根据上面的分析过程，我们很容易得出两步二叉树期权定价模型的一般公式，如图2-5所示：
图2-5
通过反复应用式2-2，我们不难得出：
（式2-5）
（式2-6）
（式2-7）
将式2-5、式2-6代入式2-7，我们得到：
（式2-8）
式2-8完全可以用中性定价理论进行解释。
式中
、
、
分别对应于股票价格取上、中、下三个节点上值的概率，期权价格仍然等于其在风险中性世界里的期望收益以无风险利率进行贴现所得数值。
第三节Black-Scholes期权定价模型
期权定价方面最经典的文献之一是F.Black和M.Scholes于1973年发表的一篇论文，该文提出了经典的Black-Scholes期权定价公式。
Black-Scholes期权定价模型的诞生，标志着现代期权理论的建立。
这个模型回避了关于个人风险偏好和市场均衡价格结构的限定性假设，发展了期权定价的均衡模型。
3.1Black-Scholes期权定价模型的假设条件
Black-Scholes期权定价模型的假设条件如下：
1）标的资产（以下简称为股票）遵循“几何布朗运动”随机过程，其中
（股票价格在单位时间内的期望收益率）和
（股票价格的波动率）为常数；
2）在期权有效期内，标的资产（股票）没有现金收益支付；
3）证券交易是连续进行的，允许卖空，且所有证券均无限可分割；
4）无交易税费，不考虑保证金问题；
5）无风险利率
为常数，并对所有期限都是相同的，投资者可以此利率无限制地进行借贷；
6）不存在无风险套利机会。
3.2Black-Scholes期权定价公式
在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下欧式看涨期权的一个微分方程：
（式2-9）
其中
为无风险利率，S为当前时刻股票价格，
为期权价格。
通过解这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于欧式看涨期权的定价公式：
（式2-10）
其中，
这就是著名的Black-Scholes期权定价公式。
其中，c为欧式看涨期权价格，其行权价为
；当前时刻为
，到期时刻为
；
为股票价格的波动率，即收益率的标准差；
为标准正态分布变量的累计概率分布函数，根据标准正态分布函数特性，我们有
。
对于欧式看跌期权，我们可以应用类似的推导而得出Black-Scholes的理论价格是：
（式2-11）
有兴趣的读者可以自行推导，加以验证。
3.3Black-Scholes期权定价公式的计算
仔细观察式2-10，我们不难发现，Black-Scholes期权定价模型中的期权价格主要取决于以下五个参数：
期权行权价、到期期限、股票价格、股票价格波动率和无风险利率。
这些参数中，前面三个都是很容易获取的确定数值，只有无风险利率和股票价格波动率需要通过一定的计算求得估计值。
在发达金融市场上，我们很容易获得对无风险利率的估计值。
比如在美国，人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。
然而，估计股票价格的波动率比估计无风险利率要困难得多，也更为重要。
估计股票价格波动率方法通常有两种：
历史波动率法和隐含波动率法。
所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。
事实上，只要掌握一些统计学中计算样本均值和标准差的基本方法，个人投资者也可以利用股票每天的收盘价信息来简单计算股票价格波动率。
为使读者进一步理解Black-Scholes期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明该模型的计算过程。
案例3.1假设某种不支付红利股票的市价为42元，无风险利率为10%，经估计得到该股票的年波动率为20%，求以该股票为标的资产、行权价为40元、期限为半年的欧式看涨期权和看跌期权价格。
在本例中，可以将式2-10中的相关参数表达如下：
S＝42，K＝40，r=0.01，σ=0.2，T=0.5.
计算过程可分为三步：
第一步，先计算出
和
。
第二步，计算
和
。
由标准正态分布表可查的
则可得
第三步，将上述结果及已知条件代入公式（2-10），这样，欧式看涨期权价格为：
欧式看涨期权价格为：
在Black-Scholes期权公式的实际运用中，人们通常利用Matlab、甚至是Exel等计算机软件来进行计算的。
从实证结果来看，尽管Black-Scholes期权定价公式存在一定偏差，但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳模型之一。
通常认为，计算错误、参数估计偏差、期权市场价格偏离均衡以及模型本身众多的假设等，都是造成用Black-Scholes期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的主要原因。
3.4涨跌期权平价关系（PutCallParity）
在上一节中，用Black-Scholes公式得到的欧式看涨和看跌期权的理论价格有一定的对称性。
如果用看涨期权的价格减去看跌期权的价格，可以得到下面的关系式：
（式2-12）
这就是欧式涨跌期权在无分红情况下的平价关系。
通过这个关系式，如果我们知道看涨或看跌期权的价格，就可以很容易的算出相应的看跌或看涨期权的价格。
我们也可以用更简单的方法，无须公式推导而直接得出这个关系式。
在到期日T，不论股价是高于还是低于行权价K的情况，下面的公式都必须成立
这是因为公式的两边在到期日的所得不论在任何股价下都是相同的。
如果股价高于行权价：
左边：
看涨期权行权，以行权价K换得股票S（T）
右边：
看跌期权过期作废，留得股票S（T）
如果股价低于行权价：
左边：
看涨期权过期作废，留得现金K元
右边：
看跌期权行权，以股票S（T）换得现金K元
有了这个看涨和看跌期权在到期日的关系，在公式两边同时进行无风险折价就马上得到了在零时的平价关系。
本章问答：
问
欧式看跌期权也可以用二叉树方法进行定价吗？
当然可以。
二叉树定价方法既可以用于看涨期权的定价，也可以用于看跌期权的定价，而且分析过程基本相同。
考虑一个两年期的欧式看跌期权，行权价为52元，股票当前价格为50元，步长1年；在每一步，股票价格均可能上涨20%或者下跌20%，且无风险利率均为5%。
请读者自行画一画二叉树图求解该看跌期权价格，这里仅给出参考答案：
该欧式看跌期权的价格为4.192元。
问
到目前为止，我们一直讨论的是欧式期权。
那么，对于美式期权，如何用二叉树模型进行定价呢？
利用二叉树方法同样可以对美式期权进行定价，但应注意的是，在二叉树的每一个节点上我们均需考虑是否应提前行权。
在二叉树的最后节点上，期权的价格与欧式期权的价格是相等的，但对于之前节点上的期权价格，则应取值于下面两个数目中之大者：
由式2-2所计算的值；提前行权的收益。
问
美式期权的定价公式是怎样的呢？
在标的资产无收益情况下，无收益资产美式期权价格与欧式期权价格相等，因此式（2-10）也给出了无收益资产美式看涨期权的价格。
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，目前还没有找到一个精确的解析公式来对美式看跌期权进行定价，但可以用其他数值方法进行求解。
问
对于有收益资产期权应如何进行定价？
实际上，对于有收益资产，如果收益是已知的，或者可以准确地进行预测，那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。
在收益已知情况下，我们可以把股票价格分解成两个部分：
期权有效期内已知股息的现值部分和一个有风险部分。
当期权到期时，这部分现值将由于股票支付股息而消失。
因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格，
表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式（2-9）和（2-10）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当股票已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（2-9）和（2-10）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当股票收益率为按连续复利计算的固定收益率q时，我们只要将
代替式（2-9）和（2-10）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。
对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我们无法得到精确的解析解，但仍可以用其他数值方法进行求解。
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