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最大利润教案

2006年全国初中青年数学教师优秀课比赛教案

何时获得最大利润

教材：

北京师范大学出版社九年级下册第二章《二次函数》的第六节

课时：

1课时

授课教师：

成都七中育才学校程智娟

一、教材分析（教材地位及作用）

  教材中的函数是从探索具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，用于刻画变量之间关系的常用数学模型．函数的学习可以使学生感受事物是互相联系和有规律地变化着的，体会数形结合的思想方法．在本章前，教材通过探索变量之间关系，探究一次函数和反比例函数，已经逐渐让学生建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验．

在本章的学习中，教材已研究了二次函数及其图象和性质，让学生初步了解了求特殊二次函数最大（小）值的一些方法．本节课在巩固二次函数性质及识图能力的同时，进一步让学生掌握利用二次函数知识求一些简单实际问题最大（小）值的方法，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．本节知识具有承上启下的作用，既是前面所学知识的具体应用，又为学生在高中阶段进一步学习二次函数，以及用二次函数研究二次多项式、二次方程、二次不等式等知识奠定基础．

二、教学目标：

●知识与技能：

（1）.能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题．

（2）.由具体到抽象，进一步理解二次函数

图象的顶点坐标与函数最大（小）值的关系，并明确当

时函数取得最大值，当

时函数取得最小值．

●数学思考：

（1）.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．

（2）.经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法．

●解决问题：

能将生活中的某些简单实际问题转化为二次函数模型，并能熟练运用二次函数知识解决这些实际生活中的最大（小）值问题．

●情感与态度：

（1）.通过对实际生活中最大（小）值问题的探究，认识到二次函数是解决实际问题的重要工具．

（2）.积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值．从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．

三、教学重难点

●教学重点：

（1）.探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义．

（2）.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题，并运用二次函数知识求出实际问题的最大（小）值，从而得到解决某些实际生活中最大（小）值问题的思想方法．

●教学难点：

从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题．

四、教学方式：

引导——探究——发现

五、学情分析：

九年级学生已初步掌握函数的基础知识，积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的初步经验．由于年龄特征，他们借助直观图象更容易理解抽象的函数问题．我班学生思维较为活跃，在“引导——探究——发现”式的课堂教学中能积极参与讨论问题,大胆发表自己的见解和看法；但同样也存在审题不仔细、考虑问题不全面等不足．

六、课前准备：

教具：

教材，课件，电脑

学具：

教材，练习本，铅笔，三角板

七、教学过程：

教学环节

教师活动

学生活动

活动说明

创

设

生

活

情

境

从生活中“T恤衫销售”情景引入“何时获得最大利润”问题．

某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：

在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．若设销售单价为x（20≤x≤35的整数）元，该商店所获利润为y元．请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？

学生观看情景动画．

用多媒体对教材进行再创造，再现生活中“T恤衫销售”情景，并对教材上的数据进行了修改，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情．

探

索

思

考

探

索

思

考

探

索

思

考

探

索

思

考

1．教师提问：

（1）.此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量，哪个是因变量．

（2）.销售量可以表示为；

销售额（销售总收入）可以表示为；

教师进行点评，得出答案，强调结果要化为最简形式.

所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为；

（3）.当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元．

在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义．

2．探索求该二次函数最大值的方法．

　教师鼓励学生大胆猜想，发表不同意见．

（1）.将a=－200，b=11600，

c=－152000代入顶点坐标公式（

）得：

=29．

当x=29时，y的值最大，最大值为16200．

（2）.y=-200x2+11600x-152000

=-200（x-29）2+16200．

当x=29时，y的值最大，最大值为16200．

x

y

o

5000

10

20

30

40

10000

15000

y=200x2+11600x152000

16200

（29,16200）

（3）.如果学生提出利用图象求此二次函数最大值，教师利用多媒体课件作出此二次函数图象：

教师提问：

在此函数图象上怎样体现销售单价x为

的整数？

x

y

o

5000

10

20

30

40

10000

15000

16200

y=-200x2+11600x-152000

（20≤x≤35）

（29,16200）

　教师对学生的回答作出补充或纠正．

教师讲解：

我们只是利用此二次函数图象帮助分析，图象上的点并不全满足题意．

x

y

o

5000

10

20

30

40

10000

15000

16200

（29,16200）

y=200x2+11600x152000

（20≤x≤35的整数）

教师对这三种求此二次函数最大值的方法都给予肯定（根据学生回答情况调整探索三种方法的顺序）．

学生独立思考回答第

（1）问：

销售单价为自变量，所获利润为因变量．

同桌两人在独立思考完成后，通过相互交流结果回答第

（2）问，将不同结果写在黑板上.

7600－200x；

　7600x－200x2；

学生根据题意，列出此实际问题的函数关系式：

y=-200x2+11600x-152000

（20≤x≤35的整数）

学生观察函数关系式，独立思考后讨论得出“何时获得最大利润”就是求在自变量x（20≤x≤35的整数）取何值时二次函数的y值最大．

学生可能会提出利用顶点坐标公式求y的最大值；

学生也有可能会利用配方法将此二次函数化为顶点式，求y的最大值；

学生还可能提出

画出图象求y的最大值的方法．

学生思考并作出回答：

受自变量取值范围的限制，该

题的图象应为二次

函数图象的一部分．

如果学生提到：

结合此题的实际背景，销售单价为整数，对应的利润值也为整数，此题的图象应由二次函数图象上一些不连续的点构成．

为了让学生明确研究的是哪两个变量之间的关系，补充第

（1）问．

此问建立在学生已有知识基础上,学生回答较为容易,鼓励学生独立思考完成．

第

（2）问，为了更容易找到两个变量间的函数关系式，先列代数式，要求学生独立思考完成．然后同桌两人讨论，允许学生间有不同意见．

再让学生列出利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型．

使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题．

在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大（小）值的方法．鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法．

由于研究y=x2，y=－x2的最大（小）值时，教材是利用图象让学生分析理解的，因此学生很可能会提到利用图象来求y的最大值的方法．

通过此问题的设置，让学生体会实际问题中自变量通常有取值范围的限制，因此函数图象往往是相应二次函数图象的一部分．

由于结合此题的实际背景，自变量x的取值范围为20≤x≤35的整数，图象应由此二次函数图象上一些不连续的点构成，对于此问题，如果学生提出给予简单讲解，若未提出，则不提此问题．

通过探索求此二次函数最大值方法

的过程，进一步让学生明确此二次函

数的最大值就是顶点的纵坐标值．

问

题

解

决

　　解决问题：

当销售单价x是元时，可以获得最大利润y，最大利润y是元．

学生验证：

根据实际问题的意义，检验自变量的这一取值是否在取值范围内．

当销售单价是29元时，可以获得最大利润是16200元．

让学生明确在运用数学知识解决实际问题时，要注意与实际背景相结合．

通过“提出问题——解决问题”的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函

数是解决实际问题的一类重要数学模型．

归

纳

求

二

次

函

数

最

值

的

一

般

方

法

同学们利用已学过的知识解决了“何时获得最大利润”问题．教师进一步提出：

怎样来求一般二次函数的最值呢？

观察y=ax2+bx+c（a<0）的图象

顶点

1

x

y

o

1

x

y

o

1

1

观察y=ax2+bx+c（a<0）的图象

顶点

在此过程中鼓励学生相互补充．

学生观察二次函数图象，验证归纳得出：

当a<0时，二次函数最大值是顶点的纵坐标值；当a>0时，二次函数的最小值也是顶点的纵坐标值．

最后归纳出求二次函数最大（小）值的方法：

（1）.配方化为顶点式求最大（小）值；

（2）.直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；

（3）.利用图象找顶点求最大（小）值．

由于前面研究的是a<0的二次函数，因此先观察此类函数图象．

有了a<0的二次函数最大值的验证过程后，学生很容易归纳出a>0的二次函数最小值也是顶点的纵坐标值．

通过对一般二次函数最大（小）值问题的探究归纳，让学生再次明确二次函数的最大（小）值就是顶点的纵坐标值，使学生明确求二次函数最大（小）值的三种方法．

知

识

运

用

知

识

运

用

1．在本章第一节“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x（棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式为

，也曾用列表的方法得到一个猜想：

当x=10时，橙子的总产量最多．现在请你验证一下你的猜想是否正确．你是怎样做的？

与同伴交流．

2．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是15米，AB边为x米，所围成矩形的面积为y平方米．

A

B

C

D

（1）.写出y与x的关系式；

（2）.利用函数图象描述篱笆所围成的矩形面积与AB的长之间的关系；

（3）.当AB为多少米时，可以使篱笆所围成的矩形面积在50平方米以上？

结合图象进行分析．

教师利用多媒体展示该二次函数大致图象．

3．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数：

y=－x+1000（500≤x≤800，x为整数）．

设公司获得毛利润（毛利润=销售总价－成本总价）为S元．

（1）.使用销售单价x表示毛利润S；

（2）.若你是试销员，要使公司获得最大的毛利润，销售单价应定为多少元？

此时最大毛利润是多少元，销售量是多少件？

学生回答：

1．y=-5（x-10）2+

60500,当x=10时，y=60500．

此外，学生还可以利用顶点坐标公式、图象求该二次函数最大值．

2．

（1）.y=-x2+15x

（0

（2）.引导学生分析图象得到当x<7.5时，所围成矩形的面积随着AB的增大而增大；当x>7.5时，所围成矩形的面积随着AB的增大而减小．

（3）.当5cm

3．

（1）S=-x2+1500x

-500000（500≤x≤800，x为整数）．

（2）.S=-（x-750）2+

62500．

当x=750时，S最大值=62500，此时y=250（件）．

第1题运用求二次函数最大值的方法解决橙子最大产量问题，验证本章第一节所提出的问题中猜想的正确性．

第2题第

（2）问，教师利用多媒体课件绘制该二次函数图象，学生利用图象直观分析，体会数形结合的思想方法，再次感受二次函数的最大值是图象顶点的纵坐标值．

第（3）问通过设置由函数值求自变量取值的问题培养学生的逆向思维．

针对我班学生能力较强，思维比较活跃的特点，补充了一题综合利用一次函数和二次函数知识求最大毛利润的练习，进一步培养学生的数学阅读能力和知识综合运用能力．

S与x之间无直接联系，必须通过中间变量y进行代换，因此确定S与x之间的函数关系是解决此题的关键．

知

识

小

结

教师在学生小结的基础上作点评或补充．

1．求二次函数最大（小）值的方法：

（1）.利用顶点坐标公式，求最大（小）值；

（2）.利用配方化为顶点式，求最大（小）值；

（3）.利用图象，找顶点，求最大（小）值．

2．利用二次函数知识解决实际问题的步骤：

建立二次函数模型

实际背景

提出最值问题

求出最值

问题解决

检验结果

使购合理

舍去

合理

不合理

学生小结求二次函数最大（小）值的方法和利用二次函数知识解决生活中最大（小）值问题的步骤．

通过小结，使学生这节课所学的知识系统化，感性认识上升为理性认

识．

在归纳解题步骤中适当渗透简单的数学建模和算法思想．

（课外探究）

知

识

拓

展

在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从A点开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度运动，点M

从点B开始沿BC边向C点以每秒2cm的速度运动．如果P、M分别同

时从A、B出发，设S表示△PDM

的面积，x表示运动的时间．

（1）.求出S与x之间的函数关系式

及自变量x的取值范围．

（2）.求出何时S的值最小，S最小

A

B

C

D

P

M

值为多少？

学生讨论并做出回答：

（1）.S=x2-6x+36

（0≤x≤6）．

（2）.当

时，

有最小值

．

为满足不同学生的学习要求设计此题．若时间允许，课堂上完成．若时间不允许，鼓励学生课外探究．

第

（2）问涉及到最小值，对本节课

内容进行拓展的同时，为下节课《最大面积是多少》作铺垫．

课后作业

教材60页随堂练习第1题

习题2．7第1、2题．

学生完成作业．

巩固课堂知识，提高知识运用的熟练程度．

板书设计：

何时获得最大利润

1．求二次函数最大（小）值的方法：

学生活动:

记录学生讨论结果．

习题解析：

对各个习题的解答和分析．

2．利用二次函数知识解决实际问题的步骤：

八、教学设计说明

本节课根据新课标中提出的“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念设计教学，主要体现在以下几个方面．

1．教学内容

本节课以生活场景引入问题，通过探索思考解决问题，前后呼应．体现了学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程的理念．

2．教学方法

打破传统教学模式，采用“引导——探究——发现”的教学方式，结合T恤衫销售、橙子产量、试销产品等实际问题的探究，希望通过师生互动、生生互动，共同解决问题，提高课堂教学效率，也体现教师是数学学习的组织者、引导者、合作者的理念．

3．学习方式

本节课采用学生独立思考探索与合作交流的学习方式，通过积极主动的学习活动，使学生成为数学学习的主体．在学习的活动中培养学生分析推理、交流合作和解决问题的能力，并体会到在解决问题过程中与他人合作的重要性．

4．评价方式

根据新课标的评价理念，教师既要关注学生学习结果，又要关注他们学习的过程，还要关注学生数学学习的水平和学生在数学活动中所表现出来的情感与态度．

因此在本课教学中，我应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．

5．教学设计反思：

（1）.本节课之前的学习内容中，学生已初步了解求特殊的二次函数最大（小）值的方法，但教材上没有求一般二次函数最大（小）值的方法．在学生探索“何时获得最大利润”的过程中，对求一般二次函数最大（小）值的方法，我引导学生进行了归纳总结，使感性认识上升为理性认识．

（2）.由于二次函数的最大（小）值还可能是自变量取值范围所在闭区间的端点所对应的函数值，按照新课标的要求，本节课只研究在二次函数顶点处取得最大（小）值的情况．结合我班学生实际，学生有可能提到闭区间上的最大（小）值问题，如果提出，我打算在课外辅导简单讲解，否则就不提此问题．

（3）.在引例中，若学生提到用图象来求最大利润问题，结合实际背景，图象应由一些不连续点构成，教材上没有给出此题图象．若学生提到此问题，我打算简单讲解，否则就不提此问题．

（4）.在小结利用二次函数知识解决生活中实际问题的步骤时，为渗透简单的数学建模和算法的思想，我给出了一个解决生活中实际问题的框架图，以帮助学生理解和总结．

以上就是我对这节课的设计和思考，请各位专家指导，谢谢！

§2.6何时获得最大利润

学习目标:

　　体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．

学习重点:

本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．

学习难点:

本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．

学习方法:

在教师的引导下自主学习。

学习过程:

一、有关利润问题：

某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:

在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:

销售单价是多少时,可以获利最多?

二、做一做：

某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.

⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?

⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?

三、举例：

【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：

x

3

5

9

11

y

18

14

6

2

（1）在所给的直角坐标系甲中：

①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；

②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．

（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：

①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？

试问日销售利润P是否存在最小值？

若有，试求出；若无，请说明理由．

②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．

【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．

（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．

（2）将

（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋

）2＋

的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？

是多少？

（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？

多多少？

四、随堂练习：

1．关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：

①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是

；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？

五、课后练习

1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？

3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．

（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；

（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）

（3）求出

（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；

（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？

最大利润是多少？

4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知