数学运算学习讲义花生十三 剩余部分.docx
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数学运算学习讲义花生十三剩余部分
四海公考行政能力测试讲义系列
数学运算学习讲义—花生十三
Arithmaticallecturenotes—Peanut13
目录
1引言5
2数学运算之行程问题5
2.1行程问题基础概念5
2.2行程三量基础比例关系5
2.3比例份数思想介绍6
2.4初等行程问题题型解析7
2.4.1初等行程问题介绍7
2.4.2例题解析7
2.5相遇问题题型解析10
2.5.1相遇问题介绍10
2.5.2例题解析10
2.6追及问题题型解析13
2.6.1追及问题介绍13
2.6.2例题解析14
2.7流水问题题型解析16
2.7.1流水问题介绍16
2.7.2例题解析16
2.8本章小结18
3数学运算之工程问题19
3.1工程问题基础概念19
3.2工程量基本比例关系19
3.3单独完工问题题型解析20
3.4合作完工问题题型解析21
3.4.1根据各自工作时间求解问题21
3.4.2根据不同工作情况求解问题22
3.4.3同时开工同时完工问题23
3.5本章小结23
4数学运算之排列组合问题24
4.1排列组合问题基础概念24
4.2排列组合的几种特殊情形27
4.3简单分类分步习题解析25
4.4包含特殊要求习题解析25
4.5特殊情形习题解析30
4.6本章小结33
5数学运算之概率问题33
5.1概率问题基础概念33
5.2概率问题常考题型解析34
5.2.1相互独立事件同时发生的概率34
5.2.2独立重复试验35
5.2.3互斥事件发生概率36
5.2.4总体概率36
5.2.5等可能性事件概率37
5.3本章小结39
6数学运算之极限问题39
6.1最不利情况极限题39
6.1.1最不利情况极限题概述39
6.1.2例题解析40
6.2容斥类极限题41
6.3和定最值极限题41
6.3.1和定最值极限题概述41
6.3.2例题解析42
7数学运算之容斥问题43
7.1容斥问题基础概念43
7.2传统容斥问题解析43
7.3新型容斥问题解析45
8数学运算之几何问题45
8.1几何问题基础公式45
8.2平面几何问题解析46
8.3立体几何问题解析48
8.3.1基础立体几何问题48
8.3.2立体几何最值问题49
9数学运算之循环周期问题50
9.1日期类循环问题解析50
9.1.1日期类循环问题介绍50
9.1.2例题解析50
9.2其他循环问题解析51
10数学运算之浓度问题52
10.1浓度问题基础介绍52
10.2溶剂类浓度问题解析53
10.3混合溶液类浓度问题解析54
10.4类浓度问题拓展56
11数学运算之利润问题58
11.1利润问题基础介绍58
11.2单件商品利润问题解析58
11.3多件商品利润问题解析60
11.4分批销售利润问题解析61
12数学运算之特殊情景应用题63
12.1牛吃草问题63
12.1.1牛吃草问题介绍63
12.1.2例题解析63
12.2鸡兔同笼问题65
12.2.1鸡兔同笼问题介绍65
12.2.2例题解析65
12.3年龄问题67
12.3.1年龄问题介绍67
12.3.2例题解析67
12.4方阵问题68
12.4.1方阵问题介绍68
12.4.2例题解析69
12.5植树问题70
12.5.1植树问题介绍70
12.5.2例题解析70
12.6盈亏问题71
12.6.1盈亏问题介绍71
12.6.2例题解析71
13数学运算之数论及计算问题72
13.1奇偶和质合问题72
13.1.1奇偶性、质合性概述72
13.1.2例题解析72
13.2公约数与公倍数73
13.3整除问题74
13.3.1整除问题概述74
13.3.2例题解析74
13.4余数问题75
13.4.1余数问题概述75
13.4.2例题解析75
13.5算式计算问题76
13.5.1算式计算问题概述76
13.5.2例题解析76
13.6数列问题77
13.6.1数列问题概述77
13.6.2例题解析78
14数学运算之统筹问题79
14.1时间统筹问题79
14.2货物集中统筹问题80
14.3装卸工统筹问题80
14.4空瓶换酒统筹问题81
结论81
致谢81
10数学运算之浓度问题
10.1浓度问题基础介绍
核心公式：
溶液浓度=溶质质量/溶液质量
溶液=溶质+溶剂
常用解题方法：
溶质不变法：
无论溶液如何改变（稀释、蒸发、混合），溶质质量不会凭空发生改变，可抓住溶质不变解题，溶质常常可以设定为一个特殊值。
十字相乘法：
溶液A浓度X-B溶液A质量
混合溶液浓度X——=——————
溶液B浓度A-X溶液B质量
10.2溶剂类浓度问题解析
推荐利用“溶质不变法”解题，溶质设成两次浓度的公倍数
【例一】（2012年天津市考）一个容器内有一定量盐水，第一次加入适量水后，容器内盐水浓度为3%,第二次再加入同样多水后，容器内盐水浓度为2%，则第三次加入同样多的水后盐水浓度为：
A.0.5%B.1%C.1.2%D.1.5%
【例二】（2012年江苏省考）某盐溶液的浓度为20%，加入水后，溶液的浓度变为15%。
如果再加入同样多的水，则溶液的浓度变为：
A.13%B.12.5%C.12%D.10%
【例三】（2010年浙江省考）已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4%，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少：
A.3%B.2.5%C.2%D.1.8%
【例四】（2009年国考）一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少：
A.14%B.17%C.16%D.15%
10.3混合溶液类浓度问题解析
推荐利用“溶质不变法”解题，牢记基本公式“溶液浓度=溶质质量/溶液质量”
需要注意饱和/非饱和溶液问题
【例一】（2013年江苏省考）某盐溶液100克，加入20克水稀释，浓度变为50%，然后加入80克浓度为25%的盐溶液，此时，混合后的盐溶液浓度为：
A.30%B.40%C.45%D.50%
【例二】（2013年陕西省考）将700克14.3%的盐水与900克11.1%的盐水混合后，再加入200克盐，蒸发掉300克水之后，该盐水的浓度为：
A.22.2%B.24.3%C.26.7%D.28.6%
【例三】（2012年安徽省考）在某状态下，将28克某种溶质放入99克水中，恰好配成饱和溶液。
从中取出1/4溶液，加入4克溶质和11克水，请问此时浓度变为多少：
A.21.61%B.22.05%C.23.53%D.24.15%
【例四】（2013年天津市考）甲容器有浓度为3%的盐水190克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙容器中取出210克盐水倒入甲容器中，则甲容器中盐水的浓度是多少：
A.5.45%B.6.15%C.7.35%D.5.95%
【例五】（2013年浙江省考）瓶中装有浓度为20%的酒精溶液为1000克，现在又分倒入200克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的溶液浓度变为15%。
已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍。
那么A种酒精溶液的浓度是多少：
A.5%B.6%C.8%D.10%
【例六】（2013年深圳市考）化学实验中，需要使用现有不同浓度的A、B两种氯化钠溶液配置新的浓度为15%的氯化钠溶液。
已知A溶液的浓度是B溶液的5倍，且若将50克A溶液与250克B溶液混合即能完成配置，那么A溶液的浓度是：
A.45%B.40%C.35%D.30%
【例七】（2014年山东省考）甲杯中有浓度为20%的盐水1000克，乙杯中有1000克水。
把甲杯中盐水的一半倒入乙杯中，混合后再把乙杯中盐水的一半倒入甲杯中，混合后又把甲杯中的一部分盐水倒入乙杯中，使得甲乙两杯中的盐水同样多。
问最后乙杯盐水的浓度为多少：
A.6%B.7%C.8%D.9%
【例八】（2014年国考）烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。
每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水。
问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%（假设烧杯中盐水不会溢出）：
A.6B.5C.4D.3
【例九】（2014年浙江省考）有a、b、c三种浓度不同的溶液，按a与b的质量比为5:
3混合，得到的溶液浓度为13.75%；按a与b的质量比为3:
5混合，得到的溶液浓度为16.25%；按a、b、c的质量比为1:
2:
5混合，得到的溶液浓度为31.25%。
问溶液c的浓度为多少：
A.35%B.40%C.45%D.50%
10.4类浓度问题拓展
可转化成A=B/C形式的数量关系均可看成是类浓度问题，即A为浓度，B为溶质，C为溶液，推荐利用“十字相乘法”解题，将不同变量巧妙的转化为溶液解题
【例一】（2011年国考）A.B.C.三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁，24岁，42岁，A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁，该单位全体人员的平均年龄为多少岁：
A.34B.36C.35D.37
【例二】（2013年山东省考）某单位共有职工72人,年底考核平均分数为85分,根据考核分数,90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少：
A.12B.24C.30D.42
【例三】（2014年四川省考）学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。
由于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。
问购买的足球和篮球的数量之比是多少：
A.4:
5B.5:
6C.6:
5D.5:
4
【例四】（2014年广州市考）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分，已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为：
A．48B.45C.43D.40
11数学运算之利润问题
11.1利润问题基础介绍
核心公式：
售价=成本（即进价）+利润
利润率=利润/成本
折扣=实际售价/定价
常用解题方法：
赋值法：
若已知条件和所求问题均以比例形式出现，未给出具体数值，我们就可以把成本或售价假设成容易计算的特殊值。
方程法：
利润问题公式繁多，考法多样，不建议其他方法，直接列方程最直观易懂
11.2单件商品利润问题解析
单件商品利润问题利用好基础公式即可解题，多用赋值法、代入法
【例一】（2012年江西省考）一批玩具，比进价高200%销售，一段时间后，六一儿童节促销，玩具按定价6折销售，打折后这批价格比进价高百分之多少：
A.20B.40C.60D.80
【例二】（2013年河北省考）小王收购了一台旧电视机，然后转手卖出，赚取了30%的利润，1个月后，客户要求退货，小王和客户达成协议，以当时交易价格的90%回收了这台电视机，后来小王又以最初的收购价将其卖出。
问小王在这台电视机交易中的利润率为：
A.13%B.17%C.20%D.27%
【例三】（2013年浙江省考）某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多25%出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少：
A.6%B.8%C.10%D.12%
【例四】（2012年安徽省考）一件商品相继两次分别按折扣率为10%和20%进行折扣，已知折扣后的售价为540元，那么折扣前的售价为：
A.600元B.680元C.720元D.750元
【例五】（2011年江苏省考）某商品定价为进价的1.5倍，售价为定价的8折，每件仍可以获利24元，该商品定价为多少：
A.180元B.160元C.144元D.120元
【例六】（2012年北京市考）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54元。
问该商品原来的售价是多少元：
A.324B.270C.135D.378
【例七】（2014年国考）老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费用后，发现与买进时相比赚了7万元。
问老王买进该艺术品花了多少万元：
A.42B.50C.84D.100
【例八】（2014年北京市考）某件商品如果打九折销售，利润是原价销售时的2/3；如果打八折后再降价50元销售，利润是原价销售时的1/4。
该商品如果打八八折销售，利润是多少元：
A.240B.300C.360D.480
11.3多件商品利润问题解析
多件商品利润问题，除基础公式外，需加入如下公式：
总利润=单个商品利润*销售量
总销售金额=单价*销售量
总成本=单个商品成本*进货量
【例一】（2012年国考）2010年某种货物的进口价格是15元/公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%。
问2011年该货物的进口价格是多少元/公斤：
A.10B.12C.18D.24
【例二】（2014年四川省考）某钢铁厂生产一种特种钢材，由于原材料价格上涨，今年这种特种钢材的成本比去年上升了20%。
为了推销该种钢材，钢铁厂仍然以去年的价格出售，这种钢材每吨的盈利下降40%，不过销售量比去年增加了80%，那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少：
A.4%B.8%C.20%D.54%
【例三】（2012年广州省考）某水果店销售一批水果，按原价出售，利润率为25%。
后来按原价的九折销售，结果每天的销售量比降价前增加了1.5倍。
则打折后每天销售这批水果的利润比打折前增加了：
A.15%B.20%C.25%D.30%
【例四】（2011年吉林省考）某商店以每件6元的进价买回一批商品，售价为每件8.4元，当卖了这批商品的3/4时，不仅收回了购买这批商品所付的款项，而且还获得利润90元，这批商品有：
A.500件B.400件C.300件D.600件
【例五】（2011年广州省考）服装批发市场有一款衣服标价100元/件。
小王原计划购买60件这样的衣服，但他对店老板说：
“如果你肯减价，每减价1元，我多订购10件。
”老板算了一下，如果减价4%，由于小王多购，便可获得比原来多一半的总利润。
则这一款衣服的成本是多少元：
A.60B.68C.75D.81
【例六】（2014年上海市考）某水果店新进一批时令水果，在运输过程中腐烂了1/4，缺货时又损失了该批水果的1/5，剩下的水果当天全部售出，计算后发现还获利10%，则这批水果的售价是进价的：
A.1.6B.1.8C.2D.2.2
【例七】（2012年上半年联考）某网店以高于进价10%的定价销售T恤，在售出2/3后，以定价的8折将余下的T恤全部售出，该网店预计盈利为成本的：
A.3.2%B.不赚也不亏C.1.6%D.2.7%
11.4分批销售利润问题解析
分批销售利润问题最常用方程：
第一部分销售收入+第二部分销售收入=总销售收入
【例一】（2013年陕西省考）某商店2万元购进一批商品，按原价卖出这批商品的五分之二后，由于市场情况发生变化，决定以七五折销售所剩商品，等商品全部卖出后结算发现这批商品亏损2000元，则降价前这批商品的利润率约为：
A.6%B.7%C.8%D.9%
【例二】（2011年国考）某商店花10000元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价，结果只销售了商品总量的30%，为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元，问商店是按定价打几折销售的：
A.九折B.七五折C.六折D.四八折
【例三】（2010年下半年联考）某家具店购进100套桌椅，每套进价200元，按期望获利50%定价出售，卖掉60套桌椅后，店主为了提前收回资金，打折出售余下的桌椅，售完全部桌椅后，实际利润比期望利润低了18%，余下的桌椅是打几折出售的：
A.七五折B.八二折C.八五折D.九五折
【例四】（2014年山东省考）服装店买进一批童装，按每套获利50%定价卖出这批童装的80%后，按定价的八折将剩下的童装全部卖出，总利润比预期减少了390，问服装店买进这批童装总共花了的多少元：
A.5500B.6000C.6500D.7000
【例五】（2014年浙江省考）商店进了100件同样的衣服，售价定为进价的150%，卖了一段时间后价格下降20%继续销售，换季时剩下的衣服按照售价的一半处理，最后这批衣服盈利超过25%。
如果处理的衣服不少于20件，问至少有多少件衣服是按照原售价卖出的：
A.7件B.14件C.34件D.47件
12数学运算之特殊情景应用题
12.1牛吃草问题
12.1.1牛吃草问题介绍
核心公式：
每日青草生长份数=（牛的数量*吃草时间—牛的头数*吃草时间）/时间差
每日青草的生长量，即是能供养的最多牛数
草场原有草量=（牛的数量-每日青草生长份数）*吃草时间
常见情景：
人挖沙/吸氧/开采、牛吃草、水池进出水、排队、电梯
常见问法及解法：
最多可供多少人XXXX？
-》直接求出每日青草生长量即可
可供N人XXXX多长时间？
-》原有草量/（牛的数量-每日青草生长份数）
12.1.2例题解析
【例一】（2013年国考）某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。
如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采：
（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）
A.25B.30C.35D.40
【例二】（2011年北京市考）假设某地森林资源的增长速度是一定的，且不受到自然灾害等影响，那么若每年开采110万立方米，则可开采90年，若每年开采90万立方米则可开采210年。
为了使这片森林可持续开发，则每年最多开采多少万立方米：
A.30B.50C.60D.75
【例三】（2011年安徽省考）某招聘会在入场前若干分钟就开始排队，每分钟来的求职人数一样多，从开始入场到等候入场的队伍消失，同时开4个入口需30分钟，同时开5个入口需20分钟。
如果同时打开6个入口，需多少分钟：
A.8B.10C.12D.15
【例四】（2011年内蒙省考）某水库共有10个泄洪闸，当10个泄洪闸全部打开时，8小时可将水位由警戒水位降至安全水位；只打开6个泄洪闸时，这个过程为24个小时，如水库每小时的入库量稳定，问如果打开8个泄洪闸时，需要多少小时可将水位降至安全水位：
A.10B.12C.14D.16
【例五】（2009年国考）某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市12万人使用20年，在迁入3万人之后，只能供全市人民使用15年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至30年，那么居民平均需要节约用水量的比例是多少：
A.2/5B.2/7C.1/3D.1/4
【例六】（2012年山东省考）某篮球比赛14：
00开始，13：
30允许观众入场，但早有人来排队等候入场。
假设从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，13：
45时就不再有人排队；如果开4个入场口，13：
40就没有人排队，那么第一个观众到达的时间是：
A.13：
00B.13：
05C.13：
10D.13：
15
【例七】（2013年山东省考）有甲乙两个水池，其中甲水池中一直有水注入，如果分别安排8台抽水机去抽空甲和乙水池，则分别需要16小时和4小时,如给甲水池加5台，则可以提前10小时抽空。
若共安排20台抽水机，则为了保证两个小池能同时抽空，在甲水池工作的抽水机应该比乙水池多多少台：
A.4B.6C.8D.10
【例八】（2013年河北省考）某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐充满后同时供40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60个人吸氧，则45分钟后氧气耗尽。
问如果该氧气罐充满后无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间：
A.一个半小时B.两个小时C.两个半小时D.三个小时
12.2鸡兔同笼问题
12.2.1鸡兔同笼问题介绍
最常见考查题型：
工资报酬、考试对错题得分
解题思路：
假设都做对或都赚到，理想情况与现实情况的差值/单个差值=做错数量
12.2.2例题解析
【例一】（2008年国考）某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资10元，每做一个不合格零件将被扣除5元，已知某人一天共做了12个零件，得工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件：
A.2B.3C.4D.6
【例二】（2011年江苏省考）某公司实行计件工资报酬，加工一件合格产品得4元，不合格的不计报酬，而且每件扣除12元，某员工一个月加工1000件，得3600元报酬，该员工这个月加工产品合格率是多少：
A.96%B.96.5%C.97.5%D.98%
【例三】（2012年江苏省考）加工300个零件，加工出一件合格品可得加工费6元，加工出一件不合格品不仅得不到加工费，还要赔偿18元，如果加工完毕共得1752元，则加工出合格品的件数是：
A.294B.295C.296D.298
【例四】（2012年山东省考）甲乙两人参加射击比赛，规定每中一发记5分，脱靶一发倒扣3分。
两人各打了10发子弹后，分数之和为52，甲比乙多得了16分。
问甲中了多少发：
A.9B.8C.7D.6
【例五】（2012年上海市考）某单位举行“庆祝建党90周年”知识抢答赛，总共50道抢答题。
比赛规定：
答对1题得3分，答错1题扣1分，不抢答得0分。
小军在比赛中抢答了20道题，要使最后得分不少于50分，则小军至少要答对多少道题：
A.16B.17C.18D.19
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