北师大九年级上《第一章特殊平行四边形》单元综合检测题含答案.docx

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北师大九年级上《第一章特殊平行四边形》单元综合检测题含答案

第一章单元测试卷

（时间：

100分钟　　满分：

120分）

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1.下列性质中菱形不一定具有的性质是（C）

A．对角线互相平分B．对角线互相垂直

C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形

2.下列命题中，真命题是（D）

A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形

C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

3.菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（C）

A．2B.

C．1D.

4.如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（C）

A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角

第5题图）　　

第6题图）　　

第7题图）

5.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（C）

A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形

C．可能是轴对称图形D．当AC＝BD时它是矩形

6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6cm，8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（B）

A.

cmB.

cmC.

cmD．5

cm

7.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（D）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为（C）

A．3B．3.5C．2.5D．2.8

第8题图）　　　　

第9题图）　　　　

第10题图）

9.如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（D）

A.

B.

C．1－

D.

－1

10.如图，点E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，点P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ＋PR的值为（D）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11.已知菱形的周长是20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的另一条对角线长为6cm.

12.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB＝BC（答案不唯一），使其成为正方形．（只填一个即可）

13.如图，点E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.

第13题图）　　　

第15题图）　　　

第16题图）

14.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是30cm2.

15.如图，矩形ABCD的对角线BD的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为20.

16.如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4…在射线OM上，依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝2n＋1.

三、解答题

（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：

AE＝CE.

证明：

∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，

，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE

18.如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40cm，求菱形的高及面积．

解：

∵BD∶AC＝3∶4，∴设BD＝3x，AC＝4x，∴BO＝

，AO＝2x，又∵AB2＝BO2＋AO2，∴AB＝

x，∵菱形的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10（cm），即

x＝10，∴x＝4，∴BD＝12cm，AC＝16cm，∴S菱形ABCD＝

BD·AC＝

×12×16＝96（cm2），又∵S菱形ABCD＝AB·h，∴h＝

＝9.6（cm），菱形的高是9.6cm，面积是96cm2

19.如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF⊥CE，交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求AE的长．

解：

∵EF⊥EC，∴∠1＋∠3＝90°.∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.又∵EF＝EC，∴△EFA≌△CED（AAS），∴AE＝CD.设AE＝x，则DC＝x.由矩形的周长为16得2x＋2＝8，∴x＝3，即AE的长为3

四、解答题

（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20.如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.

（1）求证：

平行四边形ABCD是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形

（2）AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：

∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形（或：

∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形）

21.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.

（1）求证：

△DCA≌△EAC；

（2）只需添加一个条件，即AD＝BC（答案不唯一），可使四边形ABCD为矩形，请加以证明．

解：

（1）在△DCA和△EAC中，

∴△DCA≌△EAC（SSS）　

（2）添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由：

∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由

（1）知△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形

22.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE.

（1）求证：

四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

解：

（1）由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，∴EF∥CA，∴∠AEF＝∠EAC.∵AF＝CE＝AE，∴∠F＝∠AEF＝∠EAC＝∠ECA.又∵AE＝EA，∴△AEC≌△EAF，∴EF＝CA，∴四边形ACEF是平行四边形　

（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．理由：

∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝

AB.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE.∵AE＝CE，∴AE＝BE＝CE＝

AB，∴AC＝CE，由

（1）得四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.

（1）求证：

BE＝BF；

（2）若∠ABE＝20°，求∠BFE的度数；

（3）若AB＝6，AD＝8，求AE的长．

解：

（1）由题意得∠BEF＝∠DEF.∵四边形ABCD为矩形，∴DE∥BF，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF　

（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABF＝90°；而∠ABE＝20°，∴∠EBF＝90°－20°＝70°；又∵∠BEF＝∠BFE，∴∠BFE的度数为55°　（3）由题意知BE＝DE；设AE＝x，则BE＝DE＝8－x，由勾股定理得（8－x）2＝62＋x2，解得x＝

，即AE的长为

24.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

（1）求证：

AE＝DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由．

解：

（1）∵∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF　

（2）能，理由：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60－4t＝2t，解得t＝10，∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形　（3）①当∠DEF＝90°时，由

（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝

AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝

；③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝

s或12s时，△DEF为直角三角形

25.已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.

（1）如图1，连接AC交BF于点G，求证：

∠AGF＝∠AEB＋45°；

（2）如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求证：

AH＋BH＝BM；

（3）如图3，在

（2）的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面积．

解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∵AE⊥BF，∴∠AEB＋∠FBC＝90°，∵∠FBC＋∠BFC＝90°∴∠AEB＝∠BFC，∵∠AGF＝∠BFC＋∠ACF，∴∠AGF＝∠AEB＋45°　

（2）过C作CK⊥BM于K，∴∠BKC＝∠AHB＝90°，∵∠BMC＝45°，∴CK＝MK，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCK，∴△ABH≌△BCK（AAS），∴BH＝CK＝MK，AH＝BK，∴BM＝BK＋MK＝AH＋BH　（3）由

（2）得，BH＝CK＝MK，∵H为BM的三等分点，∴BH＝HK＝KM，过E作EN⊥CK于N，∴四边形HENK是矩形，∴HK＝EN＝BH，∠BHE＝∠ENC，∴△BHE≌△ENC（ASA），∴HE＝CN＝NK＝1，∴CK＝BH＝2，∴BM＝6，连接CH，∵HK＝MK，CK⊥MH，∠BMC＝45°，∴CH＝CM，∠MCH＝90°，∴∠BCH＝∠DCM，∴△BHC≌△DMC（SAS），∴BH＝DM＝2，∠BHC＝∠DMC＝135°，∴∠DMB＝90°，∴△BDM的面积为

DM·BM＝6