当
MPL=APL 时，APL 曲线达到极大值。
3.解答：
（1）由生产数 Q=2KL-0.5L2-0.5K2,且 K=10，可得短期生产函数为：
Q=20L-0.5L2-0.5*102
=20L-0.5L2-50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：
劳动的总产量函数
TPL=20L-0.5L2-50
劳动的平均产量函数
劳动的边际产量函数
APL=20-0.5L-50/L
MPL=20-L
（2）关于总产量的最大值：
20-L=0
解得
L=20
-0.5+50L 2=0
所以，劳动投入量为 20 时，总产量达到极大值。
关于平均产量的最大值：
-
L=10（负值舍去）
所以，劳动投入量为 10 时，平均产量达到极大值。
关于边际产量的最大值：
由劳动的边际产量函数
MPL=20-L 可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。
考虑到劳动投入量总是
非负的，所以，L=0 时，劳动的边际产量达到极大值。
（3）当劳动的平均产量达到最大值时，一定有 APL=MPL。
由
（2）可知，当劳动为 10 时，劳动的平
均产量
APL 达最大值，及相应的最大值为：
APL 的最大值=10
MPL=20-10=10
很显然
APL=MPL=10
4.解答：
（1）生产函数表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，Q=2L=3K.相应的有
L=18,K=12
（2）由 Q=2L=3K,且 Q=480，可得：
L=240,K=160
又因为
PL=2,PK=5，所以
K=（ PL/PK）1 2*L
（a）L=200*4-1/3 K=400*4 1 3
C=2*240+5*160=1280
即最小成本。
5、
（1）思路：
先求出劳动的边际产量与要素的边际产量
根据最优要素组合的均衡条件，整理即可得。
K=（2PL/PK）L
/
K=（PL/2PK）L
K=3L
（2）思路：
把 PL=1,PK=1,Q=1000，代人扩展线方程与生产函数即可求出
- /
（b） L=2000 K=2000
//
（d） L=1000/3 K=1000
6.
（1）.Q=AL1/3K1/3
1/3=λAL1 3K1 3=λf（L,K）
F（λl，λk
//
/
所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。
（2）假定在短期生产中，资本投入量不变，以 k 表示；而劳动
投入量可变，以
对于生产函数
L 表示。
/ /
- //- /
k -2/3<0
这表明：
在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。
相类似的，在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量是递减
的。
7、
（1）当 α0=0 时，该生产函数表现为规模保持不变的特征
（2）基本思路：
在规模保持不变，即
α0=0，生产函数可以把 α0 省去。
Q=L2 3K1 3
求出相应的边际产量
再对相应的边际产量求导，一阶导数为负。
即可证明边际产量都是递减的。
8．
（1）.由题意可知，C=2L+K,
//
为了实现最大产量：
MPL/MPK=W/r=2.
当
C=3000 时，得.L=K=1000.
Q=1000.
（2）.同理可得。
800=L2/3K1/3.2K/L=2
L=K=800
C=2400
9 利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。
解答：
以下图为例，要点如下：
分析三条等产量线，
Q1、Q2、Q3 与等成本线 AB 之间的关系.等产量线 Q3 虽然高于
等产量线
产量曲线
Q2。
但惟一的等成本线 AB 与等产量线 Q3 既无交点又无切点。
这表明等
Q3 所代表的产量是企业在既定成本下无法实现的产量。
再看 Q1 虽然它与
惟一的等成本线相交与
a、b 两点，但等产量曲线 Q1 所代表的产量是比较低的。
所
以只需由
a 点出发向右或由 b 点出发向左沿着既定的等成本线 AB 改变要素组合，
就可以增加产量。
因此只有在惟一的等成本线
才是实现既定成本下的最大产量的要素组合。
K
A
AB 和等产量曲线 Q2 的相切点 E，
E
OL1
Q2
Q1
Q3
L
图4—8 既定成本下产量最大的要素组合
10、利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。
解答：
如图所示，要点如下：
（1）由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图中，只有一条等产量曲线；此外，
有三条等成本线以供分析，并从中找出相应的最小成本。
（2）在约束条件即等产量曲线给定的条件下，
A”B”虽然代表的成本较低，但它与
既定的产量曲线 Q 既无交点又无切点，它无法实现等产量曲线 Q 所代表的产量，
等成本曲线 AB 虽然与既定的产量曲线 Q 相交与 a、b 两点，但它代表的成
本过高，通过沿着等产量曲线 Q 由 a 点向 E 点或由 b 点向 E 点移动，都可
L
1
2
3
4
5
6
7
TPL
10
30
70
100
120
130
135
APL
10
15
70/3
25
24
65/3
135/7
解:
（1）短期生产的产量表（表 1）
以获得相同的产量而使成本下降。
所以只有在切点
E
，才是在既定产量条件下实
现最小成本的要素组合。
由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条
件是
MRL/w=MPK/r。
K
KA
A′
A″
a
K1
E
b
OL1
B′
B
L
B''
图4—9既定产量下成本最小要素组合
下面表是一张关于短期生产函数
第五章
Q = f （L, K ） 的产量表:
在表 1 中填空
根据
（1）.在一张坐标图上作出 TPL 曲线,在另一张坐标图上作出 APL 曲线和 MPL 曲线.
根据
（1）,并假定劳动的价格 ω=200,完成下面的相应的短期成本表 2.
根据表 2,在一张坐标图上作出 TVC 曲线,在另一张坐标图上作出 AVC 曲线和 MC 曲线.
根据
（2）和（4）,说明短期生产曲线和短期成本曲线之间的关系.
L
0
Q
TVC=ωL
L
AVC=ω/
0 APL
MC= AP
ω/ MPL L
1
10
200
20
20MPL
2
30
400
40/3
10
3
70
600
60/7
5
4
100
800
8
20/3
5
120
1000
25/3
10
6
130
1200
120/13
20
7
135
1400
280/27
40
MPL10
（2）
20 40 30 20 10 5
Q
Q
（4）
QQ
MC
TVC
AVC
0
L
0
L
（5）边际产量和边际成本的关系,边际 MC 和边际产量 MPL 两者的变动方向是相反的.
总产量和总成本之间也存在着对应
系:
当总产量
总成本
TPL 下凸时,总成本 TC 曲线和总可变成本 TVC 是下凹的;当总产量曲线存在一个拐点时,
TC 曲线和总可变成本 TVC 也各存在一个拐点.
平均可变成本和平均产量两者的变动方向是相反的.
MC 曲线和 AVC 曲线的交点与 MPL 曲线和 APL 曲线的交点是对应的.
2.下图是一张某厂商的 LAC
曲线和
LMC 曲线图.请分别在 Q1 和 Q2 的产量上画出代表最优生产规模
的
SAC 曲线和 SMC 曲线.
解:
在产量
Q1 和 Q2 上,代表最优生产规模的 SAC 曲线和 SMC 曲线是 SAC1 和 SAC2 以及
SMC1 和 SMC2. SAC1 和 SAC2 分别相切于 LAC 的 A 和 B SMC1 和 SMC2 则分别相交于
LMC 的 A1 和 B1.
MC
SMC2
LMC
SAC1 SMC1
SAC2
LAC
O
B1
A
A1
Q1 Q2
Q
长期边际成本曲线与短期成本曲线
3.假定某企业的短期成本函数是 TC（Q）=Q3-5Q2+15Q+66:
指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分;
写出下列相应的函数:
TVC（Q） AC（Q）
AVC（Q） AFC（Q）和 MC（Q）.
解
（1）可变成本部分:
Q3-5Q2+15Q
不可变成本部分:
66
（2）TVC（Q）= Q3-5Q2+15Q
AC（Q）=Q2-5Q+15+66/Q
AVC（Q）= Q2-5Q+15
AFC（Q）=66/Q
MC（Q）= 3Q2-10Q+15
4 已知某企业的短期总成本函数是 STC（Q）=0.04 Q3-0.8Q2+10Q+5,求最小的平均可变成本值.
解:
TVC（Q）=0.04 Q3-0.8Q2+10Q
AVC（Q）= 0.04Q2-0.8Q+10
令
得
AVC' = 0.08Q - 0.8 = 0
Q=10
又因为
AVC'' = 0.08 > 0
所以当
Q=10 时, AVCMIN = 6
5.假定某厂商的边际成本函数 MC=3Q2-30Q+100,且生产 10 单位产量时的总成本为 1000.
求:
（1） 固定成本的值.
（2）总成本函数,总可变成本函数,以及平均成本函数,平均可变成本函数.
解:
MC= 3Q2-30Q+100
所以
TC（Q）=Q3-15Q2+100Q+M
当
Q=10 时,TC=1000 =500
固定成本值:
500
TC（Q）=Q3-15Q2+100Q+500
TVC（Q）= Q3-15Q2+100Q
AC（Q）= Q2-15Q+100+500/Q
AVC（Q）= Q2-15Q+100
6.某公司用两个工厂生产一种产品,其总成本函数为 C=2Q12+Q22-Q1Q2,其中 Q1 表示第一个工厂生产的
产量,Q2 表示第二个工厂生产的产量.求:
当公司生产的总产量为 40 时能够使得公司生产成本最小
的两工厂的产量组合.
解:
构造
F（Q）=2Q12+Q22-Q1Q2
+
λ（Q1+ Q2-40）
令
∂F
∂Q1
∂F
∂Q2
∂F
∂λ
⎫
⎪ ⎧Q1 = 15
⎪ ⎪
⎪
⎪
= Q1 + Q2 - 40 = 0 ⎪
⎭
使成本最小的产量组合为
Q1=15,Q2=25
7 已知生产函数 Q=A1/4L1/4K1/2;各要素价格分别为 PA=1,PL=1.PK=2;假定厂商处于短期生产,且
k = 16 .推导:
该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数;总可变成本函数和平均可变函数;边
际成本函数.
解 :
因为K = 16, 所以Q = 4 A1 / 4L1 / 4
（1）
MPA =
MPL =
∂Q
∂A
∂Q
∂L
= A-3 / 4L1 / 4
= A1 / 4L-3 / 4
MPA
MPL
=
∂Q
∂L
-3 / 4 1 / 4
1 / 4 -3 / 4
P 1
PL 1
所以L = A
（2）
由
（1）
（2）可知 L=A=Q2/16
又
TC（Q）=PA&A（Q）+PL&L（Q）+PK&16
=
=
Q2/16+ Q2/16+32
Q2/8+32
AC（Q）=Q/8+32/QTVC（Q）= Q2/8
AVC（Q）= Q/8MC= Q/4
8 已知某厂商的生产函数为 Q=0.5L1/3K2/3;当资本投入量 K=50 时资本的总价格为 500;劳动的价格
PL=5,求:
劳动的投入函数
L=L（Q）.
总成本函数,平均成本函数和边际成本函数.
当产品的价格
P=100 时,厂商获得最大利润的产量和利润各是多少?
解:
（1）当 K=50 时，PK·K=PK·50=500,
所以
PK=10.
MPL=1/6L 2 3K2 3
- //
/- /
MPL
MPK
= 6
6
L K
L K
P
PK
5
10
整理得
K/L=1/1,即 K=L.
Q=0.5L1 3K2 3,可得:
L（Q）=2Q
将其代入
/ /
（3）由
（1）可知,K=L,且已知 K=50,所以.有 L=50.代入 Q=0.5L1 3K2 3, 有 Q=25.
（2）STC=ω·L（Q）+r·50
=5·2Q+500
=10Q +500
SAC= 10+500/Q
SMC=10
//
又
π=TR-STC
=100Q-10Q-500
=1750
所以利润最大化时的
产量
Q=25,利润 π=1750
9.假定某厂商短期生产的边际成本函数为 SMC（Q）=3Q2-8Q+100,且已知当产量 Q=10 时的总成本
STC=2400，求相应的 STC 函数、SAC 函数和 AVC 函数。
解答：
由总成本和边际成本之间的关系。
有
STC（Q）= Q3-4 Q2+100Q+C
=
Q3-4 Q2+100Q+TFC
2400=103-4*102+100*10+TFC
TFC=800
进一步可得以下函数
STC（Q）= Q3-4 Q2+100Q+800
SAC（Q）= STC（Q）/Q=Q2-4 Q+100+800/Q
AVC（Q）=TVC（Q）/Q= Q2-4 Q+100
10.试用图说明短期成本曲线相互之间的关系.
解:
如图,
TC 曲线是一条由水平的 TFC 曲
E
线与纵轴的交点出发的向右上方倾斜的曲线.
在每一个产量上,TC 曲线和 TVC 曲线之
TC
B
C
G
TC
TVC
间的垂直距离都等于固定的不变成本
TFC.
TC
C
TC
TFC
O
曲线和
TVC 曲线在同一个产量水平上各自
Q
存在一个拐点
B 和 C.
C 总成本、总固定成本和总变动
成本曲线
MC
在拐点以前,
TC 曲线和 TVC 曲线的斜率
D
AC
F
AVC
是递减的;在拐点以后
TC 曲线和 TVC 曲线的
斜率是递增的.
O
A
AFC
Q
短期平均成本曲线和边际成本曲线
AFC 曲线随产量的增加呈一直下降趋势.AVC
曲线,
AC 曲线和 MC 曲线均呈 U 形
特征.
MC 先于 AC 和 AVC 曲线转为递增,MC 曲线和 AVC 曲线相交于 AVC 曲线的最低
点
F,
MC 曲线与 AC 曲线相交于 AC 曲线的最低点 D.AC 曲线高
于
AVC 曲线,它们之间的距离相当于 AFC.
且随着产量的增加而逐渐接近.但永远不能相交.
11.试用图从短期总成本曲线推导长期总成本曲线,并说明长期总成本曲线的经济含义.
如图 5—4 所示，假设长期中只有三种可供选择的生产规模，分别由图中的三条 STC 曲线表
示。
从图 5—4 中看，生产规模由小到大依
C
LTC
次为
STC1、STC2、STC3。
现在
STC3
STC1
d STC2
c
假定生产
Q2 的产量。
长期中所有的要
b
e
素都可以调整，因此厂商可以通过对要
素的调整选择最优生产规模，以最低的
a
总成本生产每一产量水平。
在
d、b、e 三点中 b 点代表的成本水
O
Q1 Q3
Q
平最低，所以长期中厂商在
STC2 曲
图 5—4 最优生产规模的选择和长期总成本曲线
线所代表的生产规模生产
Q2 产量，所
以
b 点在 LTC 曲线上。
这里 b 点是 LTC 曲线与 STC 曲线的切点，代表着生产
Q2 产量的最优规模和最低成本。
通过对每一产量水平进行相同的分析，可以找出长期中厂
商在每一产量水平上的最优生产规模和最低长期总成本，也就是可以找出无数个类似的
b（如 a、c）点，连接这些点即可得到长期总成本曲线。
长期总成本是无数条短期总成本
曲线的包络线。
长期总成本曲线的经济含义:
LTC 曲线表示长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带
来的最小的生产总成本.
12. 试用图从短期平均成本曲线推导长期平均成本曲线,并说明长期平均成本曲线的经济含义.
解:
假设可供厂商选择的生产规模只有三种：
SAC1、SAC2、SAC3，如右上图所示，规模大
C
小依次为
SAC3、SAC2、SAC1。
现在来分析长
C1
SAC1 SAC2
SAC3
C2
C3
O
Q1
Q1′ Q2
Q2′
Q3
Q
图 最优生产规模
期中厂商如何根据产量选择最优生产规模。
假定厂商生产
Q1 的产量水平，厂商选择 SAC1 进行生产。
因此此时的成本
OC1 是生产 Q1 产量的最低成本。
如果生产 Q2 产量，可供厂商选择的生产规模是
SAC1 和 SAC2，因为 SAC2 的成本较低，所以厂商会选择
C
SAC2 曲线进行生产，其成本为 OC2。
如果生产 Q3，则厂商会
选择 SAC3 曲线所代表的生产规模进行生产。
有时某一种产出
SAC1
SAC2
SAC3
SAC5
SAC4
SAC6
SAC7
水平可以用两种生产规模中的任一种进行生产，而产生相同的平
均成本。
例如生产
Q1
′的产量水平，即可选用
SAC1 曲线所代
O
Q2
Q1
Q
表的较小生产规模进行生产，也可选用
SAC2 曲线所代表的中
图 5—7 长期平均成本曲线
等生产规模进行生产，两种生产规模产生相同的生产成本。
厂商究竟选哪一种生产规模进行生产，要
看长期中产品的销售量是扩张还是收缩。
如果产品销售量可能扩张，则应选用
SAC2 所代表的生产规
模；如果产品销售量收缩，则应选用
SAC1 所代表的生产规模。
由此可以得出只有三种可供选择的生
产规模时的
LAC 曲线，即图中 SAC 曲线的实线部分.
在理论分析中，常假定存在无数个可供厂商选择的生产规模，从而有无数条
SAC 曲线，于是便得到如图
5—7 所示的长期平均成本曲线，LAC
曲线是无数条
SAC 曲线的包络线。
小
LAC 曲线经济含义:
它表示厂商在长期内在每一产量水平上,通过选择最优生产规模所实现的最LAC的平均成
本.
13.试用图从短期边际成本曲线推导长期边际成本曲线,并说明长期边际成本曲线的经济含义.
解:
图中,在
Q1
S
产量上,生产该
产量的最优生产规模由
SAC1 曲线和
MC
SMC3
LMC
SMC1 曲线所代
表,而 PQ1 既是
最优的短期边际
成本,又是最优的
长期边际成本,即
O
SACSMC1 SAC
D R
Q1 Q3
LAC
Q
长期边际成本曲线与短期成本曲线
有
LMC=SMC1=PQ1.同理,在 Q2 产量上,有 LMC=SMC2=RQ2.在 Q3 产量上,有
LMC=SMC3=SQ3.在生产规模可以无限细分的条件下,可以得到无数个类似于 P,R,S 的点,将这
些连接起来就得到一条光滑的
LMC 曲线.
LMC 曲线的经济含义:
际成本.
它表示厂商在长期内在每一产量水平上,通过选择最优生产规模所实现的最小的边
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