东北师大附属中学高三第一轮复习导学案函数的图象.docx

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东北师大附属中学高三第一轮复习导学案函数的图象

函数的图象（教案）

一、知识梳理：

函数的图象是函数的直观表达，形象地显示了函数的性质，借助函数的图象，我们可以方便地研究函数的性质，加深对函数的理解和认识，而且函数的图象是运用“数形结合”思想解决一些综合问题的有力工具，它一方面能启发我们发现解题思路，另一方面能够简化解题过程。

（一）、作图象

作函数的图象通常有以下两种办法：

（1）、描点法：

其步骤

①、确定函数的定义域。

②、化简函数的表达式。

③、列表。

④、描点。

⑤、连线。

（2）、图象的变换法：

主要有以下四种形式：

①、平移变化：

（a）左右平移：

（>0）的图象可由的图象向左或向右平移a个单位得到；（b）上下平移：

（>0）的图象可由的图象向上或向下平移a个单位得到。

（c）的图象按向量

②、对称变换：

主要有：

的图象与的图象关于轴对称；

的图象与的图象关于轴对称；

的图象与的图象关于对称。

③、伸缩变换：

主要有：

（a）、的图象可将的图象上每点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍而得到；

（b）、的图象可将的图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍而得到；

④、翻折变换：

主要有：

（a）、图象可将的图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折，x轴及其上方的图象保持不变；

（b）、图象是先画出在y轴及右侧的图象再将y轴右侧的图象以y轴为对称轴翻折到左侧而得到左边的图象（右侧部分保持不动）；

（二）、识图象

对于给定的函数的图象，要能从图象的左右上下分布范围、变化趋势，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质；

（三）、用图象

函数的图象形象对显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题图径、获得问题结果的重要工具。

（四）、图象对称性的证明

证明函数的图象的地称性，即证明图象上任意一点关于地称中心（或对称轴）对称点仍在图象上；有关对称问题有以下三个重要结论：

（1）若=对于定义域内任意x都成立，则函数的图象关于直线x=成轴对称图形；

（2）若的图象关于直线x=m及x=n对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期；

（3）若的图象关于点（m，0）（n，0）对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期。

二、题型探究

探究一：

应用函数的性质作函数的图象

例1：

作出下列函数的图象

（1）、f（x）=|x+2|（x-1）

（2）、f（x）=|

（3）、f（x）=

（4）、f（x）=

（5）、f（x）=sin|x|

（6）、f（x）=|lnx|

（7）、f（x）=ln|x+1|

（8）、f（x）=||-3

（9）、f（x）=

（10）、f（x）=f（x）=

（11）、f（x）=|x+1|+|x-1|f（x）=|x+1|-|x-1|

（12）、f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数）

探究二：

利用数形结合的思想解题

例2：

【2014天津高考理第14题】已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．

【答案】．

例3：

函数的图象和函数的图象的交点的个数是（C）

（A）、1（B）、2（C）、3（D）、4

例4：

函数f（x）=lo（）（a>0,a）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（D）

（A）、（B）、（C）、（D）、

例5：

设函数y=f（x）的图象关于直线x=0及直线x=1对称，且x时，f（x）=，则=（B）

A、B、C、D、

例6：

已知函数f（x）=,将y=f（x）的图象向左平移一个单位，再将图象所有的点横标坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象.

（1）、求y=g（x）的定义域；

（2）、令F（x）=f（x-1）-g（x），求F（x）值域。

解:

y=g（x）=,所以定义域为{x|x};F（x）=-=,以u=，u0，]，所以值域为（-，-3]

三、方法提升：

函数的图象是研究函数性质的重要工具，要做到会用描点法做图，会通过函数的图象变换得到函数的图象，会观察图象得到函数的性质，比如单调性，对称性，通过个别点的函数值推导系数的范围，通过导数图象估计原函数图象等等，能够利用函数图象解决一些数形结合的问题。

四、思想感悟：

五、课时作业

函数的图象

一、选择题：

（本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．）

1．【2014山东高考理第8题】已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】

【解析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于之间时，符合题意，故选.

考点：

函数与方程，函数的图象.

2．为了得到函数y＝3×x的图象，可以把函数y＝x的图象（D）

A．向左平移3个单位长度　B．向右平移3个单位长度

C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度

解析：

y＝3×x＝－1·x＝x－1，故它的图象是把函数y＝x的图象向右平移1个单位长度得到的．答案：

D

3．给出四个函数，分别满足①f（x＋y）＝f（x）＋f（y），②g（x＋y）＝g（x）·g（y），③h（x·y）＝h（x）＋h（y），④m（x·y）＝m（x）·m（y）．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是（D）

A．①甲，②乙，③丙，④丁B.①乙，②丙，③甲，④丁

C.①丙，②甲，③乙，④丁D.①丁，②甲，③乙，④丙

解析：

图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y＝x的图象，满足①.答案：

D

4．函数y＝f（x）的曲线如图

（1）所示，那么函数y＝f（2－x）的曲线是图

（2）中的（C）

（1）

（2）

解析：

把y＝f（x）的图象向左平移2个单位得到y＝f（x＋2）的图象，再作关于y轴对称的变换得到y＝f（－x＋2）＝f（2－x）的图象，故选C.答案：

C

5．函数f（x）＝－x的图象关于（C　）

A．y轴对称　　　　　B．直线y＝－xC．坐标原点对称D．直线y＝x

解析：

∵f（x）＝－x，∴f（－x）＝－＋x＝－＝－f（x）．

∴f（x）是一个奇函数．∴f（x）的图象关于坐标原点对称．答案：

C

6．已知lga＋lgb＝0，函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx的图象可能是（　　）

解析：

∵lga＋lgb＝0，∴lgab＝0，ab＝1，∴b＝，∴g（x）＝－logbx＝logax，∴函数f（x）与g（x）互为反函数，图象关于直线y＝x对称，故正确答案是B.

二、填空题：

（本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．）

7．已知下列曲线：

以下编号为①②③④的四个方程：

①－＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.

请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．

解析：

按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．

答案：

④②①③

8．[2014·西安五校联考]已知最小正周期为2的函数y＝f（x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x2，则函数y＝f（x）（x∈R）的图象与y＝|log5x|的图象的交点个数为________．

解析：

由下图象可知有5个交点．

答案：

5个

9．设函数f（x）定义域为R，则下列命题中①y＝f（x）是偶函数，则y＝f（x＋2）的图象关于y轴对称；②若y＝f（x＋2）是偶函数，则y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称；③若f（x－2）＝f（2－x），y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称；④y＝f（x－2）和y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称．其中正确的命题序号是________（填上所有正确命题的序号）．

解析：

对于①，y＝f（x＋2）关于x＝－2对称；对于③，当f（2＋x）＝f（2－x）时，f（x）的图象关于x＝2对称，而当f（2－x）＝f（x－2）时，则应关于x＝0对称．

答案：

②④

10．（2013·青岛模拟题）已知函数f（x）＝2－x2，g（x）＝x.若f（x）*g（x）＝min{f（x），g（x）}，那么f（x）*g（x）的最大值是________．（注：

min表示最小值）

解析：

画出示意图（如图）．

f（x）*g（x）＝

其最大值为1.答案：

1

三、解答题：

（本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．）

11．已知函数f（x）定义在[－2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象；

（1）y＝f（x＋1）；

（2）y＝f（x）＋1；（3）y＝f（－x）；（4）y＝－f（x）；

（5）y＝|f（x）|；（6）y＝f（|x|）；（7）y＝2f（x）；（8）y＝f（2x）．

解：

利用图象变换技巧进行平移、伸缩、对称、翻折即可．

（1）将函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象向左平移1个单位得到y＝f（x＋1），x∈[－3,1]的图象，如图①.

（2）将函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象向上平移1个单位即得到y＝f（x）＋1，x∈[－2,2]的图象，如图②.

（3）函数y＝f（－x）与y＝f（x），x∈[－2,2]的图象关于y轴对称，如图③.

（4）函数y＝－f（x）与y＝f（x），x∈[－2,2]的图象关于x轴对称，如图④.

（5）将函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的部分不变，得到y＝|f（x）|的图象，如图⑤.

（6）考虑到函数y＝f（|x|）为[－2,2]上的偶函数，所以函数y＝f（x），x∈[－2,2]在y轴右侧的部分不变，左侧部分换为右侧关于y轴对称的图象即可得到y＝f（|x|）的图象，如图⑥.

（7）将函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2f（x）的图象，如图⑦.

（8）将函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得到y＝f（2x）的图象，如图⑧.

误区指津：

注意区别y＝|f（x）|与y＝f（|x|）这两个函数图象的作法．后者一定是偶函数，但前者却不一定．因此在作后者图象时，我们先作出y＝f（x）的图象，并去掉y轴左侧的图象，再将y轴右侧的图象“拷贝”一份，并关于y轴对称“粘贴”到y轴的左侧，即得y＝f（|x|）的图象．

评析：

许多有关函数图象变换的题目都是建立在以上8种基本作图的基础之上，应充分运用这些变换技巧作图．请注意，我们在作已知解析式的函数的图象时，应先在定义域范围内对已知解析式进行化简，转化成熟悉的函数作图．

12．如图函数y＝x3＋x的图象沿x轴向右平移a个单位，得曲线C，设曲线C的方程y＝f（x）对任意t∈R都有f（1＋t）＝－f（1－t），试求f

（1）＋f（－1）的值．

解：

由题意得f（x）＝（x－a）3＋（x－a）.∵f（1＋t）＝－f（1－t），

∴点P（1＋t，y）与点Q（1－t，－y）在曲线C上，

对于任意t∈R，线段PQ中点M（1,0）为定点，即曲线C上任意一点P关于点M的对称点Q都在曲线C上．故曲线C关于点M（1,0）对称．

又因为y＝（x－a）3＋（x－a）的图象关于点（a,0）对称，且仅有一个对称中心，所以a＝1.即f（x）＝（x－1）3＋（x－1）.故f

（1）＋f（－1）＝－8－.

评析：

（1）y＝f（x）图象关于x＝a对称⇔任意x∈D，有f（x＋a）＝f（a－x）；

（2）y＝f（x）的图象关于点（a,0）对称⇔定义域中任意x，f（a＋x）