中考数学压轴题分类解析汇编十专题专题07几何三大变换相关问题2学生版.docx

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中考数学压轴题分类解析汇编十专题专题07几何三大变换相关问题2学生版

专题7：

几何三大变换相关问题.

1.（2012北京市7分）在

中，

，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转

得到线段PQ。

（1）若

且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含

的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的

，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出

的范围。

2.（2012海南省I11分）如图

（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.

（1）求证：

△AND≌△CBM.

（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？

请说明理由？

（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图

（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。

且AB=4，BC=3，求PC的长度.

3.（2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

4.（2012福建南平12分）在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．

（1）写出点A、A′、C′的坐标；

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）

（3）试探究：

当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在

（2）中的抛物线上？

若能，求出此时m的值．

5.（2012广东汕头12分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：

△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

6.（2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：

△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

7.（2012广东珠海9分）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．

（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；

（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），

（1）中结论还成立吗？

证明你的结论；

（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：

AB=4PD．

8.（2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．

（1）如图1，求证：

A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：

点N是线段BC的中点；

（3）如图2，在

（2）的条件下，求折痕FG的长．

9.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图

（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图

（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图

（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的

时，求线段EF的长．

10.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

11.（2012湖北武汉12分）如图1，点A为抛物线C1：

的顶点，点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C．

（1）求点C的坐标；

（2）如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：

DE＝4∶3，求a的值；

（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

图1图2

12.（2012湖北宜昌11分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．

（1）点E可以是AD的中点吗？

为什么？

（2）求证：

△ABG∽△BFE；

（3）设AD=a，AB=b，BC=c

①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；

②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

13.（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

（1）①折叠后的

所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；

②如图2，当折叠后的

经过圆心为O时，求

的长度；

③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；

（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

①如图4，当AB∥CD，折叠后的

与

所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；

②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的

与

所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

14.（2012湖南益阳10分）已知：

如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A

和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．

（1）求原抛物线的解析式；

（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：

过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比

（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？

（参考数据：

，结果可保留根号）

15.（2012江苏南通14分）如图，经过点A（0，－4）的抛物线y＝

x2＋bx＋c与x轴相交于点B（－0，0）和C，O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线y＝

x2＋bx＋c向上平移

个单位长度、再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

16.（2012江苏淮安12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.

（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝，OM=

（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。

①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；

②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0

时，S与t之间的函数关系式。

17.（2012江苏宿迁12分）

（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=

∠ABC（0°＜∠CBE＜

∠ABC）。

以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。

求证：

DE’=DE.

（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，

且满足∠DBE=

∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）.求证：

DE2=AD2+EC2.

18.（2012四川乐山12分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：

BD⊥CF；

②当AB=4，AD=

时，求线段BG的长．

19.（2012四川广安10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=

，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？

求出这时点P的坐标．

（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为

？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20.（2012四川达州12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.

（1）填空：

点D的坐标为（），点E的坐标为（）.

（2）若抛物线

经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.

（3）若正方形和抛物线均以每秒

个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围.

②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.

21.（2012四川德阳14分）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E.

⑴求经过点D、B、E的抛物线的解析式；

⑵将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交⑴中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为

，那么结论OF=

DG能成立吗？

请说明理由.

⑶过⑵中的点F的直线交射线CB于点P，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标.

22.（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：

∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？

并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

23.（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（－1，0）．如图所示，B点在抛物线y＝

x2＋

x－2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．

（1）求证：

△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24.（2012浙江嘉兴12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为．

（1）如图①，对△ABC作变换得△AB′C′，则S△AB′C′：

S△ABC=　　；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　　度；

（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；

（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．

25.（2012浙江杭州12分）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3

，MN=2

．

（1）求∠COB的度数；

（2）求⊙O的半径R；

（3）点F在⊙O上（

是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？

你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？

请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

26.（2012浙江衢州10分）课本中，把长与宽之比为

的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：

（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．

（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：

第一步：

沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；

第二步：

沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；

第三步：

沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．

请你探究：

矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？

请说明理由．

（3）不难发现：

将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=

，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？

探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．

27.（2012浙江义乌10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

28.（2012浙江湖州12分）如图1，已知菱形ABCD的边长为

，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（-

，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）

①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）