自习室照明用电.docx
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自习室照明用电
湖南商学院第七届数学建模大赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：
B
所属学校（请填写完整的全名）：
湖南商学院
队员1信科班
是否愿意参加暑假培训及全国数学建模大赛：
愿意
是否愿意参加暑假培训及全国数学建模大赛：
愿意
是否愿意参加暑假培训及全国数学建模大赛：
愿意
日期：
2010年5月
自习教室照明用电的优化问题
摘要
本题是一个节约用电问题，近年来，大学用电浪费比较严重，本文给出了解决这问题的模型和方法，通过对上自习人数、开放自习教室数、教室座位数、灯管数及每个灯管的功率分析，考虑到教室的用电功率和学生的满意程度，根据收集到的数据，分析并建立如下模型：
（一）针对要求，要使用电量达到最省，并且又要满足同学的需要，我们根据上自习的学生人数及每盏灯的功率，计算出每个座位所占功率，每个教室的总功率，建立模型，以求出自习学生用电最少，用LINGO软件编程求得教室的分配方案，共关闭9个教室，即应开放36个教室，不开放的教室是：
1，2，15，16，21，41，42，44，45，并求出最小总消耗功率为74525w。
（二）考虑到既要使安排的教室达到节约用电，又要使学生的满意度提高的目的，由于学生的满意度与教室的满座率和宿舍区到自习区这两个因素有关，我们运用数学方法建立满意度函数，然后再运用最优规划模型，并用MATLAB进行计算得到应开放39个教室，分别为2，3，…10，12，…14，16，…30，32，34，…43，45，从而保证了我们要达到的双重要求。
（三）由于临近考试，上自习的学生数会增加，我们先假设开放全部教室，很明显不能满足上自习学生的需求，所以我们先根据上自习的学生人数，求出所需座位数，从而得到至少还需要再建立二个以上的教室，然后。
利用灰局势决策，严格按照步骤要求，得到了在第二区、第五区和第七区各建立一个教室的方案。
最后对模型进行了评价。
关键词
统计分析、满意度、概率、优化问题、0-1变量
一、问题重述
近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。
下面是某学校收集的部分数据，请完成以下问题.
表1教室相关数据
教室
座位数
灯管数
开关数
一个开关控制的灯管数
灯管的功率/每只
1
64
42
3
14
40w
2
88
42
3
14
40w
3
193
48
4
12
50w
4
193
50
5
10
48w
5
128
36
2
18
45w
6
120
36
2
18
45w
7
120
36
4
9
48w
8
120
36
3
12
45w
9
110
36
3
12
40w
10
120
36
4
9
45w
11
64
27
3
9
40w
12
247
75
5
15
45w
13
190
48
3
16
48w
14
210
50
5
10
50w
15
70
42
3
14
40w
16
85
42
3
14
40w
17
192
48
4
12
50w
18
195
50
5
10
48w
19
128
36
2
18
45w
20
120
36
2
18
45w
21
120
36
4
9
48w
22
120
36
3
12
45w
23
110
36
3
12
40w
24
160
36
4
9
45w
25
70
27
3
9
40w
26
256
75
5
15
45w
27
190
48
3
16
48w
28
210
50
5
10
50w
29
190
48
3
16
48w
30
205
50
5
10
50w
31
110
36
3
12
40w
32
160
36
4
9
45w
33
70
27
3
9
40w
34
256
75
5
15
45w
35
190
48
3
16
48w
36
210
50
5
10
50w
37
190
48
3
16
48w
38
190
48
3
16
48w
39
210
50
5
10
50w
40
200
48
3
16
48w
41
150
50
5
10
50w
42
150
48
3
16
48w
43
180
48
3
16
48w
44
70
25
5
5
50w
45
120
45
3
15
48w
管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：
00---10：
00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。
完成以下问题：
1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。
问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的.
2．假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。
这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。
学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。
假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。
请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。
另外尽量安排开放同区的教室。
3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。
这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。
假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。
搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。
问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度.
表2学生区（标号为A）到自习区（标号为B）的距离（单位:
米）
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
355
305
658
380
419
565
414
488
326
A2
695
533
469
506
434
473
390
532
604
A3
512
556
384
452
613
572
484
527
618
A4
324
541
320
466
422
650
306
607
688
A5
696
616
475
499
386
557
428
684
591
A6
465
598
407
476
673
573
385
636
552
A7
354
383
543
552
448
530
481
318
311
A8
425
305
454
573
337
314
545
543
306
A9
307
376
535
323
447
553
587
577
334
A10
482
477
441
361
570
580
591
491
522
所有数据仅供计算参考.并非完全真实.
二、问题分析
首先根据各个教室的不同情况：
包括开放教室的数量与每个教室的座位数及灯管数，再考虑到不同时期上自习的学生数，考虑到用电量及学生的满意度。
通过上述的表格，根据那些数据，计算出：
对于问题一，在上自习的同学在【0.7*95%*8000，0.7*8000】这区间，开放教室的满座率在【0.8，0.9】概率之间，而只要考虑用电量的问题，即求出所开灯管的功率综合最少。
对于问题二，我们知道学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关，离得越近，学生的满意程度越高，首先考虑满意度，我们需要从宏观上来考虑全体上自习学生的满意程度。
对于每个宿舍区来说，假设到离它最近的自习区自习，学生的满意度为100%。
因此，最小距离与该宿舍区到其他自习区的距离的比值即可作为学生满意程度的度量,比值越大，满意程度越高。
对于十个宿舍区来说，学生最终选定的自习区所对应的比值乘以每个宿舍区到该自习区的人数的积之和则为总体满意程度。
其和越大，总体满意程度越高；其次考虑节电问题。
同第一问，总功率的多少主要取决于教室是否开放，教室内灯管的多少以及灯管的功率大小。
功率函数值越低越好。
综合到自习室教室的距离和用电总量，建立模型。
对于问题三，平时上自习的人数一般，自习室远满足学生需要，但是在临考前，尤其在临近期末，学生开始复习、迎考，自习室会爆满，导致不能满足同学需要，所以综合考虑用电量和学生满意度来临时搭建几个教室。
三、数据分析
根据题目表一教室的相关数据求出每个教室的总功率=灯管数*每只灯管的功率：
表1教室相关数据
教室
座位数
灯管数
开关数
一个开关控制的灯管数
灯管的功率/每只
总功率（单位：
w）
1
64
42
3
14
40w
1680
2
88
42
3
14
40w
1680
3
193
48
4
12
50w
2400
4
193
50
5
10
48w
2400
5
128
36
2
18
45w
1620
6
120
36
2
18
45w
1620
7
120
36
4
9
48w
1728
8
120
36
3
12
45w
1620
9
110
36
3
12
40w
1440
10
120
36
4
9
45w
1620
11
64
27
3
9
40w
1080
12
247
75
5
15
45w
3375
13
190
48
3
16
48w
2304
14
210
50
5
10
50w
2500
15
70
42
3
14
40w
1680
16
85
42
3
14
40w
1680
17
192
48
4
12
50w
2400
18
195
50
5
10
48w
2400
19
128
36
2
18
45w
1620
20
120
36
2
18
45w
1620
21
120
36
4
9
48w
1728
22
120
36
3
12
45w
1620
23
110
36
3
12
40w
1440
24
160
36
4
9
45w
1620
25
70
27
3
9
40w
1080
26
256
75
5
15
45w
3375
27
190
48
3
16
48w
2304
28
210
50
5
10
50w
2500
29
190
48
3
16
48w
2304
30
205
50
5
10
50w
2500
31
110
36
3
12
40w
1440
32
160
36
4
9
45w
1620
33
70
27
3
9
40w
1080
34
256
75
5
15
45w
3375
35
190
48
3
16
48w
2304
36
210
50
5
10
50w
2500
37
190
48
3
16
48w
2304
38
190
48
3
16
48w
2304
39
210
50
5
10
50w
2500
40
200
48
3
16
48w
2304
41
150
50
5
10
50w
2500
42
150
48
3
16
48w
2304
43
180
48
3
16
48w
2304
44
70
25
5
5
50w
1250
45
120
45
3
15
48w
2160
四、模型假设
（1）学校人数恒定不变；
（2）教室灯管全部正常工作；
（3）假设同学上自习的概率不受天气影响，即概率不变；
（4）满意度只与距离有关；
（5）每人占据一个座位；
（6）每个宿舍区的同学都是理想化同一概率；
（7）每天教室开放的时间相同；
（8）问题二中8000名同学等分的住在10个宿舍区，即每区8000/10=800名同学；
（9）假设这所学校在晚上没有安排任何课程，也就是说学生自由安排；
（10）假设开放教室的所有灯管全部打开。
五、符号说明
表示第i个教室,其中i=1，2，…45；
表示第i个教室的灯管数，其中i=1，2，…45；
表示第i个教室的灯管的功率，其中i=1，2，…45；
表示去相应教室上自习的人数；
表示第i个教室的座位数；
表示总用电量；
表示第j个区的总用电量，其中j=1,2…，9；
表示总人数；
Xij表示第i个宿舍室到第j个自习区的距离；
K表示满意比例系数；
表示第i个宿舍区到第j个自习区的满意度，其中i=1,2,…10；j=1，2，…9；
V表示总满意度；
表示相应的分区，其中j=1,2,…9；
表示在相应的区域的教室开放与不开放
=0，1，其中i=1,2,…45；
表示第j区的座位数；
Qi表示第i个教室平均每个座位的功率，其中i=1,2，…45.
六模型建立与求解
在问题1的条件下建模与求解：
要求达到节约用电的目的，当开放的教室中所有的灯管的功率之和最小时，我们认为是最节约的方案。
目标函数：
总功率值最小
约束条件：
（一）每个同学上自习的概率是0.7，而且要使上自习的同学满足程度不低于95%，则
即
（二）开放教室的满座率不低于4/5，同时不超过90%，即
根据数值分析和实际情况：
解决方法运用LINGO程序如下程序见（附录一）
求出应开放3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，17，18，19，20，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，43这36个教室，具体情况如下表格。
i
满足度
i
满足度
3
173
193
89.60%
24
144
160
90.00%
4
173
193
89.60%
25
63
70
90.00%
5
115
128
89.80%
26
230
256
89.80%
6
108
120
90.00%
27
171
190
90.00%
7
108
120
90.00%
28
189
260
72.70%
8
108
120
90.00%
29
171
190
90.00%
9
99
110
90.00%
30
184
205
89.80%
10
108
120
90.00%
31
99
110
90.00%
11
57
64
89.10%
32
144
160
90.00%
12
222
247
89.90%
33
63
70
90.00%
13
171
190
90.00%
34
230
256
89.80%
14
189
210
90.00%
35
171
190
90.00%
17
172
192
89.60%
36
189
210
90.00%
18
175
195
89.70%
37
171
190
90.00%
19
115
128
89.80%
38
171
190
90.00%
20
108
120
90.00%
39
189
210
90.00%
22
108
120
90.00%
40
180
200
90.00%
23
99
110
90.00%
43
162
180
90.00%
在问题2的条件下建模与求解：
因为至少需要提供的座位数为8000*0.7*95%=5320个，已有教室最多可提供的座位数为6844*90%=6159.6个，6159.6>5320，因此可以选择性的开放教室。
其中满意程度只与距离有关且与距离成反比例关系
即：
=K/Xij
因为某区是否开放有两种情况，我们只考虑开放同区的教室，我们对其建立0-1型整数规划模型，为此引入9个变元：
Yj｛1,第j个自习区开放;0,第j个自习区不开放}
目标函数是：
（一）总满足度v的最大值：
maxv=max
（二）总功率的最小值：
minp=min
约束条件是：
（一）
（二）
运用MATLAB解求得这9个自习区应开放B1、B2、B3、B4这四个区，才能使学生满意度达到最高，同时用电最少。
在问题3的条件下建模与求解：
由于临近期末，上自习的人数增加，要使同学上自习的可能性增大为0.85且要使满足程度不低于99%，至少需要提供的座位数为8000*0.85*99%=6732个，而已有教室最多可提供的座位数量为：
6844，而题目要求满座率不超过0.95*6844=6501.8个，6732/0.95=7087个座位，可知提供的座位不够，所以45个教室全部开放，7087-6502=576个另还需建立。
要使得目标函数：
（一）总满足度v达到最大值，即：
maxv=max
（二）总功率p达到最小值,即：
minp=min
要求要建立的教室的位置和规格条件中已经假设现有的45间教室仍按问题2中要求分为9个区.搭建的教室紧靠在某区，并且每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同.则用A（i，j）表示在第i区新增的教室与该区第j个教室的规格相同，相同为1，不同为0。
求出结果是在B2、B5、B7区分别新建教室座位数为110，110，70的教室。
七、模型评价
（1）方法直观，算法简单实用，节省了人力、物力；
（2）易于推广，非常实用，模型的可移植性比较好，只需要根据自己当前的实际情况再进行适当的调查，取得一些必要的数据就可以进行求解；
（3）问题一与问题二、三的区别在于没有考虑到宿舍和自习区的分布问题，太过理想化和简单化。
所以在第一问求出的总消耗功率是最小的。
但是，问题二三比较接近实际，它们都综合考虑了学生满意度以及节电两方面的问题，其结果更具有实际意义,对于校园自习室管理都有一定的参考价值；
（4）由中于现有教室资源无法满足上自习同学的要求，我们必须通过增加新的教室来解决这个问题。
在现实生活中，增设的临时教室越少越好，这样能更好的节约资源，减少工作人员工作量。
在综合考虑节电和学生满意度两方面的基础上，我们给出了切实可行的临时教室的规格及地址选择方案，对于校园的自习室管理工作有指导意义；
（5）问题二、三中对满意程度的度量太过简单化不太切实际；
（6）通过该题目我们不仅可以优化管理自习室，还可以将其运用到建立工厂的分布.产品的生产等模型。
此模型有很大的实际用途。
参考文献
【1】杨建军，科学研究方法概论，国防工业出版社，61-90页，2006
【2】唐焕文，数学模型引论（第三版），北京：
高等教育出版社，78-86页，2005。
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清华大学出版社，116-135页，1982。
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同济大学概率统计教研组著，出版社：
同济大学出版社，出版时间：
2009。
【5】作者：
吴祈宗等编著出版社，机械工业出版社，出版时间：
2009.09【6】（美）FrankR.Giordano[等]著；叶其孝,姜启源等译，数学建模，北京：
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【7】作者：
赵静、但琦，数学建模与数学实验（第三版），高等教育出版社，43-50页，2007
【8】郑阿齐，MATLAB实用教程，北京：
电子工业出版社，30-80页，2005。
【9】韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：
高等教育出版社，2005.6
附录
附录一：
sets:
/其中i=1,2…45/;
endsets
!
目标函数;
=@sum（
:
*
*
）;
min=
;
!
约束条件;
@for（
:
>=
）;
@for（
:
<=
）;
@sum（
:
*
）>=5320;
@sum（
:
*
）<=5600;
@for（
:
@bin（
））;
@for（
:
@gin（
））;
data:
=
51.270.4154.4154.4102.496.096.096.088.0
96.051.2197.6152.0168.056.068.0153.6156.0
102.496.096.096.088.0128.056.0204.8152.0
168.0152.0164.088.0128.056.0204.8152.0168.0
152.0152.0168.0160.0120.0120.0144.056.096.0;
=
57.679.2173.7173.7115.2108.0108.0108.099.0
108.057.6222.3171.0189.
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