高一数学《等比数列的性质及应用》上课学习上课学习教案.docx
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高一数学《等比数列的性质及应用》上课学习上课学习教案
高一数学《等比数列的性质及应用》教案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 一、教学目标：
.知识与技能：
理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。
2.过程与方法：
通过观察、类比、猜测等推理方法，提高我们分析、综合、抽象、
概括等逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：
体会类比在研究新事物中的作用，了解知识间存在的共同规律。
二、重点：
等比数列的性质及其应用。
难点：
等比数列的性质应用。
三、教学过程。
同学们，我们已经学习了等差数列，又学习了等比数列的基础知识，今天我们继续学习等比数列的性质及应用。
我给大家发了导学稿，让大家做了预习，现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。
数列名称
等差数列
等比数列
定义
一个数列，若从第二项起每一项减去前一项之差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。
一个数列，若从第二项起每一项与前一项之比都是同一个非零常数，则这个数列是等比数列。
定义表达式
an-an-1=d（n≥2）
通项公式证明过程及方法
an-an-1=d；an-1-an-2=d，
…a2-a1=d
an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=d
an=a1+*d
累加法
;
…….
an=a1qn-1
累乘法
通项公式
an=a1+*d
an=a1qn-1
多媒体投影（总结规律）
数列名称
等差数列
等比数列
定
义
等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定
义
表
达
式
an-an-1=d
（n≥2）
通项公式证明
迭加法
迭乘法
通
项
公
式
加-乘
乘—乘方
通过观察，同学们发现：
•
等差数列中的
减法、加法、乘法，
等比数列中升级为
除法、乘法、乘方.
四、探究活动。
探究活动1：
小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习1；等差数列的性质1；猜想等比数列的性质1；性质证明。
练习1
在等差数列{an}中，a2=-2,d=2，求a4=_____..
解：
a4=a2+（n-2）d=-2+（4-2）*2=2
等差数列的性质1：
在等差数列{an}中,an=am+d.
猜想等比数列的性质1
若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m
性质证明
右边=am*qn-m=a1qm-1qn-m=a1qn-1=an=左边
应用
在等比数列{an}中，a2=-2,q=2，求a4=_____.
解：
a4=a2q4-2=-2*22=-8
探究活动2：
小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习2；等差数列的性质2；猜想等比数列的性质2；性质证明。
练习2
在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为
.
解：
a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=2a5+2a5+a5=5a5=450
a5=90
a2+a8=2×90=180
等差数列的性质2：
在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
特别的，当m=n时，2an=ap+aq
猜想等比数列的性质2
在等比数列{an}中，若m+n=s+t则am*an=as*at
特别的，当m=n时，an2=ap*aq
性质证明
右边=am*an=a1qm-1a1qn-1=a12qm+n-1=a12qs+t-1=a1qs-1a1qt-1=as*at=左边
证明的方向:
一般来说，由繁到简
应用
在等比数列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____.
解：
a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=36
由于an>0，a3+a5>0,a3+a5=6
探究活动3：
小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习3；等差数列的性质3；猜想等比数列的性质3；性质证明。
练习3
在等差数列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____.
解：
a60=2*a45-a30=2×90-10=170
等差数列的性质3：
若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项，则这些项构成新的等差数列，且2an=an-k+an+k
an即时an-k,an,an+k的等差中项
猜想等比数列的性质3
若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+k
an即时an-k,an,an+k的等比中项
性质证明
右边=an-k*an+k=a1qn-k-1a1qn+k-1=a12qn-k-1+n+k-1=a12q2n-2=2t=an2左边
证明的方向:
由繁到简
应用
在等比数列{an}中a30=10,a45=90,a60=_____.
解：
a60=
=
=810
应用
等比数列{an}中，a15=10,a45=90,a60=________.
解：
a30=
=
=
30
A60=
探究活动4：
小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习4；等差数列的性质4；猜想等比数列的性质4；性质证明。
练习4
设数列{an}、{bn}都是等差数列，若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____.
解：
a5+b5=2-=2*21-7=35
等差数列的性质4：
设数列{an}、{bn}是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列
两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列
猜想等比数列的性质4
设数列{an}、{bn}是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列
两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列，两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。
性质证明
证明：
设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，设cn=an•bn那么数列{an•bn}的第n项与第n+1项分别为：
应用
设数列{an}、{bn}都是等比数列，若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____.
解：
由题意可知{an•bn}是等比数列，a3b3是a1b1；a5b5的等比中项。
由（a3b3）2=a1b1*a5b5
212=7*a5b5
a5b5=63
（四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位，以学生的自主学习，自主探究为主题，以教师的指导为辅，开展教学活动）
五、等比数列具有的单调性
（1）q<0,等比数列为
摆动
数列，不具有
单调性
（2）q>0（举例探讨并填表）
a1
a1>0
a1<0
q的范围
0
q=1
q>1
0
q=1
q>1
{an}的单调性
单调递减
不具有单调性
单调递增
单调递增
不具有单调性
单调递减
让学生举例说明，并查验有多少学生填对。
（真确评价）
六、课堂练习：
、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于.
A.
B. 7
c. 6
D.
解析:
由已知得a32 =5, a82=10,
∴a4a5a6=a53 =
=
=5
.
答案:
A
2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=
.
答案:
4
3、
+1与
-1两数的等比中项是.
A.1
B. -1
c.
D.±1
解析：
根据等比中项的定义式去求。
答案:
选D
4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2
,a2=1,则a1等于.
A.2
B.
c.
D.
解析:
∵a3a9=
=2
,∴
=q2=2,∵q>0,∴q=
.故a1=
=
=
.
答案:
c
5练习题：
三个数成等比数列，它们的和等于14，
它们的积等于64，求这三个数。
分析：
若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.
由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数
为：
根据题意
再由方程组可得：
q=2或
既这三个数为2，4，8或8，4，2。
七、小结
本节课通过观察、类比、猜测等推理方法，研究等比数列的性质及其应用，从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括，逻辑思维解决问题的能力。
八、
§3.1.2等比数列的性质及应用
性质一：
若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m
性质二：
在等比数列{an}中，若m+n=s+t则am*an=as*at
性质三：
若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些
项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+k
性质四：
设数列{an}、{bn}是公比分别为q1、q2的等比
数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列
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九、反思
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