知识讲解+例题解析+强化训练.docx
《知识讲解+例题解析+强化训练.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《知识讲解+例题解析+强化训练.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
知识讲解+例题解析+强化训练
知识讲解+例题解析+强化训练
方差与频率分布
◆知识讲解
1.方差的定义
在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数
的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差.通常用“S2”表示,即S2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2].
2.方差的计算
(1)基本公式
S2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2]
(2)简化计算公式(Ⅰ)
S2=
[(x12+x22+…+xn2)-n
2],也可写成S2=
(x12+x22+…+xn2)-
2,此公式的记忆方法是:
方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.
(3)简化计算公式(Ⅱ)
S2=
[(x`12+x`22+…+x`n2)-nx
`2].
当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组数据x`1=x1-a,x`2=x2-a,…x`n=xn-a,那么S2=
[(x`12+x`22+…+x`n2)-n
`2],也可写成S2=
(x`12+x`22+…+x`n2)-
`2.记忆方法是:
方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.
3.标准差的定义和计算
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,用“S”表示,即
S=
=
4.方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况.
方差较大的数据波动较大,方差较小的数据波动较小.
5.频率分布的意义
前面学习的平均数与方差,反映了样本和总体的两个特征:
平均水平和波动大小.但是在许多问题中,只知道这些还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布.
6.研究频率分布的一般步骤及有关概念
(1)研究样本的频率分布的一般步骤:
①计算极差(最大值与最小值的差);②决定组距与组数;③决定分点;④列频率分布表;⑤画出频率分布直方图.
(2)频率分布的有关概念:
①极差:
最大值与最小值的差;
②频数:
落在各个小组内的数据的个数;
③频率:
每一小组的频数与数据总体(样本容量n)的比值叫做这一小组的频率.
(3)几个重要的结论:
①各小组的频数之和等于数据总数;
②各小组的频率之和等于1;
③频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,各小长方形面积之和等于1;
④各小长方形的高与该组频数成正比.
◆例题解析
例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下(单位:
分)
甲组:
86828785乙组:
85818589
(1)分别计算这两组数据的平均数;
(2)分别计算这两组数据的方差;
(3)哪个学习小组学生的成绩比较整齐?
【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差.
【解答】
(1)
甲=
(6+2+7+5)+80=85,
乙=
(5+1+5+9)+80=85.
(2)S甲2=
[(86-85)2+(82-85)2+(87-85)2+(85-85)2]=3.5,S乙2
=
[(85-85)2+(81-85)2+(85-85)2+(89-85)2]=8.
(3)∵S乙2>S甲2,∴甲组学习成绩较稳定.
【点评】方差是反映一组数据波动大小的量.
例2为了迎接全市体育中考,某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试,并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩(单位:
m,精确到0.01m)作为样本进行分析,绘制了如图所示的频率分布直方图(每组含最低值,不含最高值).已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2:
4:
6:
5:
3,其中1.80~2.00这一小组的频数为8,请根据有关信息解答下列问题:
(1)这次调查的样本容量为______,2.40~2.60这一小组的频率为_____.
(2)请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内,并说明理由;
(3)样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米?
(4)请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上(包括2.00m)的约有多少人?
【分析】样本容量是样本数据,不带单位,确定中位数时,首先将样本数据按大小排序后再求出,然后分析落在哪个小组.
【解答】
(1)由于1.80~2.00小组的频数为8,占总份数中的4份,总份数是20分,故样本容量为:
8÷
=40.2.40~2.60这个小组的频率为3÷20=0.15.
(2)由于样本容量是40,则中位数是第20人和第21人成绩的平均数,而第20人和第21人的成绩均在2.00~2.20这个小组,则中位数落在2.00~2.20这个小组.
(3)因为第一组到第五组人数依次为4人,8人,12人,10人,6人,则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m.
(4)初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有
×500=350(人).
【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1,掌握它是解题的关键.
◆强化训练
一、填空题
1.(2005,荆门市)已知数据:
1,2,1,0,-1,-2,0,-1,这组数据的方差为______.
2.甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶,从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒,得到它们的实际质量的方差如下表所示.根据表中数据,可以认为三台包装机中,______包装机包装的茶叶质量稳定.
甲包装机
乙包装机
丙包装机
方差/g2
31.96
7.96
16.32
3.2005年沈阳市春季房交会期间,某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查,共发放1000份调查问卷,并全部收回.根据调查问卷,将消费者年收入情况整理后,制成表1;将消费者打算购买住房的面积的情况整理后,制成表2,并作出部分频率分布直方图(如图).
表1被调查的消费者年收入情况
年收入/万元
1.2
1.8
3.0
5.0
10.0
被调查的消费者数/人
200
500
200
70
30
表2被调查的消费者打算购买住房的面积的情况
分组/m2
频数
频率
40.5~60.5
0.04
60.5~80.5
0.12
80.5~100.5
0.36
100.5~120.5
120.5~140.5
0.20
140.5~160.5
0.04
合计
1000
1.00
注:
住房面积取整数
请你根据以上信息,回答下列问题:
(1)根据表1可得,被调查的消费者平均年收入为______万元;被调查的消费者年收入的中位数是______万元;在平均数,中位数这两个数中,更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平;
(2)根据表2可得,打算购买100.5~120.5m2房子的人数是_____人;打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是____;
(3)在下图中补全这个频率分布直方图.
4.青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注,某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况,从中抽查了一部分学生视力,通过数据处理,得到如下频率分布表和频率分布直方图.
分组
频数
频率
3.95~4.25
2
0.04
4.25~4.55
6
0.12
4.55~4.85
25
4.85~5.15
0.04
5.15~5.45
2
1.00
合计
请你根据给出的图表回答:
(1)填写频率分布表中未完成部分的数据.
(2)在这个问题中,总体是________,样本容量是________.
(3)在频率分布直方图中,梯形ABCD的面积是______.
(4)请你用样本估计总体,可以得到哪些信息(写一条即可):
________.
5.甲,乙两种产品进行对比试验,得知乙产品比甲产品的性能更稳定,如果甲,乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2,则它们的方差的大小关系是_______.
6.已知:
一组数据-1,x,1,2,0的平均数是0,这组数据的方差是_____.
7.若样本数据1,2,3,2的平均数是a,中位数是b,众数是c,则数据a,b,c的标准差是_______.
8.若已知一组数据:
x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为S2,那么另一组数据:
3x1-2,3x2-2,…,3xn-2的平均数为______,方差为______.
二、选择题
9.在一次射击练习中,甲,乙两人前5次射击的成绩分别为(单位:
环)
甲:
10810107乙:
7109910
则这次练习中,甲,乙两人方差的大小是()
A.S甲2>S乙2B.S甲2
10.已知甲,乙两组数据的平均数相等,若甲组数据的方差S甲2=0.055,乙组数据的方差S乙2=0.105,则()
A.甲组数据比乙组数据波动大B.乙组数据比甲组数据波动大
C.甲组数据与乙组数据的波动一样大D.甲,乙两组数据的波动大小不能比较
11.(2005,宜昌市)衡量样本和总体的波动大小的特征数是()
A.平均数B.众数C.标准差D.中位数
12.某少年军校准备从甲,乙,丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛,他们在选拔比赛中,射靶十次的平均环数是
甲=
乙=
丙=8.3,方差分别是S甲2=1.5,S乙2=2.8,S丙2=3.2.那么,根据以上提供的信息,你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是()
A.甲B.乙C.丙D.不能确定
13.(2005,广州市)甲,乙两人在相同情况下,各射靶10次,两人命中环数的平均数是
甲=
乙=7,方差S甲2=1.0,S乙2=1.2,则射击成绩较稳定的是()
A.甲B.乙C.一样D.不能确定
14.为参加电脑汉字输入比赛,甲和乙两位同学进行了6次测试,成绩如表所示:
甲和乙两位同学6次测试成绩(每分钟输入汉字个数)及部分统计数据表
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
平均数
方差
甲
134
137
136
136
137
136
136
1.0
乙
135
136
136
137
136
136
136
有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断,其中说法正确的是()
A.甲的方差大于乙的方差,所以甲的成绩比较稳定
B.甲的方差小于乙的方差,所以甲的成绩比较稳定
C.乙的方差小于甲的方差,所以乙的成绩比较稳定
D.乙的方差大于甲的方差,所以乙的成绩比较稳定
15.在一次科技知识竞赛中,两组学生成绩统计如下表,通过计算可知两组的方差为S甲2=172,S乙2=256.下列说法:
①两组的平均数相同;②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定;③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数;④两组成绩的中位数均为80,但成绩≥80的人数甲组比乙组多,从中位数来看,甲组成绩总体比乙组好;⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多,高分段乙组成绩比甲组好.其中正确的共有()
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
A.2种B.3种C.4种D.5种
16.如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数,那么这组数据的()
A.平均数和方差都不变B.平均数不变,方差改变
C.平均数改变,方差不变D.平均和方差都改变
三、解答题
17.某校初三
(1)班,三
(2)班各有49名学生,两班一次数学测验中的成绩统计如下表:
班级
平均分
众数
中位数
标准差
初三
(1)班
79
70
87
19.8
初三
(2)班
79
70
79
5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析:
初三
(1)班的小刚回家对妈妈说:
“昨天的数学测验,全班平均79分,得70分的人最多,我得了85分,在班上可算上游!
”
(2)请你根据表中数据,对这两个班的测验情况进行简要分析,并提出教学建议.
18.武汉市教育局在中学开展的“创新素质实践行”中,进行了小论文的评比.各校交论文的时间为5月1日至30日,评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图,已知从左到右各长方形的高的比为2:
3:
4:
6:
4:
1,第二组的频数为18.请回答下列问题:
(1)本次活动共有多少篇论文参加评比?
(2)哪组上交的论文数量最多?
有多少篇?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有20篇,4篇论文获奖,问这两组哪组获奖率较高?
19.(2008,金华)九(3)班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛活动,老师将对学生的成绩按10分的组距分段,统计每个分数段出现的频数,填入频数分布表,并绘制频数的分布直方图.
九(3)班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表
分数段/分
49.5~59.5
59.5~69.5
69.5~79.5
79.5~89.5
89.5~99.5
组中值/分
54.5
64.5
74.5
84.5
94.5
频数
a
9
10
14
5
频率
0.050
0.225
0.250
0.350
b
(1)频数分布表中a=_____,b=___;
(2)把频数分布直方图补充完整;
(3)学校设定成绩在69.5分以上的学生将获得一等奖或二等奖,一等奖奖励作业本15本及奖金50元,二等奖奖励作业本10本及奖金30元.已知这部分学生共获得作业本335本,请你求出他们共获得的奖金.
九(3)班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布直方图
20.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图6-28所示.
(1)请填写下表:
平均数
方差
中位数
命中8环以上次数
甲
7
1.2
1
乙
5.4
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.
①从平均数和方差相结合看;
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
21.在“3.15”消费者权益日的活动中,对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查.如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度(以下称:
用户满意度),分为很不满意,不满意,较满意,很满意四个等级,并依次为1分,2分,3分,4分.
(1)请问:
甲商场的用户满意度分数的众数为_____分;乙商品的用户满意度分数的众数为_______分.
(2)分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分.(精确到0.01)
(3)请你根据所学统计知识,判断哪家商场的用户满意度较高,并简要说明理由.
参考答案
1.
2.乙
3.
(1)2.39;1.8;中位数
(2)240;52%(3)略
4.
(1)第二列从上至下两空分别填15,50;第三列从上至下两空分别填0.5,0.3
(2)500名学生的视力情况;50(3)0.8(4)该校初中毕业年级学生视力在4.55~4.85的人数最多,约250人;或该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4.25以下的人数基本相等,各有20人左右
5.S乙2
-29S2
9.A10.B11.C12.A13.A14.C15.D16.C
17.
(1)从平均数,众数和中位数角度分析;
(2)平均分,众数均相同,但三
(1)班的成绩中位数高,表示三
(1)班成绩比三
(2)班好,但三
(2)班标准差比三
(1)班小,表示三
(2)班学生成绩较整齐.
18.
(1)本次活动共有120篇文章参评
(2)第四组上交的论文数量最多,有36篇
(3)第六组获奖率最高.
19.
(1)20.125
(2)图略
(3)由题中表得,有29名同学获得一等奖或二等奖.
设有x名同学获得一等奖,则有(29-x)名同学获得二等奖,根据题意得
15x+10(29-x)=335.
解得x=9.
∴50x+30(29-x)=1050,
所以他们得到的奖金是1050元.
20.
(1)如下表:
平均数
方差
中位数
命中8环以上次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①∵平均数相同,S甲2
∴甲成绩比乙稳定.
②∵平均数相同,甲的中位数<乙的中位数.
∴乙的成绩比甲好些.
③∵平均数相同,命中9环以上的次数甲比乙少.
∴乙的成绩比甲好些.
④甲成绩在平均数上下波动,而乙处于上升势头,从第4次以后就没有比甲少的情况发生,乙较有潜力.
21.
(1)33
(2)甲商场抽查用户数为:
500+1000+2000+1000=4500(户),
乙商场抽查用户数为:
100+900+2200+1300=4500(户).
所以甲商场满意度分数的平均值
=
≈2.78(分).
乙商场满意度分数的平均值
=
≈3.04(分)
答:
甲,乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分,3.04分.
(3)因为乙商场用户满意度分数的平均值较高(或较满意和很满意的人数较多),所以乙商场的用户满意度较多.