第20课时 垂直平分线角平分线及尺规作图.docx

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第20课时垂直平分线角平分线及尺规作图

第20课时　垂直平分线、角平分线及尺规作图

课时分层训练

|夯实基础|

1.[2019·宜昌]通过如下尺规作图,能确定点D是BC边中点的是（　　）

图20-11

2.[2019·河北]根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

图20-12

3.[2019·南充]如图20-13,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为（　　）

图20-13

A.8B.11

C.16D.17

4.[2019·青岛]如图20-14,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠CDE的度数为（　　）

图20-14

A.35°B.40°

C.45°D.50°

5.[2019·包头样题二]如图20-15,在已知△ABC中,按以下步骤作图:

①分别以B,C为圆心,以大于

BC的长为半径画弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数是（　　）

图20-15

A.90°B.95°

C.100°D.105°

6.[2019·青山区二模]如图20-16,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心,以大于

AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若∠B=34°,则∠BDC的度数是（　　）

图20-16

A.68°B.112°

C.124°D.146°

7.[2019·东营]如图20-17,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以点B和点C为圆心,大于

BC的长为半径作弧,两弧相交于D,E两点,作直线DE交AB于点F,交BC于点G,连接CF,若AC=3,CG=2,则CF的长为（　　）

图20-17

A.

B.3

C.2D.

8.[2019·襄阳]如图20-18,分别以线段AB的两个端点为圆心,大于AB的一半的长为半径画弧,两弧分别交于C,D两点,连接AC,BC,AD,BD,则四边形ADBC一定是（　　）

图20-18

A.正方形B.矩形C.梯形D.菱形

9.[2016·湖州]如图20-19,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是（　　）

图20-19

A.8B.6C.4D.2

10.如图20-20,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于（　　）

图20-20

A.10B.7C.5D.4

11.[2018·淄博]如图20-21,在Rt△ABC中,∠A=90°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为（　　）

图20-21

A.4B.6C.4

D.8

12.[2019·潍坊]如图20-22,已知∠AOB,按照以下步骤作图:

①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连接CD.

②分别以点C,D为圆心,以大于

CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连接CE,DE.

③连接OE交CD于点M.

图20-22

下列结论中错误的是（　　）

A.∠CEO=∠DEO

B.CM=MD

C.∠OCD=∠ECD

D.S四边形OCED=

CD·OE

13.如图20-23,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,连接EF与AD交于点O.有下面四个结论:

①OA=OD;

②AD⊥EF;

③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;

④AE2+DF2=AF2+DE2.

其中正确的是（　　）

图20-23

A.②③B.②④

C.①③④D.②③④

14.[2019·兰州]如图20-24,矩形ABCD,∠BAC=60°,以点A为圆心,以任意长为半径作弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,以大于

MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等于　　　　. 

图20-24

15.[2019·泰州]如图20-25,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线;（保留作图痕迹,不要求写作法）

（2）若

（1）中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.

图20-25

16.[2019·宜昌]如图20-26,在△ABC中,D是BC边上一点,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE.

（1）求证:

△ABE≌△DBE;

（2）若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度数.

图20-26

17.[2019·杭州]如图20-27,在△ABC中,AC

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:

∠APC=2∠B;

（2）以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.

①

②

图20-27

|拓展提升|

18.如图20-28,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D等于（　　）

图20-28

A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°

19.[2019·烟台]已知∠AOB=60°,以O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB于点M,N,分别以M,N为圆心,以大于

MN的长度为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点P,以OP为边作∠POC=15°,则∠BOC的度数为（　　）

A.15°B.45°

C.15°或30°D.15°或45°

【参考答案】

1.A　2.C

3.B　[解析]∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故选B.

4.C　[解析]因为BD平分∠ABC,AE⊥BD,所以△ABF≌△EBF,所以BD是线段AE的垂直平分线,所以AD=ED,所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°,所以∠CDE=95°-50°=45°.

5.D

6.B　[解析]根据作图方法可知,DE是AC的垂直平分线,∴DC=DA.∴∠DCA=∠A=180°-90°-34°=56°,∴∠BDC=∠A+∠DCA=56°+56°=112°.故选B.

7.A　[解析]由作图可知,DE是边BC的垂直平分线,那么BC=2CG=4.在Rt△ABC中,由勾股定理,可得AB=5.因为∠ACB=90°,所以DE∥AC.因为G为BC的中点,所以F为AB的中点,所以CF=

AB=

.

8.D

9.C　[解析]如图,过点P作PE⊥BC于点E.

∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD.∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD.∵PA+PD=AD=8,∴PA=PD=4,∴PE=4.

10.C　[解析]过点E作EK⊥BC于点K.因为BE平分∠ABC,CD⊥AB,所以EK=ED=2,所以S△BCE=

BC·EK=

×5×2=5.故选C.

11.B　[解析]∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB.∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=

∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC.∵MN平分∠AMC,

∴∠AMN=∠NMC=

∠AMC,∴∠AMN=

∠ACB=

∠ANM.∵∠A=90°,∴∠AMN=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3.∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6.

故选B.

12.C　[解析]由作图可知OC=OD,CE=DE,OE=OE,所以△OCE≌△ODE,所以∠CEO=∠DEO,选项A正确;根据“三线合一”可知,CM=MD,CD⊥OE,所以选项B,D正确;选项C错误.故选C.

13.D

14.3

　[解析]在矩形ABCD中,∠BAC=60°,∴∠B=90°,∠BCA=30°.由作图知,AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠EAC=30°.∵在Rt△ABE中,BE=1,∴AE=

=2,AB=

=

∵∠EAC=∠ECA=30°,∴EC=AE=2,∴BC=3,

∴S矩形ABCD=AB·BC=3

.

15.解:

（1）如图所示,直线l为AB的垂直平分线.

（2）设AB的垂直平分线交AB于点E.连接AD.因为DE垂直平分AB,所以AD=BD,

设AD=BD=x,则CD=8-x,

在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2,

即42+（8-x）2=x2,解得x=5,

所以BD的长为5.

16.解:

（1）证明:

∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠DBE,

在△ABE和△DBE中,

∴△ABE≌△DBE（SAS）.

（2）∵∠A=100°,∠C=50°,

∴∠ABC=30°.

∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠DBE=

∠ABC=15°,

在△ABE中,∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°.

17.解:

（1）证明:

∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,

∴PA=PB,∴∠B=∠BAP.

∵∠APC=∠B+∠BAP,

∴∠APC=2∠B.

（2）根据题意可知BA=BQ,

∴∠BAQ=∠BQA.

∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,

∴∠BAQ=2∠B.

∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,

∴5∠B=180°,∴∠B=36°.

18.A

19.D　[解析]由题意可以得出OP为∠AOB的平分线,所以∠AOP=∠BOP=

∠AOB=30°.又因为∠POC=15°,考虑到点C有可能在∠AOP内也有可能在∠BOP内,所以当点C在∠AOP内时,∠BOC=∠BOP+∠POC=45°,当点C在∠BOP内时,∠BOC=∠POC=15°.