数值实验word版教材.docx

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数值实验word版教材

实验2.3迭代的加速方法

实验目的：

对线性方法（或不收敛的方法）进行加速，考察Steffensen迭代法、Aitken迭代法的加速效果。

实验内容：

求解方程,适当选取初值，采用如下迭代格式：

（1）.

（2）.

（3）由格式

（2）得到的Steffensen迭代法。

（4）牛顿迭代法。

实验要求：

（1）对4种迭代格式编程计算，并比较计算的结果（包括收敛速度）。

（2）对前两种迭代格式产生的迭代数列，分别用Aitken迭代法进行加速，并与原来的结果进行比较。

算法：

（一）功能：

用迭代公式求方程的根;

形参：

迭代函数g，初值，精度e;

条件：

对初值迭代收敛.

结果：

返回方程的根，相邻两次近似值相差不超过e.

说明：

函数abs表示，即

若迭代对某范围内任一初值都收敛，则可取消形参，而由程序选取。

若对初值迭代格式未必收敛，则有下面算法。

迭代结果：

x=fun1（inline（'sqrt（x.^2-0.8）'）,0.5,1e-5）

Warning:

已达迭代次数上限

Infun1at15

k=500

x=0+19.9937i

（二）功能：

用迭代公式求方程的根;

形参：

迭代函数g，初值，精度e，最大迭代次数m;

说明：

用逻辑变量L表示迭代成功或失败，若迭代成功，则x为根的近似值，否则x没有意义。

迭代的最大次数可为形参，也可由算法选定。

迭代失败并不说明迭代发散，只表示迭代制定次数未达到精度要求。

若迭代格式收敛较慢，精度要求高，则因适当取较大的m。

迭代结果：

x=fun1（inline（'（x.^2-0.8）.^（1/3.0）'）,0.5,1e-5）

k=22

x=0.8442+0.6705i

（三）Steffensen迭代

功能：

用Steffensen迭代法求方程的根;

条件：

迭代每一步，公式中的分母非零，迭代收敛；

形参：

迭代函数g，初值，精度e；

结果：

返回方程的根，相邻两次近似值相差不超过e.

说明：

x^2表示;

迭代初值可由程序确定或由形参传入；

若迭代可能发散，则可对此算法做适当修改。

迭代结果：

（2）x=XCSteffensen（inline（'（x.^2-0.8）.^（1/3.0）'）,0.5,1e-5,500）

k=3

Warning:

ImaginarypartsofcomplexXand/orYargumentsignored.

>InXCaitkenat22

x=0.8442+0.6705i

（四）Newton迭代

功能：

用Newton迭代求解方程的根；

形参：

函数，倒数，初值，根x，精度e,最大迭代次数m

结果：

返回迭代是否成功，若迭代成功，则x返回方程的一个根。

说明：

形参f和f1可和为一个形g,；形参可合并为一个形参。

formatlong

fun=inline（'x.^3-x.^2-0.8'）;

dfun=inline（'3*x.^2-2*x'）;

x=XCnewton（fun,dfun,1.0,1e-5,500）

k=5

x=1.40516702210213

（五）Aitken迭代

功能：

用Aitken迭代法求方程的根;

条件：

迭代每一步，公式中的分母非零，迭代收敛；

形参：

迭代函数g，初值，精度e；

结果：

返回方程的根，相邻两次近似值相差不超过e.

（1）x=XCaitken（inline（'sqrt（x.^2-0.8）'）,0.5,1e-5,500）

Warning:

Dividebyzero.

>InXCAitkenat14

Warning:

已达迭代次数上限

>InXCAitkenat20

k=500

Warning:

ImaginarypartsofcomplexXand/orYargumentsignored.

>InXCAitkenat22

x=NaN+NaNi

（2）x=XCaitken（inline（'（x.^2-0.8）.^（1/3.0）'）,0.5,1e-15,500）

k=20

x=1.40516702210234

实验3.2方程组的性态和条件数实验

实验目的;

理解条件数的意义和方程组的性态对解向量的影响。

实验内容：

已知两个方程组和,其中

,

实验要求：

对，取下面均用Matlab函数“”计算方程组的解。

（1）取n=4,6,8,分别求出的条件数，判别它们是否是病态阵？

岁n的增大，矩阵的性态变化如何？

（2）取n=5，分别求出两个方程组的解向量.

（3）取n=5，b不变，对的元素分别加一个扰动，分别求出第一个方程组的解向量；若不变，对b的元素加一个扰动，求出

（4）取n=6，b不变，对的元素分别加一个扰动，分别求出第三个方程组的解向量.

（5）观察和分析和b的微小扰动对解向量的影响，得出你的结论.

（6）求.

解答：

（1）取n=4,6,8,求出A1的条件数分别为3.5740e+005、8.7385e+007、2.2739e+010，求出A2的条件数分别1.5514e+004、1.4951e+007、1.5258e+010，从而说明A1，A2是病态矩阵，N越大，A1、A2病态问题越严重；

（2）取n=5，分别求出两个方程组的解向量（对应M文件为f1,f2）:

X1=’X2=；

（3）取n=5，b不变，对的元素分别加一个扰动（对应M文件为f131）,得，若不变，对b的元素加一个扰动（对应的M文件为f132），；

（4）取n=6，b不变，对的元素分别加一个扰动（对应的M文件为f4）,

实验4.2Hermite插值

实验目的：

掌握Hermite插值.

实验内容：

（1）已知4次多项式满足：

输出多项式系数，并计算.

（2）已知函数的数据，求的Hermite插值多项式.

实验要求：

（1）编程Hermite实现插值多项式的算法.

（2）用数学软件绘制函数曲线.

Hermite差值：

功能：

计算差商;

形参：

整型n，插值结点数组x[0..n]，结点重数m[0..n]，函数值及导数值y[0..N]:

其中,数组a[0..N].

条件：

数组x的元素各不相同.

结果：

返回数组差商，。

实验5.2自动变步长辛普森方法和自适应辛普森方法

实验内容：

计算下列积分：

（1）；（3）.

实验要求：

（1）分别用复化辛普森公式、自动变步长辛普森公式和自适应辛普森公式计算，要求绝对误差限，输出每种方法所需要的节点数和积分近似值.对于自适应方法，显示实际计算节点上离散函数的分布图.

（2）分析比较计算结果.

复化辛普森公式：

功能：

用复化Simpson方法求的近似根；

形参：

被积函数f,区间端点a,b，区间分割数n;

结果：

返回积分的近似值。

求解：

（1）

自动变步长辛普森公式

功能：

用自动变步长辛普森公式求的近似根；

形参：

区间端点a,b，精度要求e;

结果：

返回积分的近似值。

*实验6.4.4预处理方法与Krylov子空间方法简介

实验6.2SOR迭代法

实验目的：

掌握迭代法，考察松弛因子对迭代收敛性与收敛速度的影响.

实验内容;

用SOR迭代法求解方程组，取迭代初值，分别取松弛因子，迭代30次或满足时停止计算.

实验要求：

（1）编程求解，并与数学软件求解的结果对比.

（2）考察迭代是否收敛，若收敛，松弛因子取何值时收敛最快.与有关定理的结论对照，看结果是否一致.

算法：

功能：

用SOR迭代法求解方程组Ax=b;

形参：

阶数n，系数矩阵A，向量b,精度e，最大迭代次数m，松弛因子w,向量x.

条件：

A的对角元素非零，0

结果：

返回迭代是否成功，若成功则向量x返回方程组的解。

解答：

（1）x=XCsor（A,b,1.05）k=25,x=[1.5000，-1.6667，0.8333]’,其中A=，b=[1,-5,3]’,

（2）很明显，迭代是收敛的,因为特征值eig（A）=[0.8377，4.000，7.1623]，按照定理，当松弛因子为1.28时收敛最快，而计算得，当松弛因子为1.30时收敛最快，需迭代12次，说明结果和定理是一致的。

实验6.3共轭梯度法

实验目的：

掌握共轭梯度法，并研究其收敛性.

实验内容：

用共轭梯度法和G-S迭代法分别就求解下面的方程组：

（1）.迭代20次或满足时停止计算.

（2）.迭代20次或满足时停止计算.

（3）,A是1000阶三对角矩阵，迭代10次。

（4）,A是1000接的矩阵，用G-S迭代法迭代1000次，共轭梯度法迭代500次.记，输出。

实验要求：

（1）编程求解，并与用数学软件求解的结果对比.

（2）观察的变化规律，对比共轭梯度法和G-S迭代法的不同特点.

G-S迭代：

功能：

用G-S迭代法求解方程组Ax=b;

形参：

阶数n,系数矩阵A，向量b，精度e,最大迭代次数m,向量x；

条件；矩阵A对角元素非零；

结果：

返回迭代是否成功，成功则用向量x返回方程组的解。

（1）取x0=[1，1，1]，使用G-S迭代的法x=XCseidel（A,b,x0,1e-5,500），得迭代次数k=23，解为x=[1.5000,1.0000,0.5000]

共轭梯度法：

功能：

用共轭梯度法求解方程组Ax=b;

形参：

阶数n,系数矩阵A，向量b，精度e,最大迭代次数m,向量x0,x；

条件；矩阵A正定；

结果：

向量x返回方程组的解。

实验7.2用正交化方法求解方程组

实验目的：

掌握用正交化方法求极小最小二乘解的方法.

实验内容：

分别用Gram-Schmidt正交化方法、Householder正交化方法、Givens正交化方法求解下列方程组的极小最小二乘解；

（1）；

（2）；

（3）

实验要求：

（1）编程求解上述问题，注意这3个方程的不同点，算法应考虑系数矩阵是否是列满秩，若不是列满秩，设秩为r，考虑矩阵的前r列是否线性无关.

（2）用数学软件求解，对比计算结果.

（3）程序中添加统计计算的语句，比较这三种正交化方法的计算量.

实验结果：

（1）Gram-Schmidt正交化方法：

功能：

用Gram-Schmidt正交化方法求Ax=b的最小二乘解;

形参：

矩阵A的行数m列数n，A的秩r,矩阵A，向量b，向量x;

条件：

A的前r列线性无关；

结果：

向量返回方程组的最小二乘解。

（3）Householder变换：

功能：

用Householder变换将化为上梯形矩阵，b同时变换;

形参：

矩阵A的行数m列数n，A的秩r,矩阵A，向量b，向量x;

结果：

变换后，得到，任用表示。

A为上梯形矩阵。

（4）Givens变换

功能：

用Givens变换将化为上梯形矩阵，b同时变换;

形参：

矩阵A的行数m列数n，A的秩r,矩阵A，向量b，向量x;

结果：

变换后，得到，任用表示。

A为上梯形矩阵。