故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分]
（2）设可在n年后脱贫，
依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．[12分]
解函数应用题的一般程序：
第一步：
审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：
建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：
解模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：
还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．
第五步：
反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
温馨提醒
（1）本题经过了三次建模：
①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式．
（2）本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．
（3）在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.
方法与技巧
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；
2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
3．解函数应用题的四个步骤：
①审题；②建模；③解模；④还原．
失误与防范
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
A组 专项基础训练
一、选择题
1．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（ ）
答案 B
解析 根据题意得解析式为h＝20－5t（0≤t≤4），其图象为B.
2．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量（吨）为
（ ）
A．240B．200C．180D．160
答案 B
解析 依题意，得每吨的成本为＝＋－30，
则≥2－30＝10，
当且仅当＝，即x＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.
3．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为（ ）
A．a12－1B．（1＋a）12－1
C．aD．a－1
答案 B
解析 不妨设第一年8月份的产值为b，则9月份的产值为b（1＋a），10月份的产值为b（1＋a）2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b（1＋a）12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝（1＋a）12－1.
4.
某电信公司推出两种手机收费方式：
A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差（ ）
A．10元B．20元
C．30元D.元
答案 A
解析 设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，
t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
5.
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为（ ）
A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14
答案 A
解析 由三角形相似得＝，得x＝（24－y），
∴S＝xy＝－（y－12）2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
二、填空题
6．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案 16
解析 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y＝ae－bt＝a，
e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.
7.
A、B两只船分别从在东西方向上相距145km的甲乙两地开出．A
从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40km/h，B的速度是16km/h，经过________小时，AB间的距离最短．
答案
解析 设经过xh，A、B相距为ykm，
则y＝（0≤x≤），求得函数的最小值时x的值为.
8．某市出租车收费标准如下：
起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
答案 9
解析 设出租车行驶xkm时，付费y元，
则y＝，
由y＝22.6，解得x＝9.
三、解答题
9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x－0.4）元成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？
[收益＝用电量×（实际电价－成本价）]
解
（1）∵y与（x－0.4）成反比例，∴设y＝（k≠0）．
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝，k＝0.2.
∴y＝＝，
即y与x之间的函数关系式为y＝.
（2）根据题意，得（1＋）·（x－0.3）＝1×（0.8－0.3）×（1＋20%）．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
∵x的取值范围是0.55～0.75，
故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴x＝0.6.
∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：
千米/时）是车流密度x（单位：
辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：
当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：
辆/时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）
解
（1）由题意，当0≤x≤20时，v（x）＝60；
当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b，
再由已知得 解得
故函数v（x）的表达式为
v（x）＝
（2）依题意并由
（1）可得
f（x）＝
当0≤x≤20时，f（x）为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以当x＝100时，f（x）在区间（20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．
B组 专项能力提升
1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停（每次上涨10%），又经历了n次跌停（每次下跌10%），则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A．略有盈利B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况
答案 B
解析 设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a（1＋10%）n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×（1－10%）n＝a×1.1n×0.9n＝a×（1.1×0.9）n＝0.99n·a2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：
顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为
y＝
若y＝30元，则他购物实际所付金额为________元．
答案 1350
解析 若x＝1300元，则y＝5%（1300－800）＝25（元）<30（元），因此x>1300.
∴由10%（x－1300）＋25＝30，得x＝1350（元）．
3．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：
当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．
答案 4
解析 设要同时开放x个窗口才能满足
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