数学建模DVD在线租凭的优化设计.docx
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数学建模DVD在线租凭的优化设计
2013年大学生数学建模
题目：
DVD在线租赁的优化设计
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DVD在线租赁的优化设计
摘要
本文在满足会员DVD租赁需求的约束条件下，以DVD购买量最小和会员满意度最大为目标，求得最优的DVD购买与分配方案。
通过查找资料确定每张DVD从网站租出到返回网站的服务周期为15天，从而得到每张DVD在一个月内最多可租赁2次。
根据问卷调查结果，运用大数定律，得到10万个会员中想观看每种DVD的人数。
会员决定观看DVD的时间服从正态分布，由此确定一个月中每天愿意观看此DVD的人数，根据需要满足的会员数量得到网站的最小购买量。
会员的满意度由会员收到DVD的等待时间以及对该DVD的偏爱程度共同决定。
为了使满意度与偏爱程度数值上成正比关系，将偏爱程度反序定义。
DVD现有数量已知时，以满意度最大为目标，DVD数量有限等为约束建立0-1整数规划模型。
DVD现有数量全部为0时，从网站管理人员的角度，以最小购买量为目标，以95%的会员得到想看的DVD为约束条件求得最小购买量时的购买方案，在此方案的基础上以总的满意度最大为目标进行DVD的优化分配。
通过计算，在服务周期为15天，网站有10万个会员的情况下，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能看到该DVD，应购买的DVD1-5的数量分别为5000,2500,1250,625,250张；为保证在三个月内至少95%的会员能看到该DVD，应准备的数量分别为3167，1584,792,396,158张。
运用lingo软件求解，得到DVD现有数量已知时会员满意度最大的分配，总满意度为24746（理想最大满意度为27000）.当DVD的数量全部为0时，得到最优购买和分配方案，使一个月95%的会员得到想看的DVD，求得最小购买量为1425张，在最小购买量的基础上实现满意度最大，总满意度为19396.
从网站经营管理员的角度考虑会员的需求及分配，网站根据会员的分布情况，建立一定数量的配送中心可以减少开支，增加收入。
关键字DVD最优方案lingo
一、问题的提出
本题提供了一种DVD在线租赁业务的经营方式。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
需考虑以下问题：
1.1网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（附表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对附表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
1.2附表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
1.3继续考虑附表2，并假设附表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
1.4如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
二、问题的分析
本问题是在既定经营方式的条件下，以网站购买量最小和会员满意度最大为目标对DVD购买方案和分配方案进行优化设计。
由于会员看完DVD后就将其寄回网站，因此一个月内同一张DVD可以多次寄出，供多个会员观看。
我们将每张DVD从网站寄出到返回网站所经历的时间称为一个服务周期。
每张DVD可以服务的会员数量是由每张DVD的服务周期所决定的。
整个周期是由寄往会员的时间长度，会员观看的时间长度，寄回网站的时间长度三部分相加而得。
通过查找资料和实际情况分析，确定一个服务周期为15天。
假设每个月都为30天，则一个月内一张DVD可供2个会员观看。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务，当会员对某种DVD有兴趣时，就提交订单，然后网站进行分配。
当会员提交了一次订单后，网站即根据统一安排在适当的时间向该会员寄去一次DVD，其中含三张DVD；若会员再提交订单，网站再重复以上过程。
但由于每个会员租赁的次数不能超过两次且DVD数量有限，因此，一个月中，有部分的会员租赁了两次，一部分会员只租赁了一次。
根据对1000个会员的问卷调查得到的愿意观看各DVD的人数，由于各种DVD是相互独立的，根据大数定律，可将各DVD观看人数在总人数中所占比例视为每位会员愿意观看此DVD的概率，从而得到了愿意观看各DVD的人数。
将在一个月中会员决定观看DVD的时间视为正态分布，于是可确定每个时间段愿意观看此DVD的人数。
根据网站需要满足的会员总数以及不同时段愿意观看各张DVD的人数即可确定每张DVD的需求量。
对于会员所提交的订单，网站需以会员总满意度最大为目标来进行优化分配。
会员总满意度是所有会员的满意度之和，而每一个会员的满意度由收到DVD的等待时间和所收DVD的偏爱程度二者共同决定。
因此，在设计分配方案时，应考虑将DVD按会员偏爱程度由高到低依次分配，但同时也要考虑使每位会员得到DVD的时间尽可能短。
此处需考虑两个约束条件，即每个会员的租赁次数不得超过两次以及DVD数量有限。
由此，我们可以建立一个以满意度最大为目标，以租赁次数和DVD数量为约束的优化模型。
假如DVD的现有数量全部为0，考虑网站购买各种DVD数量，并要使95%的会员得到想看的DVD。
由于每个会员每月最多可获得六张DVD，但订单上的数量远多于此，且有可能多个会员愿意观看同样的DVD，因此网站不可能将所有会员的愿望全部满足。
因此，将“得到他想看的DVD”等价为“得到的DVD在他想看的若干张DVD范围之内”。
因此，只要网站满足了会员需求中的任一需求，就可视为“使会员得到了他想看的DVD”。
从网站经营管理人员的角度，为实现利益最大化，应尽可能降低成本，所以应以DVD购买量最小为目标，以95%的会员得到想看的DVD为约束条件，来设计出最优的购买方案。
然后在此最小购买量方案的基础上，以满意度最大为目标进行DVD的优化分配。
对于DVD的分配，由于一个月内每张DVD可以被租赁2次，即为2位会员提供服务。
因此一个月中该网站共需进行2次分配，在每次DVD回收后即进行下一次分配。
因此，现在需要制定出一个月的完整分配方案，即包括2次分配。
从网站经营管理人员的角度，在DVD的需求预测、购买和分配过程中，分析相应资料，可以知道DVD的邮递既要考虑自己出的邮费，又要提供给会员快的服务。
知道了相应需求情况和地区的分布情况后，可以在不同地点设立配送中心，提高网站整体服务水平。
分配的服务方式可以考虑是否改成2次4张或3次6张等情况。
在现有的条件下，减少服务周期，以提高会员满意度最大和快递费用最小为目标，来设计优化的库存方案和服务方式。
三、模型假设与符号假设
3.1会员看完DVD后即将其寄回，不会无故拖延；
3.2所有会员向网站提交一次订单后，网站仅向该会员邮寄一次；若会员再有需求，则需再提交一次订单，网站第二次邮寄给该会员。
3.3每个会员每月最多可租赁两次；
3.4每月均为30天。
.
参数及符号
含义
单位
反序定义后的偏爱程度
T
同一张DVD相邻两次向外租赁的间隔
天
m
同一张DVD每月向外租赁的最大次数
次
第i个会员对收到的第j个DVD的满意度
分配过程中给第i个会员邮寄次数
次
第j种DVD总量为
张
0或1
0或1
四、模型的建立
4.1建模准备
4.1.1确定每张DVD在一个月中的可提供服务的次数
一张DVD从网站寄出到最终回到网站的服务周期为
。
T由网站给会员邮寄DVD用的时间
，会员观看DVD的用的时间
，会员邮寄DVD回网站用的时间
相加而得。
=15
假设每个月天数是相等的，为30天，那么一张DVD每个月可以租赁的次数为
.
4.1.2满意度的处理
为了使会员的满意度与偏爱程度在数量上成正比关系，将原题中的偏爱程度反序定义，即偏爱程度原来为1现在定义为10（原来为0的定以后也为0）。
假设
为原体中第i个会员对第j个DVD的偏爱程度，
为反序定义后的偏移系数，那么
会员对收到的DVD的满意度与他对该DVD的偏爱程度有关，还与他收到该DVD的时刻有关。
比如，对于偏爱程度为1的DVD,如果会员在月初就收到了该DVD,那么他的满意度就明显要比他在月末就收到了该DVD时的满意度高。
我们引入系数
来表征会员收到DVD的时刻对满意度的影响。
定义
于是可得到第i个会员对收到的第j个DVD的满意度：
4.2根据愿意观看各DVD人数和网站需满足的人数确定最小购买量
大数定律
表一中给出了问卷调查的1000人中各DVD的愿意观看的人数，由于各DVD是相互独立的，根据大数定律，可以将每种DVD的愿意观看人数在总人数中的比例视为每个会员本月中观看该DVD的概率。
设
为每个会员愿意观看第
种DVD的概率
，则有
在现实中，一部新电影对人的吸引力与外界的宣传力度有关，人们在一定程度上了解了新电影的价值之后才会决定是否去观看。
通常一部热卖的电影在上映10天左右达到票房收入的高潮，在上映一个月之后将淡出人们的视眼。
我们可以将网站购买的DVD看成热卖电影，人们决定观看一部新电影的时间t可以认为服从正态分布
。
在这里可以认为
.由正态分布的
原则，即正态分布的随机变量落在
概率接近1，可以取
.
会员在
内决定观看DVD的概率为：
4.2.1对于使希望看到该DVD的会员中至少有50%在一个月内能够看到该DVD的情况
以DVD1为例，由大数定律得到共有20000人想看DVD1.
我们可以得到在
之前决定看DVD1的人数为
1531
类似的求得之后每天决定看DVD1的人数分别为454，546，642，741，837，927，1005，1069，1113，1136，1136，1113，1069，1005，927，837，741，642，546，454，370，296，232，178，134，99，71，50，35，24.
网站每天分配一次DVD，那么第一次分配的DVD在第15天收回后可以再次分配;第二次分配的DVD在第16天收回后可以再次分配。
依次类推可得当DVD1的数量为5000时可以满足希望看到DVD1的会员中至少有50%在一个月内能够看到该DVD。
用类似的方法求的DVD2-5的数量至少为2500，1250，625，250.
4.2.2对于保证三个月内至少95%的会员看到想看的DVD的情况
3个月一张DVD共可以发放6次，于是对于DVD1有以下关系式成立：
因此DVD1至少需要3167张。
用同样方法可以得到此时DVD2、DVD3、DVD4、DVD5、的购买量为1584、792、396、158.
4.3建立最优分配模型（模型一）
现有当前需处理的1000位会员的在线订单以及网站手上的100种DVD的现有张数，需考虑在现有每种DVD数量的约束条件下，网站进行一次DVD分配，使会员满意度最大，并得到分配方案。
首先，定义变量
如果给第i个会员邮寄DVD，那么该会员得到的DVD数量为3，如果不给第i个会员邮寄DVD，那么该会员得到的DVD数量为0，于是有：
由于网站的每种DVD有一定的数量限制，因此，向所有会员所寄出的第j种DVD总量
需满足此约束条件，即：
模型中所定义的满意度是由偏爱程度和收到的时间二者相乘而得，但由于此处仅考虑某一次的分配，并且在制定了分配方案后，网站同时将DVD寄往所有会员，因此各会员收到DVD的时间相等，满意度就仅由对DVD偏爱程度的差异所决定。
因此，每个会员的满意度可表示为
由此可得会员总满意度表达式：
于是可得到最优分配模型：
4.3.1以购买量最小与满意度最大为目标设计最优购买与分配方案
现假设附表2中DVD的现有数量全部为0，网站需首先购入这些DVD，再将其根据会员的订单进行合理分配。
因此，应以实现购买量最小为目标，以一个月内有95%的会员得到想看的DVD为约束条件来建立模型，得出购买量最小时的购买方案。
然后在此最小购买量方案的基础上，以满意度最大为目标进行DVD的优化分配。
对于DVD的分配，由于一个月内每张DVD可以被租赁2次，即为2位会员提供服务。
因此一个月中该网站共需进行2次分配，在每次DVD回收后即进行下一次分配。
因此，现在需要制定出一个月的完整分配方案，即包括2次分配。
总体框架如下：
订单
95%的会员得到他想看的DVD
约束
建立最小购买量模型（模型二）
首先，定义变量（以下
）
整个分配过程中给第i个会员邮寄次数
，
，则有关系式：
每次分配如果给第i个会员邮寄，那么该会员得到的DVD数量为3，于是有关系式
每次分配第j种DVD需满足该DVD的总量约束，由于每次第j种DVD总量为
，因此有：
会员满意度是由会员偏爱程度和收到DVD时刻共同决定的，由此可得会员总满意度表达式：
整个分配过程中给第i个会员邮寄次数
，
，则一个月内网站所邮寄的总次数为
，此处需考虑约束条件：
使一个月内95%的会员得到想看的DVD。
首先，将“得到想看的”等价为“得到的DVD在想看的范围之内”。
引入变量
寄给会员的DVD应是在会员想看的DVD范围之内，即满足：
其次，网站所服务的总人数不能小于1000
95%.由于假设3.2，对于一张订单，网站只考虑向各会员寄一次DVD；若会员第二次再提出订单，才考虑是否寄第二次。
因此，对于附表2这一张订单，只需考虑向每个会员要么寄一次，要么不寄。
因此，网站邮寄的总次数
就等于网站服务的总人数，可得到约束条件为：
由此可建立最小购买量的模型：
.
建立最小购买量下的最大满意度模型（模型三）
求得最小购买量时的购买方案后，以购买的各种DVD的数量作为各种DVD的现有数量，以会员满意度最大为目标，使95%的会员得到想看的DVD为约束条件，建立最小购买量下的最大满意度模型，确定最优分配方案。
五、模型的简化与求解
5.1最优分配模型（模型一）的求解
由程序1得到反序定义的偏爱程度，使满意度和偏爱程度在数量上成正比关系。
该问题的模型是0-1整数规划模型，通过lingo软件求解（程序2），得到最优的分配方案如表1（仅列出前30位会员的情况），此时会员的满意度为24746（理想的最大满意度为27000）.
表1前30位会员DVD分配方案
会员
获得的DVD
C0001
D008,D041,D098
C0002
D006,D044,D062
C0003
D032,D050,D080
C0004
D007,D018,D041
C0005
D011,D066,D068
C0006
D019,D053,D066
C0007
D026,D066,D081
C0008
D031,D035,D037
C0009
D053,D078,D100
C0010
D041,D055,D085
C0011
D059,D063,D066
C0012
D002,D031,D041
C0013
D021,D078,D096
C0014
D023,D052,D089
C0015
D013,D052,D085
C0016
D010,D084,D097
C0017
D047,D057,D061
C0018
D041,D060,D078
C0019
D066,D084,D086
C0020
D045,D061,D089
C0021
D045,D050,D053
C0022
D038,D055,D057
C0023
D029,D081,D095
C0024
D037,D041,D076
C0025
D009,D069,D081
C0026
D022,D068,D095
C0027
D050,D058,D078
C0028
D008,D034,D082
C0029
D026,D030,D055
C0030
D037,D062,D098
5.2最小购买量与最大满意度分配问题的求解
5.2.1最小购买量模型（模型二）的求解
网站分两次向会员邮寄DVD,采用lingo编程求解（程序3），得到最小购买总量为1425,各种DVD的最小购买数量为
表2各种DVD的最小购买数量
D001
7
D021
5
D041
13
D061
11
D081
16
D002
4
D022
10
D042
17
D062
21
D082
16
D003
4
D023
7
D043
6
D063
24
D083
19
D004
6
D024
13
D044
10
D064
9
D084
12
D005
7
D025
10
D045
6
D065
22
D085
22
D006
5
D026
8
D046
8
D066
20
D086
20
D007
6
D027
9
D047
14
D067
19
D087
26
D008
17
D028
9
D048
10
D068
15
D088
15
D009
11
D029
6
D049
6
D069
22
D089
17
D010
5
D030
9
D050
15
D070
22
D090
30
D011
8
D031
14
D051
15
D071
15
D091
15
D012
7
D032
11
D052
16
D072
15
D092
18
D013
4
D033
8
D053
21
D073
14
D093
27
D014
16
D034
9
D054
8
D074
21
D094
24
D015
7
D035
14
D055
12
D075
22
D095
27
D016
7
D036
2
D056
10
D076
20
D096
23
D017
16
D037
5
D057
9
D077
21
D097
30
D018
6
D038
15
D058
16
D078
23
D098
34
D019
13
D039
13
D059
14
D079
18
D099
31
D020
3
D040
5
D060
19
D080
20
D100
41
5.2.2最小购买量下的最大满意度模型（模型三）的求解
在求得各种DVD的最小购买数量后，编写lingo程序，得到最大满意度时的分配方案，最大满意度为19396.
通过统计每个地区的租赁需求量，得到需求的分布，根据需求量和地区的距离进行归类，得到建立分配中心的多少，大小和服务的区域。
设第j个地区的需求量（以会员的数量为准）为Dj（j=1,2,…,n）;Rij是第i个地区与第j个地区之间的距离。
打算分成m个区域Sk（k=1,2,…,m），每个区域建立一个配送中心。
（i.j=1,2,…m）
各个区域中的地区尽量相临。
区域m的数量与网站决定的建设的配送中心个数有关，这将根据实际会员总量决定。
六．结果分析与检验
6.1问题一中的结果与DVD一个月可以周转的次数有关，网站如果采取措施减少服务周期可以大大减少DVD购买量。
6.2最优分配模型（模型一）采用了lingo软件求解的求解方法，可以求得最优解。
但是当会员数和DVD种类变多的时候，模型中变量数递增的速度是很快的。
是
否
6.3问题3中考虑双目标模型，采用主要目标法求解。
以DVD最小购买量为主要目标，而满意度考虑在（17000，25000）内，建立以下模型。
应用lingo软件求解可以得到一个可行解，购买量为1696.在此购买量分布情况下求得满意度为20143.这与原模型的结果是很接近的。
采用原模型求解是可行的。
七、模型的优缺点与改进方向
7.1模型评价
7.1.1最优分配模型（模型一）解决了对于既定订单的DVD在线租赁与分配
问题，对于现实问题有一定应用价值。
7.1.2在解决最优购买与分配问题时，建立了最小购买量和最大满意度两个模型。
首先，从网站管理者角度出发，通过最小购买量模型，以购买量最小为目标求得最小购买量方案，从而实现成本最小。
然后使用最小满意度下的最大满意度模型（模型三）在此最小购买量方案上再进行优化分配，使会员满意度最大，从而能最大限度的留住老会员，并不断吸引新会员的加入，因此成功实现了网站的利益最大化，符合现实情况中的经营目标。
7.2模型改进
实际中还碟和订购的时间并不是固定的，而且会员看完DVD所需要的时间和偏爱程度有关，即偏爱程度越高，观看时间越短。
考虑这个因素能够更好的反映现实情况。
八、参考文献
[1]钱颂迪等，《运筹学》，北京：
清华大学出版社，1990年1月第2版
[2]姜启源，《数学模型（第二版）》，北京：
高等教育出版社，1993年8月第2版
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