第5课 图101106.docx
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第5课图101106
第五课图
一、选择题
1．图中有关路径的定义是（）。
A．由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列B．由不同顶点所形成的序列
C．由不同边所形成的序列D．上述定义都不是
参考答案：
A
2．设无向图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。
A．n-1B．n（n-1）/2C．n（n+1）/2D．0E．n2
参考答案：
B
备注：
设有向图的顶点个数为n，则该图最多有n（n-1）条边。
3．一个n个顶点的连通无向图，其边的个数至少为（）。
A．n-1B．nC．n+1D．nlogn
参考答案：
A
4．要连通具有n个顶点的有向图，至少需要（）条边。
A．n-lB．nC．n+lD．2n
参考答案：
B
5．n个结点的完全有向图含有边的数目（ ）。
A．n*nＢ．n（n+1）C．n／2D．n*（n-1）
参考答案：
D
6．一个有n个结点的图，最少有（）个连通分量。
A．0B．1C．n-1D．n
参考答案：
B
7．一个有n个结点的图，最多有（）个连通分量。
A．0B．1C．n-1D．n
参考答案：
D
8．用有向无环图描述表达式（A+B）*（（A+B）/A），至少需要顶点的数目为（ ）。
A．5B．6C．8D．9
参考答案：
A
9．用DFS遍历一个无环有向图，并在DFS算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的顶点序列是（ ）。
A．逆拓扑有序B．拓扑有序C．无序的
参考答案：
A
10．下面结构中最适于表示稀疏无向图的是（）。
A．邻接矩阵B．逆邻接表C．邻接多重表D．十字链表E．邻接表
参考答案：
C
11．下列哪一种图的邻接矩阵是对称矩阵？
（）
A．有向图B．无向图C．AOV网D．AOE网
参考答案：
B
12．当一个有N个顶点的图用邻接矩阵A表示时，顶点Vi的度是（）。
A．
B．
C．
D．
+
参考答案：
B
13．下列说法不正确的是（）。
A．图的遍历是从给定的源点出发每一个顶点仅被访问一次
B．遍历的基本算法有两种：
深度遍历和广度遍历
C．图的深度遍历不适用于有向图
D．图的深度遍历是一个递归过程
参考答案：
C
14．无向图G=（V,E）,其中：
V={a,b,c,d,e,f},E={（a,b）,（a,e）,（a,c）,（b,e）,（c,f）,（f,d）,（e,d）}，对该图进行深度优先遍历，得到的顶点序列正确的是（）。
A．a,b,e,c,d,fB．a,c,f,e,b,dC．a,e,b,c,f,dD．a,e,d,f,c,b
参考答案：
D
15．设图如右所示，
，在下面的5个序列中，符合深度优先遍历的序列有（）个。
aebdfcacfdebaedfcbaefdcbaefdbc
A．5个B．4个C．3个D．2个
参考答案：
D
16．下列方法中可以判断出一个有向图是否有环（回路）的是（ ）。
A．广度优先遍历B．拓扑排序C．求最短路径D．求关键路径
参考答案：
B
17．下列方法中可以判断出一个有向图是否有环（回路）的是（ ）。
A．深度优先遍历B．广度优先遍历C．求最短路径D．求关键路径
参考答案：
A
18．在图采用邻接表存储时，求最小生成树的Prim算法的时间复杂度为（ ）。
A．O（n）B．O（n+e）C．O（n2）D．O（n3）
参考答案：
B
19．当各边上的权值（ ）时，BFS算法可用来解决单源最短路径问题。
A．均相等B．均互不相等C．不一定相等
参考答案：
A
20．求解最短路径的Floyd算法的时间复杂度为（ ）。
A．O（n）B．O（n+c）C．O（n*n）D．O（n*n*n）
参考答案：
D
21．已知有向图G=（V,E），其中V={V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7}，E={,,,,,,,,}，G的拓扑序列是（）。
A．V1,V3,V4,V6,V2,V5,V7B．V1,V3,V2,V6,V4,V5,V7
C．V1,V3,V4,V5,V2,V6,V7D．V1,V2,V5,V3,V4,V6,V7
参考答案：
A
22．若一个有向图的邻接矩阵中，主对角线以下的元素均为零，则该图的拓扑有序序列（）。
A．存在B．不存在
参考答案：
A
23．一个有向无环图的拓扑排序序列（）是唯一的。
A．一定B．不一定
参考答案：
A
24．在有向图G的拓扑序列中，若顶点Vi在顶点Vj之前，则下列情形不可能出现的是（）。
A．G中有弧B．G中有一条从Vi到Vj的路径
C．G中没有弧D．G中有一条从Vj到Vi的路径
参考答案：
D
25．在用邻接表表示图时，拓扑排序算法时间复杂度为（ ）。
A．O（n）B．O（n+e）C．O（n*n）D．O（n*n*n）
参考答案：
B
26．关键路径是事件结点网络中（）。
A．从源点到汇点的最长路径B．从源点到汇点的最短路径
C．最长回路D．最短回路
参考答案：
A
27．下面关于求关键路径的说法不正确的是（）。
A．求关键路径是以拓扑排序为基础的
B．一个事件的最早开始时间同以该事件为尾的弧的活动最早开始时间相同
C．一个事件的最迟开始时间为以该事件为尾的弧的活动最迟开始时间与该活动的持续时间的差
D．关键活动一定位于关键路径上
参考答案：
C
28．下列关于AOE网的叙述中，不正确的是（）。
A．关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间
B．任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
C．所有的关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
D．某些关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
参考答案：
B
29．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（）倍。
A．1/2B．2C．1D．4
参考答案：
B
30．在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（）倍。
A．1/2B．2C．1D．4
参考答案：
C
二、应用题
1．
（1）如果G1是一个具有n个顶点的连通无向图，那么G1最多有多少条边？
G1最少有多少条边？
参考答案：
G1最多n（n-1）/2条边，最少n-1条边。
（2）如果G2是一个具有n个顶点的强连通有向图，那么G2最多有多少条边？
G2最少有多少条边？
参考答案：
G2最多n（n-1）条边，最少n条边。
2．n个顶点的无向连通图最少有多少条边？
n个顶点的有向连通图最少有多少条边？
参考答案：
n-1，n
3．证明：
具有n个顶点和多于n-1条边的无向连通图G一定不是树。
参考答案：
具有n个顶点n-1条边的无向连通图是自由树，即没有确定根结点的树，每个结点均可当根。
若边数多于n-1条，因一条边要连接两个结点，则必因加上这一条边而使两个结点多了一条通路，即形成回路。
4．用邻接矩阵表示图时，矩阵元素的个数与顶点个数是否相关？
与边的条数是否有关？
参考答案：
设图的顶点个数为n（n≥0），则邻接矩阵元素个数为n2，即顶点个数的平方，与图的边数无关。
5．请回答下列关于图（Graph）的一些问题：
（1）有n个顶点的有向强连通图最多有多少条边?
最少有多少条边?
（2）表示有1000个顶点、l000条边的有向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？
是否稀疏矩阵？
（3）对于一个有向图，不用拓扑排序，如何判断图中是否存在环？
参考答案：
（1）n（n-1），n
（2）106，不一定是稀疏矩阵（稀疏矩阵的定义是非零个数远小于该矩阵元素个数，且分布无规律）
（3）使用深度优先遍历，按退出DFS过程的先后顺序记录下的顶点是逆向拓扑有序序列。
若在执行DFS（v）未退出前，出现顶点u到v的回边，则说明存在包含顶点v和顶点u的环。
6．设有数据逻辑结构为：
B=（K,R）,K={k1,k2,…,k9}
R={,,,,,,,,,,}
（1）画出这个逻辑结构的图示。
（2）相对于关系r，指出所有的开始接点和终端结点。
（3）分别对关系r中的开始结点，举出一个拓扑序列的例子。
（4）分别画出该逻辑结构的正向邻接表和逆向邻接表。
参考答案：
（1）略。
（2）开始结点：
（入度为0）K1，K2，终端结点（出度为0）K6，K7。
（3）拓扑序列K1，K2，K3，K4，K5，K6，K8，K9，K7
K2，K1，K3，K4，K5，K6，K8，K9，K7
规则：
开始结点为K1或K2，之后，若遇多个入度为0的顶点，按顶点编号顺序选择。
（4）略。
7．有向图的邻接表存储如下，要求：
（1）画出其邻接矩阵存储；
（2）写出图的所有强连通分量；（3）写出顶点a到顶点i的全部简单路径。
参考答案：
（1）略。
（注：
邻接矩阵下标按字母升序:
abcdefghi）
（2）强连通分量：
（a），（d），（h），（b，e，i，f，c，g）
（3）顶点a到顶点i的简单路径：
（a->b->e->i），（a->c->g->i），（a->c->b->e->i）。
8．如何对有向图中的顶点号重新安排可使得该图的邻接矩阵中所有的1都集中到对角线以上？
参考答案：
按各顶点的出度进行排序。
n个顶点的有向图，其顶点最大出度是n-1，最小出度为0。
这样排序后，出度最大的顶点编号为1，出度最小的顶点编号为n。
之后，进行调整，即若存在弧，而顶点j的出度大于顶点i的出度，则将把j编号在顶点i的编号之前。
9．首先将如下图所示的无向图给出其存储结构的邻接链表表示，然后写出对其分别进行深度，广度优先遍历的结果。
参考答案：
深度优先遍历序列：
125967384；宽度优先遍历序列：
123456789。
注：
（1）邻接表不唯一，这里顶点的邻接点按升序排列；
（2）在邻接表确定后，深度优先和宽度优先遍历序列唯一；（3）这里的遍历，均从顶点1开始。
10．下面的邻接表表示一个给定的无向图，
（1）给出从顶点v1开始，对图G用深度优先搜索法进行遍历时的顶点序列；
（2）给出从顶点v1开始，对图G用广度优先搜索法进行遍历时的顶点序列。
参考答案：
（1）V1V2V4V3V5V6；
（2）V1V2V3V4V5V6。
11．设G=（V,E）以邻接表存储，如图所示，试画出图的深度优先和广度优先生成树。
参考答案：
深度优先生成树：
广度优先生成树：
12．对一个图进行遍历可以得到不同的遍历序列，那么导致得到的遍历序列不唯一的因素有哪些？
参考答案：
遍历不唯一的因素有：
开始遍历的顶点不同；存储结构不同；在邻接表情况下邻接点的顺序不同。
13．某田径赛中各选手的参赛项目表如下:
姓名参赛项
ZHAOABE
QIANCD
SHUNCEF
LIDFA
ZHOUBF
设项目A,B,…，F各表示一数据元素，若两项目不能同时举行，则将其连线（约束条件）。
（1）根据此表及约束条件画出相应的图状结构模型，并画出此图的邻接表结构；
（2）写出从元素A出发按“广度优先搜索”算法遍历此图的元素序列。
参考答案：
（1）
（2）AFEDBC或ABDEFC。
14．已知无向图如下所示：
（1）给出从V1开始的广度优先搜索序列；
（2）画出它的邻接表；（3）画出从V1开始深度优先搜索生成树。
参考答案：
设邻接表（略）中顶点的邻接点按顶点编号升序排列（V1编号为1），广度优先搜索序列：
V1V2V3V4V5V6V7V8；深度优先搜索序列：
V1V2V4V8V5V3V6V7。
15．已知某图的邻接表为
（1）写出此邻接表对应的邻接矩阵；
（2）写出由v1开始的深度优先遍历的序列；
（3）写出由v1开始的深度优先的生成树；
（4）写出由v1开始的广度优先遍历的序列；
（5）写出由v1开始的广度优先的生成树；
（6）写出将无向图的邻接表转换成邻接矩阵的算法。
参考答案：
（1）略。
（2）V1V2V5V3V4V6
（3）
（4）V1V2V3V4V5V6
（5）
（6）voidAdjListToAdjMatrix（AdjListgl,AdjMatrixgm）
//将图的邻接表表示转换为邻接矩阵表示。
{for（i=1;i<=n;i++）//设图有n个顶点，邻接矩阵初始化。
for（j=1;j<=n;j++）gm[i][j]=0;
for（i=1;i<=n;i++）
{p=gl[i].firstarc;//取第一个邻接点。
while（p!
=null）{gm[i][p->adjvex]=1;p=p->next;}//下一个邻接点
}//for
}//算法结束
16．考虑右图：
（1）从顶点A出发，求它的深度优先生成树；
（2）从顶点E出发，求它的广度优先生成树；
（3）根据普利姆（Prim）算法，求它的最小生成树。
参考答案：
设该图用邻接表存储结构存储，顶点的邻接点按顶点编号升序排列
（1）ABGFDEC
（2）EACFBDG
（3）
17．在什么情况下，Prim算法与Kruskual算法生成不同的MST？
参考答案：
在有相同权值边时生成不同的MST，在这种情况下，用Prim或Kruskal也会生成不同的MST。
18．已知一个无向图如下图所示，要求分别用Prim和Kruskal算法生成最小树（假设以①为起点，试画出构造过程）。
参考答案：
Prim算法构造最小生成树的步骤：
（1,6）,（1,5）,（6,2）,（2,3）,（3,4）
Kruskal算法，构造最小生成树过程：
（2,3）,（3,4）（或（2,4））,（1,6）,（5,6）（或（1，5））,（2,6）
19．G=（V,E）是一个带有权的连通图，则：
（1）请回答什么是G的最小生成树；
（2）G为下图所示，请找出G的所有最小生成树。
参考答案：
（2）2棵：
和
20．试写出用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法构造下图的一棵最小生成树的过程。
参考答案：
V（G）={1，2，3，4，5，6，7}
E（G）={（1，6，4），（1，7，6），（2，3，5），（2，4，8），（2，5，12），（1，2，18）}
21．求出下图的最小生成树。
参考答案：
V（G）={1，2，3，4，5，6，7，8}
E（G）={（3，8，2），（4，7，2），（3，4，3），（5，8，3），（2，5，4），（6，7，4），（1，2，5）}
注：
（或将（3，4，3）换成（7，8，3））
22．一带权无向图的邻接矩阵如下图，试画出它的一棵最小生成树。
参考答案：
设顶点集合为{1，2，3，4，5，6}，由右边的逻辑图可以看出，在{1，2，3}和{4，5，6}回路中，各任选两条边，加上（2，4），则可构成9棵不同的最小生成树。
23．下图表示一个地区的通讯网，边表示城市间的通讯线路，边上的权表示架设线路花费的代价，如何选择能沟通每个城市且总代价最省的n-1条线路，画出所有可能的选择。
参考答案：
V（G）={1,2,3,4,5,6}
E1（G）={（1，2，16），（2，3，5），（2，6，6），（2，4，11），（6，5，18）}，
E2（G）={（1，2，16），（2，3，5），（3，6，6），（2，4，11），（6，5，18）}
24．设无向网G如下：
（1）设顶点a、b、c、d、e、f、h的序号分别为1、2、3、4、5、6、7，请列出网G的邻接矩阵、画出网G的邻接表结构；
（2）写出从顶点a出发,按“深度优先搜索”和“广度优先搜索”方法遍历网G所得到的顶点序列；
（3）按Prim算法求出网G的一棵最小生成树。
参考答案：
（2）深度优先搜索序列：
abcdehf；宽度优先搜索序列：
abfcdef；
（3）最小生成树：
。
25．有一图的邻接矩阵如下，试给出用弗洛伊德算法求各点间最短距离的矩阵序列A1，A2，A3，A4。
A=
参考答案：
A0=
A1=
A2=
A3=
A4=
26．下图所示是一带权有向图的邻接表法存储表示。
其中出边表中的每个结点均含有三个字段，依次为边的另一个顶点在顶点表中的序号、边上的权值和指向下一个边结点的指针。
试求：
（1）该带权有向图的图形；
（2）从顶点V1为起点的广度优先周游的顶点序列及对应的生成树（即支撑树）；
（3）以顶点V1为起点的深度优先周游生成树；
（4）由顶点V1到顶点V3的最短路径。
参考答案：
（2）V1,V2,V4,V6,V3,V5
（3）顶点集合V（G）={V1,V2,V3,V4,V5,V6}；边的集合E（G）={（V1,V2）,（V2,V3）,（V1,V4）,（V4,V5）,（V5,V6）}
（4）V1到V3最短路径为67：
（V1—V4—V3）。
27．用最短路径算法，求如下图中a到z的最短通路。
参考答案：
注：
（1）本表中DIST中各列最下方的数字是顶点a到顶点的最短通路，a到z为13。
（2）DIST数组的常量表达式（即下标）应为符号常量，即‘b’，‘c’等，为节省篇幅，用了b,c等。
（3）最短路径问题属于有向图，本题给出无向图，只能按有向完全图理解。
28．求出下图中顶点1到其余各顶点的最短路径。
参考答案：
顶点1到其它顶点的最短路径依次是20，31，28，10，17，25，35。
按Dijkstra算法所选顶点依次是5，6，2，7，4，3，8，其步骤原理略。
29．试利用Dijkstra算法求下图中从顶点a到其他个顶点间的最短路径，写出执行算法过程中各步的状态。
参考答案：
顶点a到顶点b，c，d，e，f，g间的最短路径分别是15，2，11，10，6，13。
30．已知图的邻接矩阵为：
当用邻接表作为图的存储结构，且邻接表都按序号从大到小排序时，试写出：
（1）以顶点V1为出发点的唯一的深度优先遍历；
（2）以顶点V1为出发点的唯一的广度优先遍历；
（3）该图唯一的拓扑有序序列。
参考答案：
（1）深度优先遍历：
V1V2V4V6V8V10V9V7V5V3；
（2）广度优先遍历：
V1V2V3V4V5V6V7V9V8V10；
（3）V1,V2,V5,V3,V4,V6,V8,V7,V9,V10，设一栈，将入度为零的顶点放入栈中。
31．已知一图如下图所示：
（1）写出该图的邻接矩阵；
（2）写出全部拓扑排序；
（3）以v1为源点,以v8为终点，给出所有事件允许发生的最早时间和最晚时间，并给出关键路径；
（4）求V1结点到各点的最短距离。
参考答案：
（1）
（2）略
（3）关键路径有3条，长17。
（各事件允许发生的最早时间和最晚时间略）
V1->V2->V4->V6->V8，V1->V3->V5->V7->V8，V1->V2->V4->V6->V5->V7->V8
（4）V1结点到其它各结点的最短距离为：
2，3，6，12，10，15，16。
32．下图是带权的有向图G的邻接表表示法，求：
（1）以结点V1出发深度遍历图G所得的结点序列；
（2）以结点V1出发广度遍历图G所得的结点序列；
（3）从结点V1到结点V8的最短路径；
（4）从结点V1到结点V8的关键路径。
参考答案：
（1）V1,V2,V3,V8,V5,V7,V4,V6；
（2）V1,V2,V4,V6,V3,V5,V7,V8；
（3）V1到V8最短路径56，路径为V1----V2----V5----V7----V8；
（4）V1到V8的关键路径是V1----V6----V5----V3----V8，长97。
33．下表给出了某工程各工序之间的优先关系和各工序所需时间，要求：
（1）画出相应的AOE网；
（2）列出各事件的最早发生时间,最迟发生时间；
（3）找出关键路径并指明完成该工程所需最短时间。
工序代号
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
所需时间
15
10
50
8
15
40
300
15
120
60
15
30
20
40
先驱工作
--
--
A,B
B
C,D
B
E
G,I
E
I
F,I
H,J,K
L
G
参考答案：
（1）AOE网如右图图中虚线表示在时间上前后工序之间仅是接续顺序关系不存在依赖关系。
顶点代表事件，弧代表活动，弧上的权代表活动持续时间。
题中顶点1代表工程开始事件，顶点11代表工程结束事件。
（2）各事件发生的最早和最晚时间如下表
（3）关键路径为顶点序列：
1->2->4->6->8->9->10->11；事件序列：
A->C->E->G->H->L->M，完成工程所需的最短时间为445。
34．对图示的AOE网络，计算各活动弧的e（ai）和l（ai）的函数值，各事件（顶点）的ve（Vj）和vl（Vj）的函数值，列出各条关键路径。
参考答案：
关键路径是：
活动与顶点的对照表：
a1<α,A>a2<α,B>a3<α,C>a4<α,D>a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16a17
35．设有ＡＯＥ网如下，试求关键路径。
参考答案：
关键路径１：
v1→v2→v5→v7
关键路径２：
v1→v3→v6→v7
36．请写出应填入下列叙述中（）内的正确答案。
某一工程作业的网络图如下图所示：
其中箭头表示作业，箭头边的数字表示完成作业所需的天数。
箭头前后的圆圈表示事件，圆圈中的数字表示事件的编号。
用事件编号的序列（例如0-2-7-9-11）表示进行作业的路径。
完成此工程的关键路径是（A）完成此工程所需的最少天数为（B）天，此工程中具有最大充裕天数的事件是（C），充裕天数是（D）。
关键路径上的事件的充裕天数是（E）。
参考答案：
A．0—2—6—9—11；B．20；C．1，5，7；D．各2天；E．0。
37．设有无向网如下，写出其邻接矩阵，并在此基础上按普里姆算法求最小生成树。
参考答案：
邻接矩阵：
最小生成树：
38．试写出对如下有向无环图进行拓扑排序可能得到的所有拓扑序列。
参考答案：
每次输出一个入度为０的顶点。
ａｂｃｄｅｆｇ、ａｂｃｄｆｅｇ、ａｂｃｆｄｅｇ。
39．设有向网如下，用弗洛伊德算法求图中各对顶点间的最短路径。
参考答案：
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