△BOE＝6，即h=,

210

在y轴上取点M，过点M作MN1⊥BD于N1，

使得MN1=h=

12

10

在Rt△MN1D中，

sin∠MDN1＝sin∠BDO＝

OB

BD

12

且MN1＝12；

10

则MD＝MN1=4;

sinMDN1

∴点M（0，-3）或（0，5）.过点M作直线l⊥MN2，如解图，

11

则直线l:

y=-x-3或y=-x+5.

33

10

联立抛物线的解析式有：

2

x2*2x3y

解得：

x10

x2

y1

3y2

532或

x3

y3

5313

6x4

85313

18

y4

5313

6

85313

18

5

∴当点P的坐标为（0，-3），（5，

3

5

32

313，313），（5313

，），（

6186

类型四与图形面积函数关系式、最值有关

针对演练

5

1.（'15安顺26题14分）如图，抛物线y=ax2+bx+5与直线AB交于点

2

A（-1,0）,B（4,52）.点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点（不与点A,B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD,BD.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并

求出当S取最大值时的点C的坐标.

3）在

（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？

若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

3.（'15永州模拟）如图，已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=0，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0

（1）求证：

mn=-6；

（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两