版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案解析版.docx

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版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合学案解析版

§1.1　集　合

最新考纲

考情考向分析

1.了解集合、元素的含义及其关系.

2.理解集合的表示法.

3.了解集合之间的包含、相等关系.

4.理解全集、空集、子集的含义.

5.会求简单集合间的并集、交集.

6.理解补集的含义并会求补集.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B

（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB

（或BA）

集合相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

概念方法微思考

1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．

提示　2n,2n－1.

2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？

提示　A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

题组二　教材改编

2．[P11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________.

答案　{x|x是直角}

3．[P44A组T5]已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

答案　2

解析　集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点

，

，则A∩B中有两个元素．

题组三　易错自纠

4．已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（　　）

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3或0

答案　B

解析　A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝

，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.

5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（　　）

A．5B．4C．3D．2

答案　C

解析　当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.

6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

答案　（3，＋∞）

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，

∵A⊆B，B＝{x|x3.

7．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　0或

解析　若a＝0，则A＝

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝

.

综上，a的值为0或

.

题型一　集合的含义

1．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　B

解析　B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．

2．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；

若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；

若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；

当a＝－1时，不符合题意．

综上可知，a＝0或a＝1.

思维升华

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

题型二　集合的基本关系

例1

（1）已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　）

A.

或－

B．－

或

C.

或－

或0D．－

或

或0

答案　D

解析　由题意知，A＝{2，－3}．

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝

，

由B⊆A，可得

＝－3或

＝2，∴a＝－

或a＝

.

综上可知，a的值为－

或

或0.

（2）已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x

答案　[2018，＋∞）

解析　由x2－2019x＋2018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2018.

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

思维升华

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

跟踪训练1

（1）（2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试）已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2－（a＋1）x＋a＝0，a∈R}，若A＝B，则a等于（　　）

A．1B．2C．－1D．－2

答案　B

解析　由B＝{1，a}＝{1,2}，得a＝2，故选B.

（2）已知集合A＝

，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________________________．

答案　

∪

解析　因为y＝

2＋

，x∈

，

所以y∈

.又因为A⊆B，所以1－m2≤

，

解得m≥

或m≤－

.

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

例2

（1）（2017·浙江）已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于（　　）

A．（－1,2）B．（0,1）

C．（－1,0）D．（1,2）

答案　A

解析　∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，

∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．

故选A.

（2）（2018·浙江）已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA等于（　　）

A．∅B．{1,3}

C．{2,4,5}D．{1,2,3,4,5}

答案　C

解析　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，

∴∁UA＝{2,4,5}．

故选C.

命题点2　利用集合的运算求参数

例3

（1）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

答案　D

解析　因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

（2）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．

答案　（－∞，－1]∪{1}

解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}．

思维升华

（1）集合基本运算的求解策略

①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算．

②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．

③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．

（2）集合的交、并、补运算口诀

交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．

跟踪训练2

（1）（2018·浙江“七彩阳光”联盟联考）已知全集为R，集合A＝{y|y＝3x，x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∪B＝________，A∩（∁RB）＝________.

答案　（0,4]　（0,2）

解析　因为A＝{y|y＝3x，x≤1}＝{y|0＜y≤3}，

B＝{x|x2－6x＋8≤0}＝{x|2≤x≤4}，

所以A∪B＝（0,4]．又因为∁RB＝{x|x＜2或x＞4}，

所以A∩（∁RB）＝（0,2）．

（2）已知集合A＝[1，＋∞），B＝

，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B.

C.

D．（1，＋∞）

答案　A

解析　因为A∩B≠∅，所以

解得a≥1，故选A.

题型四　集合的新定义问题

例4

（1）定义集合的商集运算为

＝

.已知集合A＝{2,4,6}，B＝

，则集合

∪B中的元素个数为（　　）

A．6B．7C．8D．9

答案　B

解析　由题意知，B＝{0,1,2}，

＝

，则

∪B＝

，共有7个元素，故选B.

（2）如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.

答案　{0,6}

解析　由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

跟踪训练3

（1）定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于（　　）

A．{x|3

C．{x|3

答案　B

解析　A＝{x|1

（2）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案　6

解析　依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

1．（2018·浙江嘉兴一中适应性考试）若集合A＝{1,2,3}，B＝{（x，y）|x＋y－4＞0，x，y∈A}，则集合B中的元素个数为（　　）

A．9B．6C．4D．3

答案　D

解析　由于x，y∈A的数对共C

C

＝9对，其中（2,3），（3,2），（3,3）满足x＋y－4＞0，所以集合B中的元素个数为3，故选D.

2．（2018·绍兴质检）已知集合A＝{x∈R||x|＜2}，B＝{x∈R|x＋1≥0}，则A∩B等于（　　）

A．（－2,1]B．[－1,2）

C．[－1，＋∞）D．（－2，＋∞）

答案　B

解析　由题意得集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≥－1}，所以A∩B＝{x|－1≤x＜2}，故选B.

3．已知集合A＝

，则满足A∪B＝{－1,0,1}的集合B的个数是（　　）

A．2B．3C．4D．9

答案　C

解析　解方程x－

＝0，得x＝1或x＝－1，所以A＝{1，－1}，又A∪B＝{－1,0,1}，所以B＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B共有4个．

4．设集合A＝{x|－x2－x＋2＜0}，B＝{x|2x－5＞0}，则集合A与集合B的关系是（　　）

A．B⊆AB．B⊇A

C．B∈AD．A∈B

答案　A

解析　因为A＝{x|－x2－x＋2＜0}＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|2x－5＞0}＝

，所以B⊆A，故选A.

5．（2018·浙江杭州第二中学月考）若集合A＝{x|

＝

，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为（　　）

A．2B．－2

C．－1或2D．2或

答案　A

解析　由集合A易得

所以A＝{2}，而A⊆B，则m＝2，故选A.

6．（2019·宁波调研）已知集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2＋2x－3≤0}，则M∩N等于（　　）

A．{x|－2≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}

C．{x|－1≤x≤2}D．{x|－3≤x≤2}

答案　A

解析　由题意得集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|－3≤x≤1}，则M∩N＝{x|－2≤x≤1}，故选A.

7．（2018·温州十校联考）已知集合P＝{x|y＝

}，Q＝{x|y＝ln（x＋1）}，则P∩Q等于（　　）

A．{x|－1≤x≤2}B．{x|－1≤x＜2}

C．{x|－1＜x≤2}D．{x|－1＜x＜2}

答案　C

解析　由题意得集合P＝{x|x≤2}，Q＝{x|x＞－1}，所以P∩Q＝{x|－1＜x≤2}，故选C.

8．（2018·浙江金华一中月考）已知集合A＝

，B＝{y|y＝ex＋1，x≤0}，则下列结论正确的是（　　）

A．A＝BB．A∪B＝R

C．A∩（∁RB）＝∅D．B∩（∁RA）＝∅

答案　D

解析　由题意得集合A＝{y|0＜y≤2}，B＝{y|1＜y≤2}，所以∁RA＝{y|y≤0或y＞2}，所以B∩

（∁RA）＝∅，故选D.

9．（2018·金华十校模拟）已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩（∁UT）＝________，集合S共有________个子集．

答案　{1,5}　8

解析　由题意可得∁UT＝{1,4,5}，则S∩（∁UT）＝{1,5}．集合S的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．

10．（2018·浙江名校协作体联考）已知集合U＝{－1,1,2,3,4,5}，且集合A＝{－1,1,3}与集合B＝{a＋2，a2＋4}满足A∩B＝{3}，则实数a＝________，A∩（∁UB）＝________.

答案　1　{－1,1}

解析　因为A∩B＝{3}，所以3∈B，当a＋2＝3时，a＝1，此时a2＋4＝5，集合B＝{3,5}，符合题意；当a2＋4＝3时，a无实数解，综上所述，a＝1，此时∁UB＝{－1,1,2,4}，则A∩

（∁UB）＝{－1,1}．

11．（2019·宁波模拟）已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，则B＝________.

答案　{0,2,4,6}

解析　由A∩（∁UB）＝{1,3,5}得，元素1,3,5不在集合B内．若元素0不在集合B内，则由A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，得元素0在集合A内，则0∈A∩（∁UB），与题意不符，所以元素0在集合B内，同理可得元素2,4,6也在集合B内，所以B＝{0,2,4,6}．

12．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案　[1，＋∞）

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13．已知集合A＝{x|1

A.

B.

C．（－∞，0]D．[0，＋∞）

答案　D

解析　∵A∩B＝∅，

①若当2m≥1－m，即m≥

时，B＝∅，符合题意；

②若当2m<1－m，即m<

时，

需满足

或

解得0≤m<

或∅，即0≤m<

.

综上，实数m的取值范围是[0，＋∞）．

14．若集合A具有以下性质：

（1）0∈A,1∈A；

（2）x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，

∈A，则称集合A是“完美集”，给出以下结论：

①集合B＝{－1,0,1}是“完美集”；

②有理数集Q是“完美集”；

③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A；

④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；

⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则

∈A.

其中正确结论的序号是____________．

答案　②③④⑤

解析　①－1∈B,1∈B，但是－1－1＝－2∉B，B不是“完美集”；

②有理数集满足“完美集”的定义；

③0∈A，x，y∈A,0－y＝－y∈A，那么x－（－y）＝x＋y∈A；

④对任意一个“完美集”A，任取x，y∈A，若x，y中有0或1时，显然xy∈A，若x，y均不为0,1，而

＝

＋

＝

＋

，x，x－1∈A，那么

－

＝

∈A，所以x（x－1）∈A，进而x（x－1）＋x＝x2∈A.结合前面的算式，知xy∈A；

⑤x，y∈A，若x≠0，那么

∈A，那么由④得

∈A.

故填②③④⑤.

15．在n元数集S＝{a1，a2，…，an}中，设x（S）＝

，若S的非空子集A满足x（A）＝x（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fS（k）．已知集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，T＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，则下列说法错误的是（　　）

A．fS（4）＝fS（5）B．fS（4）＝fT（5）

C．fS

（1）＋fS（3）＝fT（5）D．fS

（2）＋fS（3）＝fT（4）

答案　C

解析　由题意知，fT（k）＝fS（k），k＝1,2，…，9.再由对称性知fT（k）＝fT（9－k），k＝1,2，…，9，故A，B正确．现在仅考虑集合T，利用列举法，当n＝1时，“平均子集”A：

{0}，故fT

（1）＝1；当n＝2时，“平均子集”A可取{－k，k}，其中k＝1,2,3,4，故fT

（2）＝4；当n＝3时，“平均子集”A可取{－4,0,4}，{－4,1,3}，{－3，－1,4}，{－3,0,3}，{－3,1,2}，{－2，－1,3}，{－2,0,2}，{－1,0,1}，故fT（3）＝8；当n＝4时，“平均子集”A可取{－4，－3,3,4}，{－4，－2,2,4}，{－4，－1,1,4}，{－4，－1,2,3}，{－4，0,1,3}，{－3，－2,1,4}，{－3，－2,2,3}，{－3，－1,1,3}，{－3，－1,0,4}，{－3,0,1,2}，{－2，－1,0,3}，{－2，－1,1,2}，故fT（4）＝12.利用对称性知，fT（5）＝12.所以D正确、C错误，故选C.