2绘制根轨迹的基本法则.docx
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2绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则
本节讨论根轨迹增益K（或开环增益K）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m少于开环极点个数n,则有（nm）条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益
式（4-9）改写为
K0和时的根轨迹点。
将幅值条件
*
K-
n
l（SPj）|
j1
m
l（sZi）|
i1
可见当s=pj时，K*0；当
s=zi时，K*
法则2根轨迹的分支数,
对称性和连续性
nmPj|
s|11
j1s
（4-11）
m
zi
|1-|
i1s
;当|s|且nm时，
*
K。
根轨迹的分支数与开环零点数
m、开环
极点数n中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s平面上的变化轨迹。
因此,
根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系
统都存在惯性，反映在传递函数上必有nm。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益K的函数，K从零连续变到无穷时，特征方程
的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3实轴上的根轨迹：
实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5所示。
图中，So是实轴上的点，i（i1,2,3）是各开
环零点到So点向量的相角，j（j1,2,3,4）是各开环极点到So点向量的相角。
由图4-5可见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括S）点）的向量之相角和为2。
对复数共轭零点,
情况同样如此。
因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。
图
4-5中，So点左边的开环实数零、极点到So点的向量之相角均为零，而So点右边开环实数
零、极点到So点的向量之相角均为，故只有落在So右方实轴上的开环实数零、极点，才
有可能对So的相角条件造成影响，且这些开环零、极点提供的相角均为。
如果令i代表So点之右所有开环实数零点到So点的向量相角之和，j代表So点之右所有开环实数
极点到So点的向量相角之和，那么，So点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成
mo
i
i1
no
j（2k
ji
1）
（ko,1,2,）
由于与表示的方向相冋，
mo
于是等效有：
no
i
i1
j（2k
ji
1）
（ko,
1,
2,
）
式中，mo、no分别表示在So右侧实轴上的开环零点和极点个数。
式中（2k1）为奇数。
于是本法则得证。
不难判断，图4-5实轴上，区段Pi,Zi,P4,Z2以及，Z3均为实轴上的根轨迹。
法则4根轨迹的渐近线：
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时，有nm
（4-8）可写成
an1bm1
an
1bm1
sbm1
即有
an1bm1
将上式左端用牛顿二项式定理展开，并取线性项近似，有
s1an1bm1
（nm）s
bm1
以1
1ej（2k1），k0,1,
2,代入上式，有
s
1.2k1
'j
Knmenm
这就是当
s时根轨迹的渐近线方程。
它表明渐近线与实轴的交点坐标为
有
nm
PjZi
j1i1
sK*n_m
本法则得证。
渐近线与实轴夹角为
法则5
根轨迹的分离点：
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分离的点,
称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d是方程
（4-14）
的解。
证明由根轨迹方程（4-8），有
m
K*（s乙）
1丄0
（sPj）
ji
所以闭环特征方程为
m
K*（sZi）
i1
根轨迹在s平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现。
设重根为d,根据代数中重根条
件，有
dn
D（s）-
dsj1
（sPj）
*
K
i
m
（sZi）0
1
或
dn（
（s
Pj）
dK—
m
（sZi）
（4-16）
dsj1
ds
i1
将式（4-16）、
式（4-15）等号两端对应相除、得
d
n
dm
（s
Pj）
（sZi）
ds
j1
dsi1
n
m
（sPj）
（sZi）
j
1
i1
n
m
dIn（s
Pj）
dIn（sZi）
j1
i1
（4-17）
ds
ds
有
n
dln（s
Pj）
mdln（sz）
j1
ds
i1ds
n
1
m
1
于是有
j1
sPj
i1s
Zi
从上式解出的s中，经检验可得分离点d。
本法则得证。
例4-3控制系统开环传递函数为
试概略绘制系统根轨迹。
解将系统开环零、极点标于s平面，如图4-7所示。
根据法则，系统有3条根轨迹分支，且有nm=2条根轨迹趋于无穷远处。
根轨迹绘
制如下:
»例斗-3的计算穆序
rLum='12];
den=conv（[10],conv（[11],[141））;
xiocus（minideii）
法则6根轨迹与虚轴的交点：
若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚
根。
故可在闭环特征方程中令sj，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得交点的坐标值及其相应的K值。
此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应K值下处于临界
稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的K值。
此处的根轨迹增
益称为临界根轨迹增益。
例4-4某单位反馈系统开环传递函数为
⑷与虚轴交点:
方法1系统闭环特征方程为
s36s25sK0
D（s）
令sj，则
3
D（j）（j）
2
6（j）
32
5（j）Kj6j5
*
K0
令实部、虚部分别为零，有
2
K60
解得
K0K30
显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为s
增益K*30。
j..5，对应的根轨迹
＞》例4=的计算程序程序
[1];
den=conv'f[1,0],aonv（[111r[15]））;ilciciistiiuniden）
方法2用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。
列劳斯表为
15
*
6K
（30K*）60
*
K
3
s
2
s
1
s
0
s
当K30时，s行元素全为零，系统存在共轭虚根。
共轭虚根可由
F（s）6s2KJ0
s2行的辅助方程求得:
得sj.5为根轨迹与虚轴的交点。
根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图4-8所示。
法则7根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹离开开
环复数极点处的切线与正实轴的夹角,
称为起始角，以
Pi
表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹
角，称为终止角，以z表示。
起始角、终止角可直接利
用相角条件求出。
例4-5设系统开环传递函数为
K*（s1.5）（s2j）（s2j）
s（s2.5）（s0.5j1.5）（s0.5j1.5）
图i-s根轨还图
试概略绘制系统根轨迹。
解将开环零、极点标于s平面上，绘制根轨迹步骤如下:
⑴实轴上的根轨迹：
1.5,0,,2.5
K=时的一
⑵起始角和终止角：
先求起始角。
设s是由p2出发的根轨迹分支对应
点，s到p2的距离无限小，则矢量p2s的相角即为起始角。
作各开环零、极点到s的向量。
3）
图4T根轨迹的起始角和线止角
同理，作各开环零、极点到复数零点（
2j）的向量，可算出复数零点（2j）
处的终止角2=145（见图4-9）。
作出系统的根轨迹如图4-10所示。
»例4-5Alailab程序zero—[-15-2-i-2+i];
pole-[0-2.5*0.5i-j*1.5-0.5-j*1.5];g=zpk（zero.pol&l）;rlocu5法则8根之和：
当系统开环传递函数G（s）H（s）的分子、
分母阶次差（n
m）大于
等于2时,
系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。
n
式中,
i
i1
为系统的闭环极点
证明
2,n
设系统开环传递函数为
n
Pi
i1
（特征根）
p1,p2,pn为系统的开环极点。
式中
D（s）
G（s）H（s）
K（szj（s
Z2）（szm）
（S口）（SP2）（sPn）
K*sm
nn
san1s
bm1K*sm1
Kbo
an1
n2
a?
s
（Pi）
i1
a。
（4-18）
m2，即m
n
an1s
n
an1s
n2，系统闭环特征式为
n
（s
n
s
an2s
（an2
K*）sn
a。
）
2
（K*sm
（a。
K
（s
1）（s
K*bm1Sm1
bo）=
bo）
2）（s
另外，根据闭环系统n个闭环特征根
n可得系统闭环特征式为
n
D（s）sn
n1
（i）s
（i）
（4-19）
可见，当nm2时，特征方程第二项系数与K无关。
比较系数并考虑式（4-18）有
nn
（i）（Pi）ani（4-20）
i1i1
式（4-20）表明，当nm2时，随着K的增大，若一部分极点总体向右移动，则另一
部分极点必然总体上向左移动，且左、右移动的距离增量之和为0。
利用根之和法则可以确定闭环极点的位置，判定分离点所在范围。
例4-6某单位反馈系统开环传递函数为
G（s）
K
s（s1）（s2）
试概略绘制系统根轨迹，并求临界根轨迹增益及该增益对应的的三个闭环极点。
解系统有3条根轨迹分支，且有nm=3条根轨迹趋于无穷远处。
绘制根轨迹步骤如下：
⑴轴上的根轨迹：
2，1,0
⑵渐近线：
12,
a1
3
（2k1）
a3
3,
⑶分离点：
1
11
0
d
d1d2
经整理得
3d
26d20
故
d1
1.577d2
0.423
显然分离点位于实轴上
1,0间，故取
d0.423。
由于满足nm2，闭环根之和为常数，当
K增大时，两支根轨迹向右移动的速度
慢于-
支向左的根轨迹速度，因此分离点
d
0.5是合理的。
⑷与虚轴交点：
系统闭环特征方程为
D（s）s3
3s
2
2sK*0
令s
j，则
D（j）（j）3
3（j
）22（j）K
令实部、虚部分别为零，有
解得
32*
j3j2K0
K*320
230
0,2
K*0K*6
显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为1,2jJ2，对应的根轨
***
迹增益为K6，因为当0K6是系统稳定，故K6为临界根轨迹增益，根轨迹
与虚轴的交点为对应的两个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得：
0121231j2f2
系统根轨迹如图4-11所示。
力例斗的计算程序
num-[1];
den=ccnv（[lf0]fconv（[11],[12]））;
docu^nutrLdeti）
根据以上绘制根轨迹的法则，不难绘出系统的根轨迹。
具体绘制某一根轨迹时，这8条法则并不一定全部用到，要根据具体情况确定应选用的法则。
为了便于查阅，将这些法则统一归纳在表4-2之中。
图很執迹图
表4-2绘制根轨迹的基本法则
序号
内容
法则
1
根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
2
根轨迹的分支数，
根轨迹的分支数与开环零点数
m和开环极点数n中的大者相等，根轨
对称性和连续性
迹是连续的，并且对称于实轴。
实轴上的某一区域，若其右端开环实数零、
极点个数之和为奇数，则该
3
实轴上的根轨迹
区域必是180根轨迹。
*实轴上的某一区域，若其右端开环实数零、极点个数之和为偶数，贝U
该区域必是0根轨迹。
n
Pj
m
乙
渐近线与实轴的交点
j1
i1
a
n
m
4
根轨迹的渐近线
a
（2k
（180根轨迹）
渐近线与实轴夹角
n
m
*
2k
（0根轨迹）
a
（U1区勺）
n
m
其中
k=0，±
1，±2，…
分离点的坐标d是下列方程
5
根轨迹的分离点
n1m
1
j1dPji
d
Zi
的解
6
根轨迹与虚轴交点坐标
及其对应的K值可用劳斯稳定判据确定，也
根轨迹与虚轴的交点
可令闭环特征方程中s
Lj
的，然后分别令其实部和虚部为零求得
mn
t—
ij
（2k
1）
（k0,1,2,）
7
根轨迹的起始角
i1j1
和终止角
mn
*
ij
i1j1
2k
（k0,1,2,）
8
根之和
nn
iPi
i1i1
（n
m2）
注：
表中，以“*”标明的法则是绘制0根轨迹的法则（与绘制常规根轨迹的法则不同），其余法则不变
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