学年七年级数学下册尖子生同步培优题典 专题2.docx

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学年七年级数学下册尖子生同步培优题典专题2

专题2.2两条直线的位置关系

（2）垂线

姓名：

__________________班级：

______________得分：

_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•陕西）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝35°，则∠2的大小为（　　）

A．65°B．55°C．45°D．35°

【分析】由垂线的性质可得∠ACB＝90°，由平角的性质可求解．

【解析】∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，

∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，

故选：

B．

2．（2020春•丛台区校级月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（　　）

A．两点确定一条直线

B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D．两点之间，线段最短

【分析】利用垂线的性质解答．

【解析】如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，

故选：

C．

3．（2020春•高州市期中）如图，直线AB⊥CD于O，直线EF交AB于O，∠COF＝70°，则∠AOE等于（　　）

A．20°B．30°C．35°D．70°

【分析】利用垂线定义和对顶角相等可得答案．

【解析】∵AB⊥CD，

∴∠COB＝90°，

∵∠COF＝70°，

∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°，

∴∠AOE＝20°，

故选：

A．

4．（2020春•文水县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中能说明AB⊥CD的有（　　）

①∠AOD＝90°；

②∠AOD＝∠AOC；

③∠AOC+∠BOC＝180°；

④∠AOC+∠BOD＝180°．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据垂直定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．

【解析】①∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项符合题意；

②∠AOD和∠AOC是邻补角，邻补角相等和又是180°，所以可以得到∠AOC＝90°，能判定垂直，故此选项符合题意；

③∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，不能判定垂直，故此选项不符合题意；

④∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项符合题意．

综上所述，①②④共3个正确，

故选：

C．

5．（2020春•抚顺县期末）O为直线AB上一点，OC⊥OD，若∠1＝40°，则∠2＝（　　）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【分析】根据垂直的定义得到∠COD＝90°，根据补角的定义计算，得到答案．

【解析】∵OC⊥OD，

∴∠COD＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵∠1＝40°，

∴∠2＝90°﹣40°＝50°，

故选：

C．

6．（2020•南海区校级模拟）如图，CA⊥AB，EA⊥AD，已知∠DAB＝45°，那么∠EAC的大小是（　　）

A．50°B．45°C．30°D．60°

【分析】根据垂线的定义可求解∠ACD的度数，进而可求解∠EAC的度数．

【解析】∵CA⊥AB，

∴∠CAD+∠DAB＝∠CAB＝90°，

∵∠DAB＝45°，

∴∠CAD＝45°，

∵EA⊥AD，

∴∠EAD＝90°，

∴∠EAC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣45°＝45°，

故选：

B．

7．（2020春•澄迈县期末）如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1＝34°，则∠2等于（　　）

A．34°B．45°C．56°D．60°

【分析】利用垂直定义和平角定义计算即可．

【解析】∵CO⊥AB，

∴∠COB＝90°，

∵∠1＝34°，

∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°，

故选：

C．

8．（2020春•孝义市期末）下列各图中，过直线l外的点P画直线l的垂线，三角尺操作正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．

【解析】用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，

∴C选项的画法正确，

故选：

C．

9．（2020春•江汉区月考）如图，AD⊥AC交BC的延长线于点D，AE⊥BC交BC的延长线于点E，CF⊥AB于点F，则图中能表示点A到直线BC的距离的是（　　）

A．AD的长度B．AE的长度C．AC的长度D．CF的长度

【分析】利用点到直线的距离定义进行解答即可．

【解析】图中能表示点A到直线BC的距离的是AE的长度，

故选：

B．

10．（2019秋•仁寿县期末）如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：

①∠DOG+∠BOE＝180°；②∠AOE﹣∠DOF＝45°；③∠EOD+∠COG＝180°；④∠AOE+∠DOF＝90°．其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据角平分线的定义可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，利用平角等于180°得出α+β＝90°，∠EOG＝90°．根据同角的余角相等得出∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，则∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∠BOF＝∠DOF

（α﹣β）．然后根据互余、互补的定义分别判断即可．

【解析】∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，

∴可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，

∵O为直线AB上一点，

∴∠AOB＝180°，

∴2α+2β＝180°，

∴α+β＝90°，∠EOG＝90°．

∵∠DOC＝90°，

∴∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，

∴∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．

∵OF平分∠BOD，

∴∠BOF＝∠DOF

（α﹣β）．

①∵∠DOG＝α＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，

∴∠DOG+∠BOE＝180°，

故本选项结论正确；

②∵∠AOE＝α，∠DOF

（α﹣β），

∴∠AOE﹣∠DOF＝α

（α﹣β）

（α+β）＝45°，

故本选项结论正确；

③∵∠EOD＝∠EOG+∠GOD＝90°+α，∠COG＝β，

∴∠EOD+∠COG＝90°+α+β＝180°，

故本选项结论正确；

④∵∠AOE+∠DOF＝α

（α﹣β）

（90°﹣α）＝2α﹣45°，

∴当α＝67.5°时，∠AOE+∠DOF＝90°，

但是题目没有α＝67.5°的条件，

故本选项结论错误．

综上所述，正确的有：

①②③共3个．

故选：

C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•肇源县期末）两条直线相交所构成的四个角，其中：

①有三个角都相等；②有一对对顶角相等；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等，能判定这两条直线垂直的有　①③④　．

【分析】根据垂线、对顶角、邻补角定义进行逐一判断即可．

【解析】两条直线相交所构成的四个角，

①因为有三个角都相等，都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；

②因为有一对对顶角相等，但不一定等于90°，所以不能判定这两条直线垂直；

③有一个角是直角，能判定这两条直线垂直；

④因为一对邻补角相加等于180°，这对邻补角又相等都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；

故答案为：

①③④．

12．（2020春•黄埔区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝118°，则∠EOC的度数为　28°　．

【分析】先根据对顶角相等得出∠BOC＝118°，再由垂直的定义得出∠BOE＝90°，最后根据∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE可得答案．

【解析】∵∠AOD＝118°，

∴∠BOC＝∠AOD＝118°，

∵EO⊥AB，

∴∠BOE＝90°，

∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝28°，

故答案为：

28°．

13．（2020秋•香坊区校级期中）如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝　30　°．

【分析】根据AB⊥CD，可得∠1与∠2互余，再根据∠2＝2∠1，可求出∠1，最后根据对顶角相等得出答案．

【解析】∵AB⊥CD，

∴∠1+∠2＝90°，

又∵∠2＝2∠1，

∴3∠1＝90°，

∴∠1＝30°，

∴∠3＝∠1＝30°，

故答案为：

30．

14．（2020秋•南岗区校级期中）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：

∠AOB＝4：

1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝　72°或108°　．

【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可．

【解析】∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，

∴∠AOB+∠BOC＝180°，

又∵∠BOC：

∠AOB＝4：

1，

∴∠BOC＝180°

144°，∠AOB＝180°

36°，

∵射线OD平分∠AOB

，

∴∠AOD＝∠BOD

∠AOB＝18°，

∵OE⊥OD，

∴∠DOE＝90°，

如图1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，

如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，

故答案为：

72°或108°．

15．（2020春•太平区期末）关于垂线，小明给出了下面三种说法：

①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线的交点叫垂足；③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB．其中正确的有　①③　（填序号）．

【分析】利用垂线定义进行解答即可．

【解析】①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，故原题说法正确；

②两条直线的交点叫交点，故原题说法错误；

③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB，故原题说法正确，

正确的说法有2个，

故答案为：

①③．

16．（2020春•鱼台县期末）如图，村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是　垂线段最短　．

【分析】利用垂线段的性质解答即可．

【解析】村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是垂线段最短，

故答案为：

垂线段最短．

17．（2020春•东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为　9　cm．

【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．

【解析】因为∠C＝90°，

所以AC⊥BC，

所以A到BC的距离是AC，

因为线段AC＝9cm，

所以点A到BC的距离为9cm．

故答案为：

9．

18．（2020春•岳阳期末）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝5，BC＝12，AC＝13，下列结论正确的是　①②④　．（写出所有正确结论的序号）

①∠ADB＝90°；

②∠A＝∠DBC；

③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；

④点B到直线AC的距离为

．

【分析】①根据垂直的定义即可求解；

②根据余角的性质即可求解；

③根据点到直线的距离的定义即可求解；

④根据三角形面积公式即可求解．

【解析】①∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝90°，故①正确；

②∵∠ABD+∠A＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，

∴∠A＝∠DBC，故②正确；

③点C到直线BD的距离为线段CD的长度，故③错误；

④点B到直线AC的距离为

5×12×2÷13

，故④正确．

故答案为：

①②④．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020春•赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．

【分析】

（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．

（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．

（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．

【解析】如图所示

（1）沿AB走，两点之间线段最短；

（2）沿AC走，垂线段最短；

（3）沿BD走，垂线段最短．

20．（2020秋•长春期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数．

【分析】利用对顶角相等可得∠AOM的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．

【解析】∵∠BON＝20°，

∴∠AOM＝20°，

∵OA平分∠MOD，

∴∠AOD＝∠MOA＝20°，

∵OC⊥AB，

∴∠AOC＝90°，

∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．

21．（2019秋•姜堰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，∠1＝∠2．

（1）求∠NOD的度数；

（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．

【分析】

（1）利用垂直的定义得出∠2+∠AOC＝90°，进而得出答案；

（2）根据题意得出∠1的度数，即可得出AOC和∠MOD的度数．

【解析】证明：

（1）∵OM⊥AB，

∴∠AOM＝∠BOM＝90°，

∴∠1+∠AOC＝90°，

∵∠1＝∠2，

∴∠2+∠AOC＝90°，

即∠CON＝90°，

∴∠NOD＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°；

（2）∵∠AOD＝3∠1，

∴∠NOD＝2∠1＝90°，

解得：

∠1＝45°，

∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣45°＝45°；

∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°，

∴∠MOD＝∠BOD+∠BOM＝45°+90°＝135°．

故答案为：

（1）90°；

（2）45°，135°．

22．（2020秋•香坊区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°，求∠BOD的度数．

【分析】根据角平分线的意义、平角、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可．

【解析】∵OF⊥OE，

∴∠EOF＝90°，

又∵∠COE+∠EOF+∠DOF＝180°，∠DOF＝74°，

∴∠COE＝180°﹣90°﹣74°＝16°，

∵OE平分∠AOC，

∴∠AOC＝2∠COE＝32°＝∠BOD，

答：

∠BOD的度数为32°．

23．（2019秋•翠屏区期末）如图，射线OC、OD把∠AOB分成三个角，且度数之比是∠AOC：

∠COD：

∠DOB＝2：

3：

4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，且OM⊥ON．

（1）求∠COD的度数；

（2）求∠AOB的补角的度数．

【分析】

（1）设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，依据∠MON＝90°，即可得到x的值，进而得出∠COD的度数；

（2）依据∠AOB的度数，即可得到∠AOB的补角的度数．

【解析】

（1）设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，

∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，

∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，

又∵OM⊥ON，

∴∠MON＝90°，

即6x＝90°，

解得x＝15°，

∴∠COD＝45°；

（2）∵∠AOB＝9×15°＝135°，

∴∠AOB的补角的度数为45°．

24．（2019秋•市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．

（1）如图

（1），若∠BOD＝35°，则∠AOC＝　145°　；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝　45°　；（直接写出结论即可）

（2）如图

（2），若∠AOC＝140°，则∠BOD＝　40°　；（直接写出结论即可）

（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图

（1）说明理由；

（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当锐角∠AOD等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．

【分析】

（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；

（2）根据∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD计算可得；

（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知两角互补；

（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．

【解析】

（1）若∠BOD＝35°，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°，

若∠AOC＝135°，

则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°；

故答案为：

145°；45°；

（2）如图2，若∠AOC＝140°，

则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD

＝360°﹣140°﹣90°﹣90°

＝40°；

故答案为：

40°；

（3）∠AOC与∠BOD互补．

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．

∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，

∴∠AOC+∠BOD＝180°，

即∠AOC与∠BOD互补．

（4）OD⊥AB时，∠AOD＝30°，

CD⊥OB时，∠AOD＝45°，

CD⊥AB时，∠AOD＝75°，

OC⊥AB时，∠AOD＝60°，

即∠AOD角度所有可能的值为：

30°、45°、60°、75°．