等边三角形具有轴对称性与旋转对称性.docx
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等边三角形具有轴对称性与旋转对称性
等边三角形具有轴对称性和旋转对称性,四平八稳的图形却能够构造出千姿百态的图形,是三角形中最具魅力的图形。
因为正三角形的一半是特殊的直角三角形,因此正三角形的问题又常常转化为直角三角形来解决。
今撰斯文,欲展现正三角形的众多性质,你读罢定会感慨几回。
一、三垂线
例1 如图O是正三角形ABC内任意一点,过O点作三边的垂线,垂足别离为D、E、F,求证:
OD+OE+OF等于正三角形的高。
证明:
连结OA,OB,OC,设正三角形高为h,因为
因此,
因为AB=BC=CA,
因此OD+OE+OF=h.
例2 如图O是正三角形ABC内任意一点,过O点作三边的垂线,垂足别离为D、E、F,求证:
AD+BE+CF=BD+CE+AF.
解法一
利用勾股定理,有
类似地还有其他2个等式,三个式子相加,化简取得:
即
化简:
,a是正三角形的边长。
解法二
如图,过O作MN∥BC,交AB、AC于点M、N,过M作MH⊥BC交BC于点H,
则
同理
∴
.
又:
在这种辅助线下,还能够设DO=x,OE=y,OF=z,
于是正三角形的高是x+y+z,从而边长能够被表示,MD,MH,BM能够表示。
进而AD能够表示,如此表示BE,CF也不难了,AD+BE+CF就能够够被x,y,z来表示。
能够确信AD+BE+CF表示后的结果必然是周长的一半。
解法三
如图,延长EO、FO交边于G,H,过G,H作边的平行线GM,HN,
则
.
例3 如图O是正三角形ABC内任意一点,过O点作三边的垂线,垂足别离为D、E、F,求证:
。
解:
过O作BC的平行线,将三角形分成上下两部份,如图,上部份相当于证明O在BC上时,黄色部份面积为正三角形面积的一半。
证明如下:
设AB=2a,∴
,设OF=x,那么AD=
,
那么黄色面积=
=
=
.
如图,关于下半部份的证明类似。
故结论得证。
二、三交线
如图,在正三角形ABC的三边上依次取BD=CE=AF,连AD、BE、CF,交点是P、Q、R,那个图的内部有三条交线,里面形成一个正三角形,两个正三角形的面积之比取决于BD和DC之比。
若是去掉一条交线,又会取得一个熟知的图形。
例4 如上图及已知,当BD:
DC=1:
n时,求小正三角形与大正三角形面积的比。
(自编题)
解:
过D作DG∥CF,那么可证
,
进而
,
又
,∴
,
因此
,
在△ABD中设BD=1,AB=n+1,
∵∠ABD=60°,∴
,
∴
,
∴
,
由两个正三角形相似得,小与大的面积之比是
。
例5 如上图,正三角形ABC中,BD=CE,BE、AD交于P写出那个图形尽可能多的性质。
(自编题)
解:
①有2对全等三角形;②有6对相似三角形;③∠APE=60°;④
、
。
三、到三极点的距离
例6 如图,P在正三角形ABC内,P到三个极点的距离别离是3、4、5,求△ABC的面积(精准到)。
解:
如图,将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AQB,设QB=PC=3,QP=AP=4,PB=5,易证∠APC=∠AQB=150°,如左图,作BH⊥AQ,因∠BQH=30°,故BH=,
,由勾股定理能够求出AB,进而求出面积的近似值。
四、正三角形拼图
一、三角板拼图
例7 如图1是由四块全等的含有30°角的直角三角板拼成的正方形,已知里面小正方形的边长为
.如图2,取其中的三块直角三角板拼成等边三角形ABC,再以O为原点,AB所在直线为x轴成立平面直角坐标系.(自编题)
(1)求等边△ABC的面积;
(2)求BC边所在直线的解析式;
(3)将第四块直角三角板与△CDE重合,然后绕点E按逆时针方向旋转60°后得△EC’D’,问点C’是不是落在直线BC上?
请你作出判定,并说明理由.
解略。
二、两个正三角形拼菱形
例8 两个正三角形拼成一个菱形ABCD,
(1)此菱形有哪些性质?
(2)在BC、CD上各取一点E、F,使BE=CF,求证:
△AEF是正三角形。
解:
(1)较长对角线是较短对角线的
倍;过A点的高平分BC;有120°的内角。
在菱形中只要知足这三条之一的,必知足其余。
(2)略
3、三个正三角形拼梯形
例9 如图,三个正三角形拼成等腰梯形,此梯形有哪些性质?
(自编题)
解:
①有60°的底角;②下底是腰的一半;③周长是腰的5倍;④对角线AC垂直腰BC;⑤对角线平分60°的底角;⑥上底等于腰。
一个等腰梯形具有这6个结论中的任意2个,必同时知足其余的结论。
五、正三角形内的正方形
例10 如图,正△ABC中,BC=
,在BC上取一点A1,作A1A2⊥BC交BC于A2,在△ABC内部作正方形A1A2A3A4。
过A3点作AB的垂线交AB于C4,在△ABC内部作正方形C1C2C3C4,其中C1在AB上,C2在AC上,而且所作的两个正方形边长相等。
又过C3点作AC的垂线交AC于B4,交A3A4于B3,在△ABC内部作正方形B1B2B3B4,其中B1在AC上。
(自编题)
(1)求A1A2的长;
(2)求证:
正方形B1B2B3B4的边长与正方形A1A2A3A4的边长相等;
(3)求证:
B2在BC上。
解:
(1)设正方形的边长为x,那么
,
,
因此
,解之x=2。
(2)易证
是正三角形,
,
因此
,即
,
故正方形
的边长与正方形
的边长相等。
(3)
,
又因为
,由勾股定理得
,故
即B2在BC上。
六、两个正三角形组合
两个正三角形能够组成许多有趣的图形,有些图形的结论还鲜为人知呢。
例11 如图△ABC和△BDE均为正三角形,AE和CD交于P。
(1)当A、B、D共线时,求证:
∠APB=∠DPB=60°;
(2)当A、B、D不共线时,∠CPB=∠EPB=60°吗?
什么缘故?
解:
两个问题的证明完全一样。
作△ABE和△CBD的高BG、BH,有这两个三角形全等可知,BG=BH,因此BP平分∠APD(或∠CPE),因△ABE和△CBD能够看做绕B点旋转90°重合的,因此对应边AE和CD所成的角为60°,即∠APC=60°,故结论成立。
试探:
若是将△EBD沿BD反射,结果又会如何呢?
例12 如图,△AOB和△BCD均是正三角形,点O是坐标原点,A(2,0),C是x轴上一点,D、O在BC异侧,问:
当C点运动时,D点运动的轨迹是什么?
(也能够问:
当C点运动时,直线AD是不是固定?
什么缘故)
解:
能够证明△OBC≌△ABD,因此∠BAD=60°,因此D点运动的轨迹是直线
。
试探:
(1)将条件“D、O在BC异侧”改成“D、O在BC同侧”,结论又如何呢?
(2)如以下图,若是将条件“C是x轴上一点”改成“C是y轴上一点”,“正三角形△BCD”改成“正三角形△CAD”,BD和AB的关系如何呢?
(3)如以下图,若是将条件“C是x轴上一点”改成“C是OB上一点”,“正三角形△BCD”改成“正三角形△CAD”,DB和OA的关系如何呢?
例13 判定命题“△ABC和△ABD有公共边AB,且C、D在AB同侧,若是AD和BC相交且相等,那么△ABC≌△ABD”是不是成立?
解:
若是咱们画出如下的图形,可能很难判定命题的真假。
注意,并非能因为是“边边角”就判定是假命题,关于“边边角”的更多内容,请参见“”。
本命题确为假命题。
以前,我举的反例是:
在正三角形BCE中,A是CE上的点(非中点),将△ABE绕AB的中点旋转180°取得△ABD,这确实是反例。
后来找到了用两个正三角形来组成反例的图形:
如图,△APC和△BPD均为正三角形,A、P、D共线,那个图形确实是反例。
试探:
用两个等腰三角形来代替△APC和△BPD能够吗?
七、正三角形分割
例14 用多种方式将正三角形分割成4个等腰三角形。
解:
至少有以上4种分割方式。
值得惊奇的是竟然有一种不对称的分割。
试探:
还有其它方式吗?
例14-2 以下两个图形是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF,要求把它们别离分割成3个三角形,使得△ABC分出的3个三角形与△DEF分出的3个三角形别离相似。
解:
我想到以下几种方式,必然还有其它方式哦,想到了再补充。
追加:
2020年4月28日江东区的数学教研活动中,专题研究了此题,同行们又得出了以下4种不同的分割方式:
八、找等腰点
例15 已知正三角形ABC,在平面上找一点P,使△ABP、△BCP、△CAP均为等腰三角形,如此的P点有种不同的位置。
解:
如图,在BC的中垂线上符合条件的点有4个,而边的中垂线有3条,故共有10个不同的位置(其中形内只有一点)。
九、正三角形网格
正三角形网格能发挥正方形网格力不能及的作用,在正三角形网格图中,能呈现五彩缤纷的数额学问题。
例16 如图,在正三角形网格中有个格点△ABC合格点O,请画出△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转120°的像。
解:
△A’B'C’确实是所求的像。
咱们常常在正方形网格里将一个图形旋转90°,什么缘故不能够在正三角形网格里将一个图形旋转60°或120°呢?
例17 如图把边长为4的正三角形各边四等分,连结各分点取得16个小正三角形.
(1)在图1中,画出以小正三角形的极点为极点的一个正六边形ABCDEF,并求那个正六边的周长.
(2)请你判定:
命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题仍是假命题?
若是是真命题,请你把它改写成“若是……,那么……”的形式;若是是假命题,请你在图2中画图说明.
解:
略。
例18 在如图的正三角形网格中,画出格点三角形,使三边之比为
,如此的三角形面积是值有种。
我的答案只有如图3种,不知是不是还有?
例19 如图,在正三角形网格中,一个小正三角形的面积为1,给定2个格点A、B,请你再找一个格点C,使得△ABC的面积为2,如此的C点共有种不同的位置。
解:
利用平行线面积不变的原理,如图共能够找到8个不同的位置.
例20 如图是一个由大体图形通过假设干次平移后取得的图形,那个大体图形能够是( )
解:
答案是C,只要将6个C的图形组合在一路即可。
十、杂题
例21 如图正三角形ABC中,D是边BC上一点,E是AC上一点,∠ADE=60°,
(1)假设BD=3,CE=2, 求AE;
(2)当AB=8时,求CE的最大值。
解:
(1)设AB=x,由△ABD∽△DEC得,x:
(x-3)=3:
2,x=9,因此AE=9-2=7.
(2)设BD=x,EC=y,由△ABD∽△DEC得,x:
y=8:
(8-x),那么
,因此y的最大值是2.
例22 如图,正三角形ABC的边长为a,P是中位线DE上一点,直线BP、CP交边于G、F,那么
=。
方式一:
用特殊位置法解
当P与D重合时,
.
方式二:
设GE=m,DF=n,PE=x,那么
.
由△GPE∽△GBC得,
,
由△FPD∽△FCB得,
,
别离解得
,
,
故
,
,
因此,
.
例23 如图,△AEF和△CDF是正三角形ABC内的两个正三角形,已知
,求
的值。
自己编的,解答留给读者吧。
例24 如图△ABC是边长为6的正三角形,直线BC上取两点D、E,使∠DAE=120°,
(1)试写出3个比例中项的式子;
(2)已知BD=4,求AE的长。
解:
(1)
,
,
;
(2)由
,得CE=9,又由
,得
.
例25 如图边长为2的正三角形ABC中,D是BC上一点,DF⊥AC于F,在BA延长线上取一点G,使得AG=CD,连DG交AC于E,那么EF=。
解法一:
(特殊位置法)
令D与B重合。
那么F是AC当中点,E与A重合,故EF=1.
解法二:
作DM∥AB,那么易证△CDM为正三角形,且△DME≌△CAE,
故
,因此
。