等边三角形具有轴对称性与旋转对称性.docx

等边三角形具有轴对称性与旋转对称性.docx

《等边三角形具有轴对称性与旋转对称性.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等边三角形具有轴对称性与旋转对称性.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

等边三角形具有轴对称性与旋转对称性

等边三角形具有轴对称性和旋转对称性，四平八稳的图形却能够构造出千姿百态的图形，是三角形中最具魅力的图形。

因为正三角形的一半是特殊的直角三角形，因此正三角形的问题又常常转化为直角三角形来解决。

今撰斯文，欲展现正三角形的众多性质，你读罢定会感慨几回。

一、三垂线

例1 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足别离为D、E、F，求证：

OD+OE+OF等于正三角形的高。

证明：

连结OA,OB,OC，设正三角形高为h，因为

因此，

因为AB=BC=CA，

因此OD+OE+OF=h.

例2 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足别离为D、E、F，求证：

AD+BE+CF=BD+CE+AF.

解法一

利用勾股定理，有

类似地还有其他2个等式，三个式子相加，化简取得：

即

化简：

，a是正三角形的边长。

解法二

如图，过O作MN∥BC，交AB、AC于点M、N，过M作MH⊥BC交BC于点H,

则

同理

∴

.

又：

在这种辅助线下，还能够设DO=x，OE=y，OF=z，

于是正三角形的高是x+y+z，从而边长能够被表示，MD,MH,BM能够表示。

进而AD能够表示，如此表示BE,CF也不难了，AD+BE+CF就能够够被x,y,z来表示。

能够确信AD+BE+CF表示后的结果必然是周长的一半。

解法三

如图，延长EO、FO交边于G,H，过G,H作边的平行线GM,HN，

则

.

例3 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足别离为D、E、F，求证：

。

解：

过O作BC的平行线，将三角形分成上下两部份，如图，上部份相当于证明O在BC上时，黄色部份面积为正三角形面积的一半。

证明如下：

设AB=2a，∴

，设OF=x，那么AD=

，

那么黄色面积=

=

=

.

如图，关于下半部份的证明类似。

故结论得证。

二、三交线

如图，在正三角形ABC的三边上依次取BD=CE=AF，连AD、BE、CF，交点是P、Q、R，那个图的内部有三条交线，里面形成一个正三角形，两个正三角形的面积之比取决于BD和DC之比。

若是去掉一条交线，又会取得一个熟知的图形。

例4 如上图及已知，当BD:

DC=1:

n时，求小正三角形与大正三角形面积的比。

（自编题）

解：

过D作DG∥CF，那么可证

，

进而

，

又

，∴

，

因此

，

在△ABD中设BD=1，AB=n+1，

∵∠ABD=60°，∴

，

∴

，

∴

，

由两个正三角形相似得，小与大的面积之比是

。

例5 如上图，正三角形ABC中，BD=CE，BE、AD交于P写出那个图形尽可能多的性质。

（自编题）

解：

①有2对全等三角形；②有6对相似三角形；③∠APE=60°；④

、

。

三、到三极点的距离

例6 如图，P在正三角形ABC内，P到三个极点的距离别离是3、4、5，求△ABC的面积（精准到）。

解：

如图，将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AQB，设QB=PC=3，QP=AP=4，PB=5，易证∠APC=∠AQB=150°,如左图，作BH⊥AQ，因∠BQH=30°，故BH=，

，由勾股定理能够求出AB，进而求出面积的近似值。

四、正三角形拼图

一、三角板拼图

例7 如图1是由四块全等的含有30°角的直角三角板拼成的正方形，已知里面小正方形的边长为

．如图2，取其中的三块直角三角板拼成等边三角形ABC，再以O为原点，AB所在直线为x轴成立平面直角坐标系．（自编题）

（1）求等边△ABC的面积；

（2）求BC边所在直线的解析式；

（3）将第四块直角三角板与△CDE重合，然后绕点E按逆时针方向旋转60°后得△EC’D’，问点C’是不是落在直线BC上？

请你作出判定，并说明理由．

解略。

二、两个正三角形拼菱形

例8 两个正三角形拼成一个菱形ABCD，

（1）此菱形有哪些性质？

（2）在BC、CD上各取一点E、F，使BE=CF，求证：

△AEF是正三角形。

解：

（1）较长对角线是较短对角线的

倍；过A点的高平分BC；有120°的内角。

在菱形中只要知足这三条之一的，必知足其余。

（2）略

3、三个正三角形拼梯形

例9 如图，三个正三角形拼成等腰梯形，此梯形有哪些性质？

（自编题）

解：

①有60°的底角；②下底是腰的一半；③周长是腰的5倍；④对角线AC垂直腰BC；⑤对角线平分60°的底角；⑥上底等于腰。

一个等腰梯形具有这6个结论中的任意2个，必同时知足其余的结论。

五、正三角形内的正方形

例10 如图，正△ABC中，BC=

，在BC上取一点A1，作A1A2⊥BC交BC于A2，在△ABC内部作正方形A1A2A3A4。

过A3点作AB的垂线交AB于C4，在△ABC内部作正方形C1C2C3C4，其中C1在AB上，C2在AC上，而且所作的两个正方形边长相等。

又过C3点作AC的垂线交AC于B4，交A3A4于B3，在△ABC内部作正方形B1B2B3B4，其中B1在AC上。

（自编题）

（1）求A1A2的长；

（2）求证：

正方形B1B2B3B4的边长与正方形A1A2A3A4的边长相等；

（3）求证：

B2在BC上。

解：

（1）设正方形的边长为x，那么

，

，

因此

，解之x=2。

（2）易证

是正三角形，

，

因此

，即

，

故正方形

的边长与正方形

的边长相等。

（3）

，

又因为

，由勾股定理得

，故

即B2在BC上。

六、两个正三角形组合

两个正三角形能够组成许多有趣的图形，有些图形的结论还鲜为人知呢。

例11 如图△ABC和△BDE均为正三角形，AE和CD交于P。

（1）当A、B、D共线时，求证：

∠APB=∠DPB=60°；

（2）当A、B、D不共线时，∠CPB=∠EPB=60°吗？

什么缘故？

解：

两个问题的证明完全一样。

作△ABE和△CBD的高BG、BH，有这两个三角形全等可知，BG=BH，因此BP平分∠APD（或∠CPE），因△ABE和△CBD能够看做绕B点旋转90°重合的，因此对应边AE和CD所成的角为60°，即∠APC=60°，故结论成立。

试探：

若是将△EBD沿BD反射，结果又会如何呢？

例12 如图，△AOB和△BCD均是正三角形，点O是坐标原点，A（2,0），C是x轴上一点，D、O在BC异侧，问：

当C点运动时，D点运动的轨迹是什么？

（也能够问：

当C点运动时，直线AD是不是固定？

什么缘故）

解：

能够证明△OBC≌△ABD，因此∠BAD=60°，因此D点运动的轨迹是直线

。

试探：

（1）将条件“D、O在BC异侧”改成“D、O在BC同侧”，结论又如何呢？

（2）如以下图，若是将条件“C是x轴上一点”改成“C是y轴上一点”，“正三角形△BCD”改成“正三角形△CAD”，BD和AB的关系如何呢？

（3）如以下图，若是将条件“C是x轴上一点”改成“C是OB上一点”，“正三角形△BCD”改成“正三角形△CAD”，DB和OA的关系如何呢？

例13 判定命题“△ABC和△ABD有公共边AB，且C、D在AB同侧，若是AD和BC相交且相等，那么△ABC≌△ABD”是不是成立？

解：

若是咱们画出如下的图形，可能很难判定命题的真假。

注意，并非能因为是“边边角”就判定是假命题，关于“边边角”的更多内容，请参见“”。

本命题确为假命题。

以前，我举的反例是：

在正三角形BCE中，A是CE上的点（非中点），将△ABE绕AB的中点旋转180°取得△ABD，这确实是反例。

后来找到了用两个正三角形来组成反例的图形：

如图，△APC和△BPD均为正三角形，A、P、D共线，那个图形确实是反例。

试探：

用两个等腰三角形来代替△APC和△BPD能够吗?

七、正三角形分割

例14 用多种方式将正三角形分割成4个等腰三角形。

解：

至少有以上4种分割方式。

值得惊奇的是竟然有一种不对称的分割。

试探：

还有其它方式吗？

例14-2 以下两个图形是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF，要求把它们别离分割成3个三角形，使得△ABC分出的3个三角形与△DEF分出的3个三角形别离相似。

解：

我想到以下几种方式，必然还有其它方式哦，想到了再补充。

追加：

2020年4月28日江东区的数学教研活动中，专题研究了此题，同行们又得出了以下4种不同的分割方式：

八、找等腰点

例15 已知正三角形ABC，在平面上找一点P，使△ABP、△BCP、△CAP均为等腰三角形，如此的P点有种不同的位置。

解：

如图，在BC的中垂线上符合条件的点有4个，而边的中垂线有3条，故共有10个不同的位置（其中形内只有一点）。

九、正三角形网格

正三角形网格能发挥正方形网格力不能及的作用，在正三角形网格图中，能呈现五彩缤纷的数额学问题。

例16  如图，在正三角形网格中有个格点△ABC合格点O，请画出△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转120°的像。

解：

△A’B'C’确实是所求的像。

咱们常常在正方形网格里将一个图形旋转90°，什么缘故不能够在正三角形网格里将一个图形旋转60°或120°呢？

例17 如图把边长为4的正三角形各边四等分，连结各分点取得16个小正三角形．

（1）在图1中，画出以小正三角形的极点为极点的一个正六边形ABCDEF，并求那个正六边的周长．

（2）请你判定：

命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题仍是假命题？

若是是真命题，请你把它改写成“若是……，那么……”的形式；若是是假命题，请你在图2中画图说明．

解：

略。

例18 在如图的正三角形网格中，画出格点三角形，使三边之比为

，如此的三角形面积是值有种。

我的答案只有如图3种，不知是不是还有？

例19 如图，在正三角形网格中，一个小正三角形的面积为1，给定2个格点A、B，请你再找一个格点C，使得△ABC的面积为2，如此的C点共有种不同的位置。

解：

利用平行线面积不变的原理，如图共能够找到8个不同的位置.

例20 如图是一个由大体图形通过假设干次平移后取得的图形，那个大体图形能够是（　　）

解：

答案是C，只要将6个C的图形组合在一路即可。

十、杂题

例21 如图正三角形ABC中，D是边BC上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，

（1）假设BD=3，CE=2， 求AE；

（2）当AB=8时，求CE的最大值。

解：

（1）设AB=x，由△ABD∽△DEC得，x:

（x-3）=3:

2，x=9，因此AE=9-2=7.

（2）设BD=x，EC=y，由△ABD∽△DEC得，x:

y=8:

（8-x），那么

，因此y的最大值是2.

例22 如图，正三角形ABC的边长为a，P是中位线DE上一点，直线BP、CP交边于G、F，那么

=。

方式一：

用特殊位置法解

当P与D重合时，

.

方式二：

设GE=m，DF=n，PE=x，那么

.

由△GPE∽△GBC得，

，

由△FPD∽△FCB得，

，

别离解得

，

，

故

，

，

因此，

.

例23 如图，△AEF和△CDF是正三角形ABC内的两个正三角形，已知

，求

的值。

自己编的，解答留给读者吧。

例24 如图△ABC是边长为6的正三角形，直线BC上取两点D、E，使∠DAE=120°，

（1）试写出3个比例中项的式子；

（2）已知BD=4，求AE的长。

解：

（1）

，

，

;

（2）由

，得CE=9，又由

，得

.

例25 如图边长为2的正三角形ABC中，D是BC上一点，DF⊥AC于F，在BA延长线上取一点G，使得AG=CD，连DG交AC于E，那么EF=。

解法一：

（特殊位置法）

令D与B重合。

那么F是AC当中点，E与A重合，故EF=1.

解法二：

作DM∥AB，那么易证△CDM为正三角形，且△DME≌△CAE，

故

，因此

。