高一零点问题的解题方法共11页word资料.docx
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高一零点问题的解题方法共11页word资料
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课题
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谈函数与方程(零点问题)的解题方法
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——解题技能篇
从近几年高考试题看,函数的零点、方程的根的问题是高考的热点,题型主要以选择题、填空题为主,难度中等及以上.主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想.
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)零点存在性定理(函数零点的判定)
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
也可以说:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
[提醒] 此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.
(3)几个等价关系
函数y=f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与函数y=0(即x轴)有交点.
推广:
函数y=f(x)-g(x)有零点⇔方程f(x)-g(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)-g(x)的图象与y=0(即x轴)有交点.
推广的变形:
函数y=f(x)-g(x)有零点⇔方程f(x)=g(x)有实数根⇔函数y=f(x)的图象与y=g(x)有交点.
1.函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点吗?
是否任意函数都有零点?
提示:
函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数;并非任意函数都有零点,只有f(x)=0有根的函数y=f(x)才有零点.
2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定有f(a)·f(b)<0吗?
提示:
不一定,如图所示,f(a)·f(b)>0.
3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内,有f(a)·f(b)<0成立,那么y=f(x)在(a,b)内存在唯一的零点吗?
提示:
不一定,可能有多个.
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点,涉及题目的主要考向有:
1.函数零点的求解与所在区间的判断;
2.判断函数零点个数;
3.利用函数的零点求解参数及取值范围.
考向一、函数零点的求解与所在区间的判断
1.(2019·温州十校联考)设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
【解析】法一:
∵f
(1)=ln1+1-2=-1<0,f
(2)=ln2>0,∴f
(1)·f
(2)<0,∵函数f(x)=lnx+x-2的图象是连续的,∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).
法二:
函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=lnx,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围,如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).
【答案】B
2.(2019·西安五校联考)函数y=ln(x+1)与y=
的图象交点的横坐标所在区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
【解析】函数y=ln(x+1)与y=
的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-
的零点,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f
(1)=ln2-1<0,f
(2)=ln3-
>0,∴f(x)的零点所在区间为(1,2).
【答案】B
3.函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=________.
【解析】求函数f(x)=3x-7+lnx的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f
(2)=-1+ln2,由于ln2<lne=1,所以f
(2)<0,f(3)=2+ln3,由于ln3>1,所以f(3)>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.
【答案】2
4.(2019·长沙模拟)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )
A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内
【解析】本题考查零点的存在性定理.依题意得f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-b)(c-a)>0,因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a,b)和(b,c)内.
【答案】A
5.(2019·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}
C.{2-
,1,3}D.{-2-
,1,3}
【解析】令x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x.求函数g(x)=f(x)-x+3的零点等价于求方程f(x)=-3+x的解.当x≥0时,x2-3x=-3+x,解得x1=3,x2=1;当x<0时,-x2-3x=-3+x,解得x3=-2-
.
【答案】D
确定函数f(x)零点所在区间的方法
(1)解方程法:
当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看解得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点的存在性定理:
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:
通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
1.已知函数f(x)=
-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)
【解析】因为f
(1)=6-log21=6>0,f
(2)=3-log22=2>0,f(4)=
-log24=-
<0,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).
【答案】C
2.方程log3x+x=3的根所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
【解析】法一:
方程log3x+x=3的根即是函数f(x)=log3x+x-3的零点,由于f
(2)=log32+2-3=log32-1<0,f(3)=log33+3-3=1>0且函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.
∴函数f(x)的零点即方程log3x+x=3的根所在区间为(2,3).
法二:
方程log3x+x=3的根所在区间即是函数y1=log3x与y2=3-x交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示.由图知方程log3x+x=3的根所在区间为(2,3).
【答案】C
3.(2019·武汉调研)设a1,a2,a3均为正数,λ1<λ2<λ3,则函数f(x)=
+
+
的两个零点分别位于区间( )
A.(-∞,λ1)和(λ1,λ2)内B.(λ1,λ2)和(λ2,λ3)内
C.(λ2,λ3)和(λ3,+∞)内D.(-∞,λ1)和(λ3,+∞)内
【解析】本题考查函数与方程.利用零点存在定理求解.当x∈(λ1,λ2)时,函数图象连续,且x→λ1,f(x)→+∞,x→λ2,f(x)→-∞,所以函数f(x)在(λ1,λ2)上一定存在零点;同理当x∈(λ2,λ3)时,函数图象连续,且x→λ2,f(x)→+∞,x→λ3,f(x)→-∞,所以函数f(x)在(λ2,λ3)上一定存在零点,故选B.
【答案】B
考向二、判断函数零点个数
1.已知函数f(x)=
满足f(0)=1,且f(0)+2f(-1)=0,那么函数g(x)=f(x)+x的零点个数为________.
【解析】∵f(0)=1,∴c=1,又∵f(0)+2f(-1)=0,∴f(-1)=-1-b+1=-
,∴b=
.∴当x>0时,g(x)=2x-2=0有唯一解x=1;当x≤0时,g(x)=-x2+
x+1,令g(x)=0得x=-
或x=2(舍去),
综上可知,g(x)=f(x)+x有2个零点.
【答案】 2
2.(2019·高考天津卷)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
【解析】由f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=
x.
设g(x)=|log0.5x|,h(x)=
x,在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.
【答案】B
3.(2019·高考天津卷)已知函数f(x)=
函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.2 B.3
C.4D.5
【解析】分别画出函数f(x),g(x)的草图,观察发现有2个交点.
【答案】A
4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是________.
【解析】由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如下:
观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.
【答案】4
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法:
令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理法:
利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.
(3)数形结合法:
转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
1.(2019·淄博期末)函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是________.
【解析】函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数,即为函数y=ln(x+1)与y=x-1图象的交点个数.在同一坐标系内分别作出函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象,如图,
由图可知函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是2.
【答案】2
2.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=
则方程f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]上的解的个数为( )
A.5B.7
C.8D.10
【解析】依题意得,函数f(x)是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象,
结合图象得,当x∈[-5,5]时,它们的图象的公共点共有8个,即方程f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]上的解的个数为8.
【答案】C
考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围
1.(2019·合肥检测)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为( )
A.0B.-
C.0或-
D.2
【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.∴Δ=1+4a=0,解得a=-
.综上,当a=0或a=-
时,函数仅有一个零点.
【答案】C
2.(2019·洛阳模拟)已知方程|x2-a|-x+2=0(a>0)有两个不等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4)B.(4,+∞)
C.(0,2)D.(2,+∞)
【解析】依题意,知方程|x2-a|=x-2有两个不等的实数根,即函数y=|x2-a|的图象与函数y=x-2的图象有两个不同交点.如图,则
>2,即a>4.
【答案】B
3.已知函数f(x)=log2x-
x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0A.恒为负B.等于零
C.恒为正D.不小于零
【解析】在同一坐标系中作出y=log2x和y=
x的图象,由图象知f(x1)<0.
【答案】A
4.(2019·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=
.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________.
【解析】当x∈[0,3)时,f(x)=
=
,由f(x)是周期为3的函数,作出f(x)在[-3,4]上的图象,如图.
函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有互不相同的10个零点,即函数y=f(x),x∈[-3,4]与y=a的图象有10个不同交点,在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图,可知当0<a<
时满足题意.
【答案】
5.(2019·湖北八校联考)已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=
-a(x≠0)有且仅有3个零点,则a的取值范围是( )
A.
∪
B.
∪
C.
∪
D.
∪
【解析】当0<x<1时,f(x)=
-a=-a;当1≤x<2时,f(x)=
-a=
-a;当2≤x<3时,f(x)=
-a=
-a;….f(x)=
-a的图象是把y=
的图象进行纵向平移而得到的,画出y=
的图象,如图所示,通过数形结合可知a∈
∪
.
【答案】A
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法:
(1)直接法:
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
1.(2019·莱芜一模)已知函数f(x)=
则函数f(x)的零点为( )
A.
,0 B.-2,0
C.
D.0
【解析】当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=
,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.
【解析】D
2.已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.
【解析】画出f(x)=
的图象,如图.
由函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得:
0<m<1,即m∈(0,1).
【答案】(0,1)
3.已知函数f(x)=
有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
【解析】要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x≤0时,方程2x-a=0,即2x=a必有一根,此时0<a≤1;当x>0时,方程x2-3ax+a=0有两个不等实根,即方程x2-3ax+a=0有2个不等正实根,于是
∴a>
,故
<a≤1.
【答案】
必记结论 有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
1.(2019·高考安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=cosxB.y=sinx
C.y=lnxD.y=x2+1
【解析】y=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.
【答案】A
2.函数f(x)=2x-
-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3)B.(1,2)
C.(0,3)D.(0,2)
【解析】由题意知f
(1)·f
(2)<0,即a(a-3)<0,∴0<a<3.
【答案】C
3.(2019·东城期末)函数f(x)=ex+
x-2的零点所在的区间是( )
A.
B.
C.(1,2)D.(2,3)
【解析】∵f
=
-
<
-
<0,f
(1)=e-
>0,∴零点在区间
上.
【答案】B
4.(2019·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是( )
A.
B.(-∞,-1)∪
C.
D.(-∞,-1)
【解析】当a=0时,f(x)=1与x轴无交点,不合题意,所以a≠0;函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)内是单调函数,所以f(-1)·f
(1)<0,即(5a-1)(a+1)>0,解得a<-1或a>
.
【答案】B
5.f(x)是R上的偶函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则函数y=f(x)-|log5x|的零点个数为( )
A.4B.5C.8D.10
【解析】由零点的定义可得f(x)=|log5x|,两个函数图象如图,总共有5个交点,所以共有5个零点.
【答案】B
6.(2019·开封模拟)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是( )
A.7B.8C.9D.10
【解析】依题意得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的函数.在平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与y=lg(x+1)的图象(如图所示),
观察图象可知,这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个,因此,当x∈[0,9]时,方程f(x)=lg(x+1)的解的个数是9.
【答案】C
7.(2019·南宁模拟)已知函数f(x)=lnx+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=________.
【解析】∵f
(2)=ln2+6-8=ln2-2<0,f(3)=ln3+9-8=ln3+1>0,且函数f(x)=lnx+3x-8在(0,+∞)上为增函数,∴x0∈[2,3],即a=2,b=3.∴a+b=5.
【答案】5
8.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(-x+2)=f(-x),当x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则y=f(x)与y=log7x的交点的个数为________.
【解析】因为f(-x+2)=f(-x),所以y=f(x)为周期函数,其周期为2.在同一直角坐标系中,画出函数y=f(x)和y=log7x的图象如图,
当x=7时,f(7)=1,log77=1,故y=f(x)与y=log7x共有6个交点.
【答案】6
9.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2;函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数共有________个.
【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知有8个交点.
【答案】8
10.(2019·高考湖南卷)已知函数f(x)=
若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是________.
【解析】令φ(x)=x3(x≤a),h(x)=x2(x>a),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点,结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a),即a<0或a3>a2,解得a<0或a>1,故a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
【答案】(-∞,0)∪(1,+∞)
1.(2019·高考山东卷)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.(1,2)D.(2,+∞)
【解析】先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,
当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为
,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的范围为
.
【答案】B
2.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞)B.
C.(1,+∞)D.(0,1)
【解析】函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a(a>0且a≠1)的图象有两个交点,由图1知,当0<a<1时,两函数的图象只有一个交点,不符合题意;由图2知,当a>1时,因为函数y=ax(a>1)的图象与y轴交于点(0,1),而直线y=x+a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以两函数的图象一定有两个交点,所以实数a的取值范围是a>1.
【答案】C
3.(2019·高考天津卷)已知函数f(x)=
函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即方程f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x)有4个不同的实数根,即直线y=b与