江苏省苏州市届高三数学第一次模拟考试试题.docx

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江苏省苏州市届高三数学第一次模拟考试试题

2018届高三年级第一次模拟考试

数学

（满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知i为虚数单位，复数z＝－i的模为________．

2.已知集合A＝{1，2a}，B＝{－1，1，4}，且A⊆B，则正整数a＝________．

3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝－8x的焦点坐标为________．

4.苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________．

5.已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x＝________．

6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．下面的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为________．

（第6题）　　（第9题）

7.已知变量x，y满足则z＝2x－3y的最大值为________．

8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝－，a4－a2＝－，则a3的值为________．

9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）

10.如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________m.

（第10题）　（第13题）

11.在平面直角坐标系xOy中，已知过点A（2，－1）的圆C和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________．

12.已知正实数a，b，c满足＋＝1，＋＝1，则c的取值范围是________．

13.如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，P是劣弧上的一点，则·的取值范围是________．

14.已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2，曲线y＝2ex＋x交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

已知函数f（x）＝（cosx＋sinx）2－2sin2x.

（1）求函数f（x）的最小值，并写出f（x）取得最小值时自变量x的取值集合；

（2）若x∈，求函数f（x）的单调增区间．

16.（本小题满分14分）

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．求证：

（1）EF∥平面ABHG；

（2）平面ABHG⊥平面CFED.

17.（本小题满分14分）

如图，B，C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方向50km处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（α<θ≤，其中锐角α的正切值为）航行到海滨公路P处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h，车速为75km/h.

（1）试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式；

（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3（－1）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知过点M（0，－1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．

19.（本小题满分16分）

已知各项是正数的数列{an}的前n项和为Sn.

（1）若Sn＋Sn－1＝（n∈N*，n≥2），且a1＝2.

①求数列{an}的通项公式；

②若Sn≤λ·2n＋1对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；

（2）数列{an}是公比为q（q>0，q≠1）的等比数列，且{an}的前n项积为10Tn.若存在正整数k，对任意n∈N*，使得为定值，求首项a1的值．

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若方程f（－x）＋f（x）＝ex－3在区间（0，＋∞）上有实数解，求实数a的取值范围；

（3）若存在实数m，n∈[0，2]，且|m－n|≥1，使得f（m）＝f（n），求证：

1≤≤e.

附加题

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修41：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BC，垂足为F.

求证：

PF2＝PD·PE.

B.[选修42：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知M＝，β＝，求M4β.

C.[选修44：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．

D.[选修45：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，若|x－1|＋|x＋1|≥（a－b＋c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，其交线为AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.

（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；

（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？

若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

23.（本小题满分10分）

在正整数集上定义函数y＝f（n），满足f（n）[f（n＋1）＋1]＝2[2－f（n＋1）]，且f

（1）＝2.

（1）求证：

f（3）－f

（2）＝；

（2）是否存在实数a，b，使f（n）＝＋1，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．

参考答案

1.　2.2　3.（－2，0）　4.　5.　6.48　7.－9　8.　9.30π　10.18

11.（x－1）2＋（y＋2）2＝2　12.

13.[－11，－9]　14.

15.解析：

（1）f（x）＝（cosx＋sinx）2－2sin2x

＝3cos2x＋2sinxcosx＋sin2x－2sin2x

＝＋－sin2x（2分）

＝cos2x－sin2x＋2＝2cos＋2.（4分）

当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋（k∈Z）时，f（x）取得最小值0,

此时自变量x的取值集合为.（7分）

（2）由

（1）知f（x）＝2cos＋2.

令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ（k∈Z），（8分）

解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），（10分）

又x∈，令k＝－1，x∈[－，－]，令k＝0，x∈，

所以函数f（x）在上的单调增区间是和.（14分）

16.解析：

（1）因为E，F是A1D1，B1C1的中点，

所以EF∥A1B1.

在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB，

所以EF∥AB.（3分）

又EF⊄平面ABHG，AB⊂平面ABHG，

所以EF∥平面ABHG.（6分）

（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C1C，

又BH⊂平面BB1C1C，所以BH⊥CD.（8分）

设BH∩CF＝P，易知△BCH≌△CC1F，

所以∠HBC＝∠FCC1.

因为∠HBC＋∠PHC＝90°，

所以∠FCC1＋∠PHC＝90°.

所以∠HPC＝90°，即BH⊥CF.（11分）

又DC∩CF＝C，DC，CF⊂平面CFED，

所以BH⊥平面CFED.

又BH⊂平面ABHG，

所以平面ABHG⊥平面CFED.（14分）

17.解析：

（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，

所以∠BAP＝90°－θ，AB＝50，

则AP＝＝，BP＝50tan（90°－θ）＝＝，

所以PC＝100－BP＝100－.（4分）

由A到P所用的时间为t1＝＝，

由P到C所用的时间为t2＝＝－，（6分）

所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为

f（θ）＝t1＋t2＝＋－＝＋，（8分）

函数f（θ）的定义域为，其中锐角α的正切值为.

（2）由

（1）知f（θ）＝＋，θ∈，

所以f′（θ）＝.

令f′（θ）＝0，解得cosθ＝.（10分）

设θ0∈，使cosθ0＝.

当θ变化时，f′（θ），f（θ）的变化情况如下表：

θ

（α，θ0）

θ0

f′（θ）

－

0

＋

f（θ）

极小值

（12分）

所以当θ＝θ0时函数f（θ）取得最小值，此时BP＝＝≈17.68（km）．

故在BC上选择距离B为17.68km处为登陆点，所用时间最少．（14分）

18.解析：

（1）由题意知＝，所以a＝c.（1分）

又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3（－1），所以a－c＝3－3，（2分）

解得c＝3，a＝3，所以b2＝a2－c2＝9，（4分）

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.（6分）

（2）当直线l的斜率为0时，令y＝－1，则x＝±4，

此时以AB为直径的圆的方程为x2＋（y＋1）2＝16；（7分）

当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.（8分）

联立解得x＝0，y＝3，即两圆过点T（0，3）．

猜想：

以AB为直径的圆恒过定点T（0，3）．（9分）

对一般情况证明如下：

设过点M（0，－1）的直线l的方程为y＝kx－1，与椭圆C交于点A（x1，y1），B（x2，y2），

则

消去y，整理得（1＋2k2）x2－4kx－16＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝－.（12分）

因为·＝（x1，y1－3）·（x2，y2－3）＝x1x2＋y1y2－3（y1＋y2）＋9＝x1x2＋（kx1－1）（kx2－1）－3（kx1－1＋kx2－1）＋9＝（k2＋1）x1x2－4k（x1＋x2）＋16＝－＋16＝＋16＝0，

所以TA⊥TB.

所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为（0，3）．（16分）

19.解析：

（1）①当n≥2时，Sn＋Sn－1＝，

所以Sn＋1＋Sn＝，

两式相减得an＋1＋an＝（a－a），

即an＋1－an＝3，n≥2；（2分）

当n＝2时，S2＋S1＝，即a－3a2－10＝0，解得a2＝5或a2＝－2（舍），

所以a2－a1＝3，

即数列为等差数列，且首项a1＝2，

所以数列的通项公式为an＝3n－1.（5分）

②由①知an＝3n－1，

所以Sn＝＝.

由题意可得λ≥＝对一切n∈N*恒成立，

记cn＝，则cn－1＝，n≥2，

所以cn－cn－1＝，n≥2.（8分）

当n>4时，cn

所以当n＝3时，cn＝取得最大值，

所以实数λ的取值范围为.（11分）

（2）由题意，设an＝a1qn－1（q>0，q≠1），

a1·a2·…·an＝10Tn，两边取常用对数，得

Tn＝lga1＋lga2＋…＋lgan.

令bn＝lgan＝nlgq＋lga1－lgq，

则数列是以lga1为首项，lgq为公差的等差数列．（13分）

若为定值，令＝μ，则＝μ，

即{[（k＋1）2－μk2]lgq}n＋[（k＋1）－μk]·＝0对n∈N*恒成立，

因为q>0，q≠1，

所以问题等价于　

将＝代入（k＋1）－μk＝0，解得μ＝0或μ＝1.

因为k∈N*，所以μ>0，μ≠1，所以a＝q.

又an>0，所以a1＝.（16分）

20.解析：

（1）当a＝－2时，f（x）＝

当x<0时，f（x）＝－x3＋x2，f′（x）＝－3x2＋2x＝－x（3x－2），

令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝（舍），

所以当x<0时，f′（x）<0,

所以函数f（x）在区间（－∞，0）上为减函数；（2分）

当x≥0时，f（x）＝ex－2x，f′（x）＝ex－2，

令f′（x）＝0，解得x＝ln2，

所以当0ln2时，f′（x）>0，

所以函数f（x）在区间（0，ln2）上为减函数，在区间（ln2，＋∞）上为增函数，且f（0）＝1>0.（4分）

综上，函数f（x）的单调减区间为（－∞，0）和（0，ln2），单调增区间为（ln2，＋∞）．（5分）

（2）设x>0，则－x<0，所以f（－x）＋f（x）＝x3＋x2＋ex－ax.

由题意，x3＋x2＋ex－ax＝ex－3在区间（0，＋∞）上有解，等价于a＝x2＋x＋在区间（0，＋∞）上有解．（6分）

记g（x）＝x2＋x＋（x>0），

则g′（x）＝2x＋1－＝＝，（7分）

令g′（x）＝0，因为x>0，所以2x2＋3x＋3>0，故解得x＝1.

当x∈（0，1）时，g′（x）<0；当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>0，

所以函数g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，＋∞）上单调递增，

故函数g（x）在x＝1处取得最小值g

（1）＝5.（9分）

要使方程a＝g（x）在区间（0，＋∞）上有解，当且仅当a≥g（x）min＝g

（1）＝5，

综上，满足题意的实数a的取值范围为[5，＋∞）．（10分）

（3）由题意知f′（x）＝ex－a.

当a≤0时，f′（x）>0，此时函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，

由f（m）＝f（n），可得m＝n，与条件|m－n|≥1矛盾，所以a>0.（11分）

令f′（x）＝0，解得x＝lna.

当x∈（0，lna）时，f′（x）<0；当x∈（lna，＋∞）时，f′（x）>0，

所以函数f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增．

若存在m，n∈[0，2]，f（m）＝f（n），则lna介于m，n之间，（12分）

不妨设0≤m

因为f（x）在（m，lna）上单调递减，在（lna，n）上单调递增，且f（m）＝f（n），

所以当m≤x≤n时，f（x）≤f（m）＝f（n），

由0≤m

所以f

（1）≤f（m）＝f（n）．

又f（x）在（m，lna）上单调递减，且0≤m

所以f

（1）≤f（0）．同理f

（1）≤f

（2），（14分）

即解得e－1≤a≤e2－e，

所以1≤≤e.（16分）

21.A．解析：

连结PB，PC.因为∠PCF，∠PBD分别为同弧BP上的圆周角和弦切角，

所以∠PCF＝∠PBD.（2分）

因为PD⊥BD，PF⊥FC，

所以△PDB∽△PFC，所以＝.（5分）

同理∠PBF＝∠PCE.

又PE⊥EC，PF⊥FB，

所以△PFB∽△PEC，所以＝.（8分）

所以＝，即PF2＝PD·PE.（10分）

B.解析：

矩阵M的特征多项式为

f（λ）＝＝λ2－2λ－3.（2分）

令f（λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，

所以属于λ1的一个特征向量为α1＝，属于λ2的一个特征向量为α2＝.（5分）

令β＝mα1＋nα2，即＝m＋n，

所以解得m＝4，n＝－3.（7分）

所以M4β＝M4（4α1－3α2）＝4（M4α1）－3（M4α2）

＝4（λα1）－3（λα2）＝4×34－3×（－1）4×＝.（10分）

C.解析：

由题意知曲线C的直角坐标方程是y2＝2x，（2分）

直线l的普通方程为x－y－4＝0.（4分）

联立方程组解得A（2，－2），B（8，4），所以AB＝6，（7分）

因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，

所以S△AOB＝×6×2＝12.（10分）

D.解析：

因为a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，

所以由柯西不等式得（a－b＋c）2≤（a2＋b2＋c2）·（1＋1＋1）＝3.（4分）

因为|x－1|＋|x＋1|≥（a－b＋c）2对一切实数a，b，c恒成立，所以|x－1|＋|x＋1|≥3.

当x<－1时，－2x≥3，即x≤－；当－1≤x≤1时，2≥3不成立；当x>1时，2x≥3，即x≥.

综上所述，实数x的取值范围为∪.（10分）

22.解析：

（1）因为平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP＝AB，BP⊥AB，所以BP⊥平面ABCD.又AB⊥BC，所以直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1）．

因为BC⊥平面ABPE，所以＝（0，0，1）为平面ABPE的一个法向量．（2分）

＝（2，－2，1），＝（2，0，0），设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），

则即令y＝1，则z＝2，故n＝（0，1，2）．（4分）

设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，

显然0<θ<，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为.（6分）

（2）设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于.

设＝λ＝（2λ，－2λ，λ）（0≤λ≤1），＝＋＝（2λ，2－2λ，λ）．（7分）

由

（1）知平面PCD的一个法向量为n＝（0，1，2），

所以cos〈，n〉＝＝＝，

即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－（舍去）．（9分）

当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.（10分）

23.解析：

（1）因为f（n）[f（n＋1）＋1]＝2[2－f（n＋1）]，所以f（n＋1）＝.

由f

（1）＝2，代入得f

（2）＝＝，

f（3）＝＝，

所以f（3）－f

（2）＝－＝.（2分）

（2）由f

（1）＝2，f

（2）＝，可得a＝－，b＝.（3分）

以下用数学归纳法证明：

存在实数a＝－，b＝，使f（n）＝＋1成立．

①当n＝1时，显然成立；（4分）

②当n＝k时，假设存在a＝－，b＝，使得f（k）＝＋1成立，（5分）

那么当n＝k＋1时，f（k＋1）＝＝

＝＝1＋＝＋1，

即当n＝k＋1时，存在a＝－，b＝，使得f（k＋1）＝＋1成立．（9分）

由①②可知，存在实数a＝－，b＝，使f（n）＝＋1对任意正整数n恒成立．（10分）