美国大学留学的数学模型.docx
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美国大学留学的数学模型
美国大学招生的数学模型
摘要
本文根据学生申请美国大学的流程和大学最终录取的过程，联系实际情况与数据，找出影响学校预招生数量的关键因素——奖学金总额，通过对影响招生质量与数量的分析，选取优化模型。
通过模型建立求解后，对结果与开始时作出的初步分析进行检验，进一步保证结果的准确性。
对影响结果准确性的学生选择学校的概率，提出了模糊算法的概念，对模型提出改进。
最后通过求出发放通知书的数量与预录取学生数量的比值，使模型更具推广型与普遍意义。
关键词：
优化模型模糊算法比例系数
一问题重述
申请美国大学的流程通常是，学生首先准备必要的考试和一些证明，然后将考试成绩和这些证明寄给自己想去的大学，一般学生可根据自己的情况选择申请多所学校。
每所大学计划招生人数有限，所以只会录取申请的一部分学生，以及考虑是否给予已录取学生奖学金，但是收到多个学校录取通知书的学生只能选择一个学校。
要求为美国大学建立一个数学模型，通过此模型来保证尽量满足招生计划并使学生质量最大。
二对象分析及模型假设
背景:
为了使模型更接近于现实,在进行建模之前,对美国大学实际招生情况进行了大量的调查，信息搜集,分析工作,从而得出了模型的主要模拟对象美国大学招收留学生情况的主要特点：
1美国大学录取留学生的数量主要以其确定的奖学金总额确定，其他条件如申请人数、专业变动、经济环境等均有一定量影响；
2接到录取通知书的学生有一定比例因为拒签，不能去学校报到。
根据题设条件和调查所得对象的主要特点，做出如下假设：
1学校录取学生时根据学生递交的材料，计算学生的综合成绩，根据综合成绩排名，依次发放通知书。
2学校每年的奖学金总金额和发放比例固定，按照比例和学生综合成绩排名，依次发放奖学金。
3学校录取留学生数量由奖学金总金额确定，不会因为其他因改变。
三符号说明
A——表示学校录取留学生的数量；
B——表示学校最终决定发放的录取通知书数量；
C——表示学校奖学金总额；
D——表示向学校提交申请的总人数；
E——表示学生的质量；
m——表示学校向被录取的留学生发放的奖学金金额；
a——表示学生对学校的录取通知书的接受率；
b——表示学生被拒签的概率；
c——表示学校发放奖学金的比例；
P——表示发放录取通知书的数量与欲录取人数的比值；
四建立模型
本题目的问题实际上是利用建立优化模型的数学方法解决实际问题：
考虑影响美国大学最终录取结果的因素（是否满足招生计划，招收学生的质量），当学校发出多封录取通知书后，可最大限度的满足招生计划，但不能保证学生质量。
若学校仅按照招生计划严格发放录取通知书，则可最大限度保证学生质量，但由于存在无效录取通知书的各种因素：
1学生收到多封通知书，选择其他学校2学生选择本学校，但被申请签证被拒签。
所以，在学生质量和招生计划的约束下，通过建立优化模型的数学方法，寻求美国大学最终录取结果的最优化方案。
建立模型如下:
Maxf（X）；XɛΩ;
S.t.
由题意已知：
当奖学金经费确定为C的学校向每个被录取学生发放奖学金的数额为m发放比例为c时，则理论上该学校最大也是最理想的录取人数为
；设学生接收到学校发来的录取通知书后，由学校的因素决定其愿意去该所学校的概率为a而且
；接到录取通知书以后在申请签证的过程中，拒签率为d；B表示学校实际学生发出的录取通知书数量；D表示已向该所学校递交申请书的学生的总人数；所有的学校所有的学校都必须先交申请书，再决定是否发放录取通知书，则由以上可以确定B的范围：
。
由已知，知道B为学校最终发放录取通知书的数量，而在整个学生录取过程中，导致某些收到录取通知书后又没向学校报到的因素有以下两个：
1、学生收到多封录取通知书故没去报到（学校的水平影响结果）。
2、由于签证因素导致收到了录取通知书却没能报到。
考虑到这两个因素影响所以实际的录取人数应该表示为Ba（1—b）。
而最佳的录取通知书发放方案就是要求：
Ba（1—b）
，且在数值上尽量的靠近
。
考虑B和a间的关系：
当a增大时，发出录取通知书会录取的比例提高，那么B取值应该趋向于
；当a减少时，随着录取通知书会录取的比例的减少，B的取值应该趋向于D，以保证满足学校的生源。
根据此可得
B=（
—D）a+D
（1）
（2）
因此由
（2）式可得到
代入
（1）式得到：
B=（
-D）
+D
=>B—D=
=cmB（1-b）（B-D）=C（
-D）
=>
cmB（B-D-bB+bD）=C（
-D）cmB（B-D-bB+bD）=C（
-D）
=>
=
-CD
即：
-
=0
解得：
（*）
五模型实现
通过搜集数据及Matlab软件对数据进行分析得出以下数据（均为综合美国大部分高校数据所得平均值）：
A——表示学校录取留学生的数量=1302；
B——表示学校最终决定发放的录取通知书数量；
C——表示学校奖学金总额=2,100,263；
D——表示向学校提交申请的总人数=2039；
E——表示学生的质量；
m——表示学校向被录取的留学生发放的奖学金金额；
a——表示学生对学校的录取通知书的接受率=0.73；
b——表示学生被拒签的概率=0.021；
c——表示学校发放奖学金的比例=0.8127；
由matlab计算（*）式得出B=1647.24591近似得出B=1647
六结果分析与检验
判断B的合理性：
将B所得结果代入
得出结果满足不等式，故B合理。
考虑到各大学招生情况不同，及学校实力不同，取学校发放的录取通知书和预计录取人数的比例P=1.26。
根据学校综合实力的不同，各学校可在此数据进行适度浮动。
七模型评价及改进
本模型是在学校奖学金经费C确定且直接决定其录留学生数量，又以学校的知名度决定其愿意去该所学校的概率为a和接到录取通知书以后申请签证的过程中的拒绝率
为决策变量的情况下做出的分析，故而建立的最优化模型。
而学生对学校的选择概率是根据个人喜好而定，是模糊的概念，所以模型存在一定缺陷，若能加入模糊算法，则模型准确性将有所提高。
不过就问题中的条件以及要求而言，本模型实用性以及适用性广泛，提出比例系数的概念，使其使用于大部分学校。
模型大部分数据通过实际调查得来的，计算过程中完全依赖现实中的数据，而且对于类似的优化问题也可以同样以数据代入而及其方便的获得相应的决策，具有普遍性。
八参考文献
[1]现代数学建模方法王庚王敏生科学出版社
[2]数学建模浙江大学出版社杨启帆方道元
[3]数学模型（第三版）高等教育出版社姜启源
[4]最优化方法及其应用高等教育出版社郭科陈聆魏友华
[5]奖学金申请EIC启德教育
附录
附录一：
分析数据的运算
functionr=myobj1996b（x）
r=sum（x）;
约束条件m文件：
function[C,Ceq]=mycon1996b（x）
globalmef%全局变量
n=length（x）;
tmpX=x
（1）;
ifn>=2,
fori=2:
n,
tmpX=tmpX*（x（i）+m）;%x1*（x2+m）*（x3+m）*...*（xn+m）
end
end
C=m^n-tmpX*ef;%只有一个约束，决策变量约束用fmincon的参数lb,ub来处理
Ceq=[];
主程序：
solv1996b_2
init1996b
Nmin=fix（log（ef）/log（（m/Vmax）））+1
Nmax=fix（log（ef）/log（m/VminM））+1
opti_s=1e6;
forn=Nmin:
Nmax,%穷举所有模型
lb=[];
ub=[];
lb
（1）=VminM;
ub
（1）=Vmax;
ifn>=2,
forj=2:
n,
lb（j）=VminM-m;
ub（j）=Vmax-m;
end
end
lb
ub
[x,fval,exitflag]=fmincon（'myobj1996b',VminM*ones（1,n）,[],[],[],[],...
lb,ub,'mycon1996b'）
iffvalopti_n=n;
opti_s=fval;
opti_x=x;
end
end
opti_n
opti_s
opti_x
m
附录二
美国各大名校招生人数（2010年秋季入学）：
密歇根大学：
约6000人
加州大学洛杉矶分校：
约4400人
加州大学伯克利分校：
约4200人
北卡大学教堂山分校：
约3900人
弗吉尼亚大学：
约3300人
康奈尔大学：
3150人；
南加州大学：
约2800人
宾夕法利亚大学：
约2400人
西北大学：
2025人
圣母大学：
约2000人
哈佛大学：
约1700人
杜克大学：
1700人
斯坦福大学：
1675人
范德比尔特大学：
约1570人
华盛顿圣路易斯大学：
约1500人
乔治城大学：
约1560人
塔夫斯大学：
约1300人
布朗大学：
1485人
卡耐基梅隆大学：
约1430人
哥伦比亚大学：
约1400人
芝加哥大学：
1350人
耶鲁大学：
1310人
埃默里大学：
1285人
约翰霍普金斯大学：
1235人
普林斯顿：
约1200人
维克森林大学：
约1200人
达特茅斯学院：
1150人
麻省理工大学：
1070人
莱斯大学：
约800人
加州理工大学：
约240人
（注：
以上数据均来自于大学官方数据，数字前带有“约”字的是根据09年招生人数的预估）
附录三
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