人教版高中数学必修一《对数函数》课时教学案.docx

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人教版高中数学必修一《对数函数》课时教学案

对数函数

一．教学目标：

1．知识与技能

①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.

②运用对数运算性质解决有关问题.

③培养学生分析、综合解决问题的能力.

培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.

2.过程与方法

①让学生经历并推理出对数的运算性质.

②让学生归纳整理本节所学的知识.

3.情感、态度、和价值观

让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.

二．教学重点、难点

重点：

对数运算的性质与对数知识的应用

难点：

正确使用对数的运算性质

三．学法和教学用具

学法：

学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.

教学用具：

投影仪

四．教学过程

1．设置情境

复习：

对数的定义及对数恒等式

（＞0，且≠1，N＞0），

指数的运算性质.

2．讲授新课

探究：

在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？

如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？

如：

于是由对数的定义得到

即：

同底对数相加，底数不变，真数相乘

提问：

你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？

（让学生探究，讨论）

如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：

（1）

（2）

（3）

证明：

（1）令

则：

又由

即：

（3）

即

当=0时，显然成立.

提问：

1.在上面的式子中，为什么要规定＞0，且≠1，M＞0，N＞0？

1．你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？

例题：

1.判断下列式子是否正确，＞0且≠1，＞0且≠1，＞0，＞，则有

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）

例2：

用，，表示出

（1）

（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.

（1）

（2）（3）（4）

分析：

利用对数运算性质直接计算：

（1）

（2）

=

（3）

（4）

点评：

此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.

让学生完成P68练习的第1，2，3题

提出问题：

你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？

＞0，且≠1，＞0，且≠1，＞0

先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.

设

且

即：

所以：

小结：

以上这个式子换底公式，换的底C只要满足C＞0且C≠1就行了，除此之外，对C再也没有什么特定的要求.

提问：

你能用自己的话概括出换底公式吗？

说明：

我们使用的计算器中，“”通常是常用对数.因此，要使用计算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数.如：

即计算的值的按键顺序为：

“”→“3”→“÷”→“”→“２”→“=”

再如：

在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算

所以

=

练习：

P68练习4

让学生自己阅读思考P66~P67的例5，例6的题目，教师点拨.

3、归纳小结

（1）学习归纳本节

（2）你认为学习对数有什么意义？

大家议论.

4、作业

（1）书面作业：

Ｐ74　习题２.２　　第3、4题P75　　第11、12题

2、思考：

（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？

（2）

对数函数

一．教学目标：

1．知识与技能

（1）知识与技能

（2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.

2．过程与方法

学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异.

3.情感、态度、价值观

（1）体会指数函数与指数;

（2）进一步领悟数形结合的思想.

二．重点、难点：

重点：

指数函数与对数函数内在联系

难点：

反函数概念的理解

三．学法与教具：

学法：

通过图象，理解对数函数与指数函数的关系.

教具：

多媒体

四．教学过程：

1．复习

（1）函数的概念

（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出的函数图象.`

2．讲授新知

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

…

1

2

4

8

…

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

…

1

2

4

8

…

图象如下：

探究：

在指数函数中，为自变量，为因变量，如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？

如果是，那么对应关系是什么？

如果不是，请说明理由.

引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.

在指数函数中，是自变量，是的函数（），而且其在R上是单调递增函数.过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，，即对于每一个，在关系式的作用之下，都有唯一的确定的值和它对应，所以，可以把作为自变量，作为的函数，我们说.

从我们的列表中知道，是同一个函数图象.

3．引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.

由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.

如的反函数，但习惯上，通常以表示自变量，表示函数，对调中的，这样是指数函数的反函数.

以后，我们所说的反函数是对调后的函数，如的反函数是.

同理，＞1）的反函数是＞0且.

课堂练习：

求下列函数的反函数

（1）

（2）

归纳小结：

1.今天我们主要学习了什么？

2．你怎样理解反函数？

课后思考：

（供学有余力的学生练习）

我们知道＞0与对数函数＞0且互为反函数，探索下列问题.

1．在同一平面直角坐标系中，画出的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？

2．取图象上的几个点，写出它们关于直线的对称点坐标，并判断它们

是否在的图象上吗？

为什么？

3．由上述探究你能得出什么结论，此结论对于＞0成立吗？

§2.2.2对数函数及其性质

学习目标：

⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数；

⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识，

了解互为反函数的两个函数图象间的关系；

⒊通过指数函数与对数函数的比较，了解互为反函数的两个函数定

义域和值域之间的关系．

教学重点：

底数相同的指数函数与对数函数互为反函数．

教学难点：

互为反函数的两个函数图象间的关系．

教学方法：

探究、讨论式．

教具准备：

⒈用《PowerPoint》播放指数函数与对数函数对照表．

　　　　　⒉用《几何画板》演示同底数的指数函数与对数函数图象间的关系．

教学过程：

　　（I）复习回顾：

师：

前面几节课，我们学习了指数函数、对数函数的概念、图象和性质，现在我们把这两类函数做个对比，以便于我们对它们形成整体的认识．

请大家一起来填写下表．（用《PowerPoint》播放）

指数函数与对数函数对照表

指数函数

对数函数

一般形式

，且

，且

定义域

值域

函

数

值

变

化

情

况

当时，

当时，

当时，

当时，

单调性

时，是增函数；

时，是减函数

时，是增函数；

时，是减函数

图象

函数的图象与函数的图象关于直线对称．

从上面的表格中，我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系，今天我们就对它们之间的关系来做一番研究．

（II）讲授新课：

师：

在指数函数中，x为自变量，y是因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？

生：

由指数式可得对数式．这样，对于任意一个，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．

师：

你可以用几何方法来得到上面的结论吗？

生：

指数函数中，x为自变量，y是x的函数，并且它是上的单调递增函数．我们过y轴正半轴上任一点，作x轴的平行线，与的图象有且只有一个交点．这也说明，对于任意一个，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．

师：

这时我们称函数是函数的反函数．

请同学们考虑，在函数中，自变量、函数各是什么呢？

这合乎我们的习惯吗？

生：

在函数中，y是自变量，x是函数．而习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数．

师：

为了和我们的习惯一致，我们常常对调函数在函数中的字母x，y，把它写成．于是，对数函数是指数函数的反函数．

请同学们仿照上面的过程，说明对数函数，且和指数函数，且之间的关系．

生：

（探究、讨论得出结论）对数函数，且和指数函数，且互为反函数．

师：

对于具体的指数函数，且，我们可以怎样得到它的反函数呢？

生：

对于具体的指数函数，且，我们可以先把它化为对数形式，然后再对调其中的字母x，y，就得到了它的反函数，且．

师：

请同学们观察一下对数函数，且和指数函数，且的定义域和值域，你能得出什么结论？

生：

指数函数，且的定义域和值域分别是对数函数，且的值域和定义域．

师：

请同学们观察对数函数是指数函数的图象，它们有什么关系呢？

生：

（观察得）对数函数是指数函数的图象关于直线对称．

师：

这个结论可以推广到一般情况，即：

对数函数，且和指数函数，且的图象关于直线对称．

（用《几何画板》演示同底数的指数函数与对数函数图象间的关系）

（Ⅲ）课后练习：

阅读课本的《探究与发现》．

（Ⅳ）课时小结

⒈求指数（对数）函数的反函数可分两步进行：

　①将指数（对数）式化为对数（指数）式；②对调字母x，y；

⒉数学上可以证明，互为反函数的两个函数有如下性质：

　①反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域；

　②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．

（Ⅴ）课后作业

⒈阅读课本～，思考下列问题：

　⑴怎样的函数称为幂函数？

怎样确定幂函数的定义域？

　⑵幂函数的图象大致有几种形式？

在第四象限内有幂函数的图象吗？

为什么？

　⑶幂函数在区间内有怎样的单调性？

　⑷怎样确定幂函数的奇偶性？

板书设计：

§2.2.2对数函数及其性质（三）

⒈指数函数与对数函数的关系：

　⒊反函数的性质

⒉求指数（对数）函数的反函数：

　　　　　小结：

　　　　　　　　　预习提纲：

教学后记: