3、三角形中的基本关系：
（1）和角与差角公式
;
;.
（2）二倍角公式
sin2α=2cosαsinα.
.
（3）辅助角公式（化一公式）
其中
4、正弦定理：
在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
5、正弦定理的变形公式：
化角为边：
，，；
化边为角：
，，；
；
=2R
6、两类正弦定理解三角形的问题：
已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解））
7、三角形面积公式：
．=2R2sinAsinBsinC===（海伦公式）
8、余弦定理：
在中，有，，
．
9、余弦定理的推论：
，，．
注明：
余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。
在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
10、余弦定理主要解决的问题：
已知两边和夹角，求其余的量。
已知三边求角
11、如何判断三角形的形状：
判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式
设、、是的角、、的对边，则：
若，则；
若，则；
若，则．
12、三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
题型之一：
求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题．
1（15北京理科）在中，，，，则．
试题分析：
2.（2005年全国高考湖北卷）在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．
分析：
本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：
设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x
在ΔBDE中利用余弦定理可得：
，
，解得，（舍去）
故BC=2，从而，即又，
故，
在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。
答案：
题型之二：
判断三角形的形状：
给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
1.（2005年北京春季高考题）在中，已知，那么一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形
解法1：
由＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin（A－B）＝0，得A＝B．故选（B）．
解法2：
由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．
∴＝，即a2＝b2，得a＝b，故选（B）．
评注：
判断三角形形状，通常用两种典型方法：
⑴统一化为角，再判断（如解法1），⑵统一化为边，再判断（如解法2）．
题型之三：
解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1.2．在中，，，，求的值和的面积。
答案：
3.（07浙江理18）已知的周长为，且．
（）求边的长；
（）若的面积为，求角的度数．
解：
（）由题意及正弦定理，得，，
两式相减，得．
（）由的面积，得，
由余弦定理，得，
所以．
题型之四：
三角形中求值问题
1.（2005年全国高考天津卷）在中，所对的边长分别为，
设满足条件和，求和的值．
分析：
本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
解：
由余弦定理，因此，
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
解得从而
2．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
解析：
由A+B+C=π，得=－，所以有cos=sin。
cosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin=－2（sin－）2+；
当sin=，即A=时,cosA+2cos取得最大值为。
3．在锐角中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的值；
（2）若，，求的值。
解析：
（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝π，，所以cosA＝，
则
（2），则bc＝3。
将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：
中，
得解得b＝。
点评：
知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。
4．在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．
解：
（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．4分
联立方程组解得，．6分
（Ⅱ）由题意得，
即，8分
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积．12分
题型之五（解三角形中的最值问题）
1.（2013江西理）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，求b的取值范围
答案：
（1）60°
（2）［，1）
2．（2013新课标Ⅱ）△在内角的对边分别为,已知.
（Ⅰ）求;（Ⅱ）若,求△面积的最大值.
答案：
（1）45°
（2）+1
5.（2014新课标Ⅰ理）已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为.
6.△在内角的对边分别为,且=
（1）求角A的大小
（2）若a=4,求b-c的最大值
答案：
（1）60°
（2）8
7..（2007全国1理）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA.
（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围.
解析：
（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，，．
解得所以，
所以．由此有，
所以，的取值范围为．
8.三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2（A-）=（a-b）sinB,
三角形外接圆的半径为
（1）求角C的大小
（2）求△面积的最大值.
答案：
（1）60°
（2）
9，的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
解析：
由A+B+C=π，得=－，所以有cos=sin。
cosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin=－2（sin－）2+；
当sin=，即A=时,cosA+2cos取得最大值为。
题型之六（图形中的解三角形）注意灵活利用图形来分析
2.
题型之七：
正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
（一.）测量问题
1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
分析：
求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。
解析：
由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。
点评：
虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：
如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。
在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：
有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；
（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
（三.）追击问题
3如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°
方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南
偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航
行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？
解析：
设用th，甲船能追上乙船，且在C处相遇。
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，
设∠ABC=α，∠BAC=β。
∴α=180°－45°－15°=120°。
根据余弦定理，
，，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）
∴AC=28×=21nmile，BC=20×=15nmile。
根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，
∴甲船沿南偏东－arcsin的方向用h可以追上乙船。
点评：
航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的∠ABC、AB边已知，另两边未知，
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