中考复习专题9 一元二次方程及其应用.docx
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中考复习专题9一元二次方程及其应用
2019-2020年中考复习：
专题9一元二次方程及其应用
一.选择题
1.（2015上海,第10题4分）如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
2．（2015·湖南省衡阳市，第8题3分）若关于的方程有一个根为﹣1，则另一个根为（）．
A．－2B．2C．4D．－3
3．（2015·湖南省衡阳市，第11题3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（）．
A． B．
C． D．
4．（2015·湖南省益阳市，第7题5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．
20（1+2x）=80
B．
2×20（1+x）=80
C．
20（1+x2）=80
D．
20（1+x）2=80
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．
解答：
解：
设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，
故选D．
点评：
本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=B．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．
5．（2015•湖南株洲,第8题3分）有两个一元二次方程：
M：
N：
，其中，以下列四个结论中，错误的是（）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是
【试题分析】
本题是关于一元二次方程的判别式，及根与系数的关系：
A．∵M有两个不相等的实数根
∴△＞0
即
而此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根；
B．M的两根符号相同：
即，而N的两根之积＝＞0也大于0，故N的两个根也是同号的。
C．如果5是M的一个根，则有：
①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：
②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立。
D．比较方程M与N可得：
故可知，它们如果有根相同的根可是1或－1
答案为：
D
6.（2015•四川成都,第8题3分）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是
（A）（B）（C）（D）且
【答案】：
D
【解析】：
这是一道一元二次方程的题，首先要是一元二次，则，然后有两个不想等的实数根，则，则有，所以且，因此选择。
7.（2015•四川凉山州,第7题4分）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（）
A． B． C．且D．且
【答案】D．
考点：
1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
8.（2015•四川泸州,第10题3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的大致图象可能是
考点：
根的判别式；一次函数的图象．.
分析：
根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
解答：
解：
∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：
B．
点评：
本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
9.（2015•四川眉山，第8题3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．
（x﹣1）2=0
B．
x2+2x﹣19=0
C．
x2+4=0
D．
x2+x+l=0
考点：
根的判别式．.
分析：
根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
解答：
解：
A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=﹣16＜0，方程没有实数根；
D、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．
故选：
B．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10．（（2015•山东日照，第9题4分））某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）
A．20%B．40%C．﹣220%D．30%
考点：
一元二次方程的应用．.
专题：
增长率问题．
分析：
首先设每年投资的增长率为x．根据2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，列方程求解．
解答：
解：
设每年投资的增长率为x，
根据题意，得：
5（1+x）2=7.2，
解得：
x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），
故每年投资的增长率为为20%．
故选：
A．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
11．（2015•四川广安，第8题3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．
12
B．
9
C．
13
D．
12或9
考点：
解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．.
分析：
求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
解答：
解：
x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：
A．
点评：
本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
12.（2015山东济宁，5，3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为（）
A.13 B.15 C.18 D.13或18
【答案】A
【解析】
试题分析：
解一元二次方程可求得方程的两根为，那么根据三角形的三边关系，可知3＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13．
故选A
考点：
解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长
13．（2015•甘肃兰州,第6题，4分）一元二次方程配方后可变形为
A.B.
C.D.
【答案】C
【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质，以及乘法公式中的相关知识。
【知识准备】完全平方公式：
【解答过程】将各选项左边展开，并整理成一般式：
A：
，；
B：
，；
C：
，；
D：
，，
因此正确选项为C
【思维模式】此类题的关键在于配方
【一题多解】由于在配方过程中，需要在方程的两边加上相同的一个数；而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”，其实际上也是在方程两边都加上相等的东西，因此，无论方程如何变形，两边增减的“量”都是相等的，所以本题亦可采用如下方式进行：
在原方程中，取，此时，左边=－1，右边=0，
在各选择支中，如果变形是正确的话，左边应该始终比右边的值小1，在时，
A左=16，A右=17；B左=16，B右=15，则（即B被排除）；
C左=16，C右=17；D左=16，D右=15，则；
现在留下A、C两个选项，难道两个都是正确的吗？
当然不是。
我们再换一个的值试试：
取，那么原式左边=－8，原式右边=0，
也就是说：
在同样的条件下，如果是正确的变形，那么一定是满足左边=右边－8，反之，如果不满足这一条件，那么就一定是错的。
当时，A左=25≠A右－8，所以
这里需要提醒注意的是：
这样的方法只能用来排除错误，不能保证正确。
如在本题中，当时，虽然也有C左=C右－8，但不能就此判言C为正确，但因为A，B，D都已被排除，所以唯一留下的C选项必为对的。
再啰嗦一句：
上面介绍的“特殊值法”，在本题中其实反而显得很笨拙，但如果换个场合，有可能是一个高效、灵活的解题方法。
【题目星级】★★
14．（2015•广东省,第8题，3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是【】
A.B.C.D.
【答案】C.
【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式.
【分析】∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，即1＋4－9＞0，解得.
故选C.
15．（2015•甘肃兰州,第11题，4分）股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是
A.B.
C.D.
【答案】B
【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质
【知识准备】所谓某个量，它增长了，意味着增长部分是，那么它就由原来的，增长到了（），也就是
【思路点拔】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为或等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了，那么就是到了；
接下去要注意的是：
虽然第二天增长率同样为，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的，它是在的基础上增加到了倍（请注意增加和增加到的区别），因此，现在的股价是，也就是。
【解答过程】跌停后，股价为0.9，连续两天按照的增长率增长后，股价为，根据题意，得方程，那么正确选项为B。
【易错点津】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？
其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。
【题目星级】★★★
16．（2015•安徽省,第6题，4分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）
A．1.4（1＋x）＝4.5B．1.4（1＋2x）＝4.5
C．1.4（1＋x）2＝4.5D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．.
专题：
增长率问题．
分析：
根据题意可得等量关系：
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