穷举法详细.docx
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穷举法详细
第三讲穷举法
一、穷举法的基本概念
穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人，就是用高速的电子计算机运行，其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
二、穷举算法模式
穷举算法模式：
（1）问题解的可能搜索的范围：
用循环或循环嵌套结构实现
（2）写出符合问题解的条件。
（3）能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。
三、使用穷举法设计算法
穷举法应用很多，比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。
如在QQ上，OicqPassOver这个工具穷举你的口令，它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令，如果口令简单，一分钟内，密码就会遭到破译。
下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。
实例一：
古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2～1000内的所有完全数。
分析：
（1）本题是一个搜索问题，搜索范围2～1000，找出该范围内的完全数；
（2）完全数必须满足的条件：
因子的和等于该数据的本身。
（3）问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和。
程序如下：
Programp3_1;
Vara,b,s:
integer;
Begin
Fora:
=2to1000do
Begin
S:
=0;
Forb:
=1toa-1do
Ifamodb=0thens:
=s+b;{分解因子并求和}
Ifa=sthenbegin
Write（a,‘=’,1,）;
Forb:
=2toa-1do
Ifamodb=0thenwrite（’+’,b）;
Writeln;
End;
End;
End.
当程序运行后，输出结果：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
实例二：
（第七届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛初赛试题）
在A，B两个城市之间设有N个路站（如下图中的S1，且N<100），城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段（各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数）。
A，B的一条通路是指：
从A出发，可经过任一路段到达S1，再从S1出发经过任一路段，…最后到达B。
通路上路段距离之和称为通路距离（最大距离≤1000）。
当所有的路段距离给出之后，求出所有不同距离的通路个数（相同距离仅记一次）。
例如：
下图所示是当N=1时的情况：
从A到B的通路条数为6，但因其中通路5+5=4+6，所以满足条件的不同距离的通路条数为5。
算法说明：
本题采用穷举算法。
数据结构：
N：
记录A，B间路站的个数
数组D（I，0）记录第I-1到第I路站间路段的个数
D（I，1），D（I，2），…记录每个路段距离
数组G记录可取到的距离
PROGRAMCHU7_6；
VARI，J，N，S：
INTEGER；
B：
ARRAY[0..100]OFINTEGER；
D：
ARRAY[0..100，0..20]OFINTEGER；
G：
ARRAY[0..1000]OF0..1；
BEGIN
READLN（N）；
FORI:
=1TON+1DO
BEGIN
READLN（D[I，0]）；
FORJ:
=1TOD[I，0]DO READLN（D[I，J]）；
END；
D[0，0]:
=1；
FORI:
=1TON+1DO B[I]:
=1；
B[0]:
=0；
FORI:
=0TO1000DO G[I]:
=0；
WHILE ① DO
BEGIN
S:
=0；
FORI:
=1TON+1DO
S:
= ②
G[S]:
=1；J:
=N+1；
WHILE ③ DOJ:
=J-1；
B[J]:
=B[J]+1；
FORI:
=J+1TON+1DO B[I]:
=1；
END；
S:
=0；
FORI:
=1TO1000DO
④ ；
WRITELN（S）；READLN；
END.
答案：
①B[0]=0 ②S+D[I,B[I]];③B[J]=D[J,0]④S:
=S+G[I]
实例三（第八届全国青少年信息学奥林匹克联赛（NOIP2002）试题）
将n个整数分成k组（k≤n,要求每组不能为空）,显然这k个部分均可得到一个各自的和s1,s2,……sk,定义整数P为:
P=（S1-S2）2+（S1一S3）2+……+（S1-Sk）2+（s2-s3）2+……+（Sk-1-Sk）2
问题求解:
求出一种分法,使P为最小（若有多种方案仅记一种）
程序说明:
数组:
a[1],a[2],...A[N]存放原数
s[1],s[2],...,s[K]存放每个部分的和
b[1],b[2],...,b[N]穷举用临时空间
d[1],d[2],...,d[N]存放最佳方案
程序:
program exp4;
Var i,j,n,k :
integer;
a :
array [1..100] of integer;
b,d:
array [0..100] of integer;
s :
array[1..30] of integer;
begin
readln（n,k）;
for I:
=1 to n do read（a[I]）;
for I:
=0 to n do b[I]:
=1;
cmin:
=1000000;
while （b[0]=1） do
begin
for I:
=1 to k do ①
for I:
=1 to n do
②
sum:
=0;
for I:
=1 to k-1 do
for j:
= ③
sum:
=sum+（s[I]-s[j]）*（s[I]-s[j]）;
if ④ then
begin
cmin:
=sum;
for I:
=1 to n do d[I]:
=b[I];
end;
j:
=n;
while ⑤ do j:
=j-1;
b[j]:
=b[j]+1;
for I:
=j+1 to n do ⑥
end;
writeln（cmin）;
for I:
=1 to n do write（d[I]:
40）;
writeln;
end.
四、穷举算法的深入应用
实例一：
一根29厘米长的尺子,只允许在上面刻七个刻度,要能用它量出1～29厘米的各种长度。
试问这根尺的刻度应该怎样选择?
分析：
（1）从1～29厘米中选择七个刻度的所有可能情况数是:
C729=29·28·26·25·24·23=29·9·26·5·2·23=29·26·23·90=1560780
1·2·3·4·5·6·7
（2）对于每一组刻度的选择都需要判断是否能将1～29厘米的各种刻度量出来,例如选择的刻度为:
a1,a2,a3,a4,a5a,6,a7那么能量出的刻度为：
a1,29-a1;2
a2,a2-a1,29-a2;3
a3,a3-a1,a3-a2,29-a3;4
a4,a4-a1,a4-a2,a4-a3,29-a4;5
a5,a5-a1,a5-a2,a5-a3,a5-a4,29-a5;6
a6,a6-a1,a6-a2,a6-a3,a6-a4,a6-a5,29-a6;7
a7-a1,a7-a2,a7-a2,a7-a3,a7-a4,a7-a5,a7-a6,29-a7;8
共可量出2+3+4+5+6+7+8种刻度,即35种刻度,事实上其中有许多刻度是重复的,不可能复盖1～29。
例如：
取a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7为1,3,6,10,15,21,28
能量出的刻度为：
1,28
3,2,26
6,5,3,23
10,9,7,4,19
15,14,12,9,5,14
21,20,18,15,11,6,8
28,27,25,22,18,13,7,1
缺16,17,24（29即尺子长度）
如果找出了刻度a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7那么我们可以利用其对称性29-a1,29-a2,29-a3,29-a4,29-a5,29-a6,29-a7,也是一组解,所以求解过程中可仅考虑a1很显然要使1,28两种刻度能量出来,则在七个刻度就必须有1或28;这样就可设a1=1（或a1=28）。
本题就变成了只要在2～27中选取六个刻度问题了。
其刻度选择的数目为C626=26·25·24·23·22·21=26·5·23·11·7=230230
1·2·3·4·5·6
这样解的范围就从百万变成了十万的数量级,大大减少运行次数。
因此，我们在用穷举法求问题解时，应注意程序的优化，尽可能减少搜索时间。
{程序优化}
（3）为了判定七个刻度是否能够度量1～29的所有长度,可以用集合的方法,也可以用数组的0，1数据判断。
下面的程序使用了数组的0，1方法。
Programp12_2;
Constn=29;m=1;
Vara：
array[1..7]ofinteger;
b：
array[1..n]of0..1;{记录能量的刻度}
f：
Boolean;
I,j：
integer;
BEGIN
a[1]:
=m;
fora[2]:
=2ton-7do
fora[3]:
=a[2]+1ton-6do
fora[4]:
=a[3]+1ton-5do
fora[5]:
=a[4]+1ton-4do
fora[6]:
=a[5]+1ton-3do
fora[7]:
=a[6]+1ton-2do
begin
fori:
=1to29dob[i]:
=0;
fori:
=1TO7do
begin
b[a[i]]:
=1;b[n-a[i]]:
=1;b[n]:
=1;{初始化}
forj:
=i+1TO7dob[abs（a[j]-a[i]）]:
=1
end;
j:
=0;
fori;=1tondoj:
=j+b[i];
ifj=nthenbegin
fori:
=1to7dowrite（a[i]:
4）;
writeln;
end;
end;
end.
运行程序的结果:
当m=1时得出两组刻度
121418212427
141017222427
m=28时也可获得两组刻度
28257131925
28258111527
这两组刻度实际上是m=1的对称情况,所以问题的解实质上为两组结果。
如果调整n=30可以发现在这样的情况下程序无解,这说明取30cm长的尺子,若仍取七个刻度,要能量出1～30cm的各种长度,是不可能的。
实例二：
邮局发行一套票面有四种不同值的邮票，如果每封信所贴邮票张数不超过三枚，存在整数Ｒ，使得用不超过三枚的邮票，可以贴出连续的整数１、２、３，…，Ｒ来，找出这四种面值数，使得Ｒ值最大。
分析：
本题知道每封信邮票数的范围（<=3）,邮票有四种类型，编程找出能使面值最大邮票。
其算法是：
（1）面值不同的四种邮票，每封信所贴邮票不超过3张。
（2）用这四种邮票贴出连序的整数，并且使Ｒ值最大。
（3）用穷举法，找出所有符合条件的解。
（4）本题用集合的方法统计邮票的面值，提高判重的速度。
设四种邮票的面值分别为：
A,B,C,D，根据题意设：
A Programp12_3;
vara,b,c,d：
integer;
x,x0,x1,x2,x3,x4：
integer;
st1：
setof1．．100;
Functionnumber（a,b,c,d:
integer）：
integer;
varn1,n2,n3,n4,sum:
integer;
begin
st1:
=[];
forn1:
=0to3do｛每种邮票所取的张数｝
forn2:
=0to3-n1do
forn3:
=0to3-n1-n2do
forn4:
=0to3-n1-n2-n3do
begin
ifn1+n2+n3+n4<=3then
begin
sum:
=n1*a+n2*b+n3*c+n4*d;
｛计算信封的邮票面值｝
st1:
=st1+[sum]
end;
end;
sum:
=1;
whilesuminst1do
sum:
=sum+1;
number:
=sum-1;
end;{函数结束}
BEGIN{main}
a:
=1;x0:
=0;
forb:
=a+1to3*a+1do
forc:
=b+1to3*b+1do｛每种邮票的可取值的范围｝
ford:
=c+1to3*c+1do
begin
x:
=number（a,b,c,d）;｛调用函数求每封信的邮票总面值｝
ifx>x0then
begin
x0:
=x;x1:
=a;x2:
=b;x3:
=c;x4:
=d
｛保存最大面值邮票｝
write（x1：
5,x2：
5,x3：
5,x4：
5）;
writeln（‘‘:
10,'x0=',x0）;
end;
end;
end.
程序运行后，其输出结果是：
{解答结果有11组}
1234x0=12
1235x0=13
…….
13610x0=23
1478x0=24
【例题3】如图所示的8个格子中放入1～8八个数字，使得相邻的和对角线的数字之差不为1。
编程找出所有放法。
我们先不考虑后一条件，只考虑第一个条件，即把1～8八个数字放入8个格子中。
这是容易做到的，就是8个数字的全排列，共有8!
=40320种放法。
然后对这8!
个可行解用后一个条件加以检验，输出符合条件的解。
对于后一个条件中“相邻”的判断，可以建立一个邻接表来解决：
i│1234567891011121314
──┼──────────────────────
j1│11122233345567
2│23435646776878
表中表示哪两个格子是相邻的，link[i,1]和link[i,2]是相邻的格子的编号。
全排列的产生，可以用八重循环，也可以用专门的算法，程序留给同学们自己去完成。
利用穷举策略编制的程序，其运算量一般是很大的，因此如何提高算法效率是穷举算法一个很重要的问题。
一般应尽量减少可行解的个数，使得第二步的检验运算量尽可能地少。
例如对于例5-1，如何来优化算法呢?
如果注意到b3和b6两个格子，与它们“相邻”的格子有6个，也就是说，放入这两个格子中的数，必须和6个数不连续，仅可以和一个数是连续的，这样的数只有2个，即1和8。
这样，b1，b3，b6，b8；4个格子中数的放法仅有两种可能：
2、8、1、7和7、1、8、2。
而b2、b4、b5、b7四个格子中的数仅需在3～6四个数中选择。
经过上述优化，可行解仅有：
2×4！
＝48个，大大减少了计算量。
并且检验是否符合要求，也只需检查（1，2），（1，4），（2，5），（4，7），（5，8），（7，8）这6对数之差就可以了。
按改进的算法编制的PASCAL程序如下：
programexampleb；
usesCrt：
constlink：
array[1..6，1..2]ofinteger=
（（1,2）,（1,4）,（2,5）,（4,7）,（5,8）,（7,8））;
varb:
array[1..8]ofinteger;
procedureprint;
begin
writeln（'',b[1]:
2）;
writeln（b[2]:
2,b[3]:
2,b[4]:
2）;
writeln（b[5]:
2,b[6]:
2,b[7]:
2）;
writeln（'',b[8]）
end;
functionchoose:
boolean；
vari:
integer;
begin
choose:
=false;
fori:
=1to6do
ifabs（b[link[i,1]]-b[link[i,2]]）=1thenexit;
choose:
=true
end;
proceduretry;
begin
forb[2]:
=3to6do
forb[4]:
=3to6do
ifb[2]<>b[4]then
forb[5]:
=3to6do
if（b[5]<>b[2]）and（b[5]<>b[4]）then
begin
b[7]:
=18-b[2]-b[4]-b[5];
ifchoosethenprint;
end;
end;
{mainprogram}
begin
clrscr;
b[1]:
=2;b[3]:
=8;b[6]:
=1;b[8]:
=7;
try;
b[1]:
=7;b[3]:
=1;b[6]:
=8;b[8]:
=2;
try;readln
end.
上面优化算法的方法是尽可能减少可行解的数目，也称为“剪枝”，即把明显不符合条件的可行解尽可能地剪去，减少穷举的计算量。
本次作业：
一、问题描述：
FarmerJohn的奶牛们喜欢看书，并且FarmerJohn发现在他的奶牛们稍微看了些有关于自然科学的书时，会产出更多的牛奶。
他决定更新牛棚里的图书馆，把原廉价的小说换成算术和数学的课本。
不幸的是，有些新书掉到了泥浆里面，现在它们的ISBN号码很难分辨出来了。
ISBN（国际标准图书编号）是由十个阿拉伯数字组成的编码，用来唯一地标识一本书。
前九个阿拉伯数字描述这本书的一些信息，最后一个数字用来验证ISBN码是否正确。
要验证ISBN码的正确性，你要把第一个数字乘以十，你要把第二个数字乘以九，你要把第三个数字乘以八……直到最后一个数字乘上一，再把这些积累加起来。
如果所得的和可以被11整除的话，那么这就是一个合法的ISBN码。
比如说0201103311是一个合法的ISBN，因为
10*0+9*2+8*0+7*1+6*1+5*0+4*3+3*3+2*1+1*1=55
前九个数字都在0到9之间。
有时候，最后一个数字需要取到10，那么我们就把最后一个数字写成大写X（这时就不叫数字了，呵呵）。
比如156881111X也是一个合法的ISBN码。
你的任务就是在给你丢失了一个数字的ISBN码之后，确定那个丢失的数字。
丢失数字的地方用？
表示。
输入格式：
总共1行，一个十个数字组成的ISBN码，其中包含用？
表示的一个丢失的数字。
输出格式：
总共1行：
就是那个丢失的数码（0..9或大写X）。
如果标有的?
的位置上没有数字可以使之成为一个合法的ISBN码的话，就输出-1。
二、求数组元素[问题描述]
给出任意一个自然数N（N≤100），输出满足下列条件的数组元素及不同方案数，条件是：
<1>数组元素由各不相同自然数组成；
<2>数组元素的最后一个元素必为N；
<3>每一个数组元素都不小于它前面一个元素的平方（第一个元素除外）；
<4>数组中包含的元素个数可不相同，但至少要有一个元素。
例如：
N=1输入：
N（不用判错）
数组
（1）输出：
一个（不同方案数）
K=1（以K记录不同的方案数）
又如:
N=5
数组（5）
（1，5）
（1，2，5）
（2，5）
K=4
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