动态电路的运算分析法2.docx
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动态电路的运算分析法2
第11章动态电路的运算分析法315
学习要点315
11.1拉普拉斯变换的定义及性质315
11.1.1拉氏变换的定义315
11.1.2拉氏变换的条件316
11.1.3拉氏变换的基本性质316
11.2拉氏反变换——分解定理320
11.3线性动态电路的复频域模型324
11.3.1KL的运算形式324
11.3.2VCR的运算形式324
11.4用复频域分析法计算线性电路326
11.5网络函数及其零点、极点336
11.6零、极点与冲激响应的关系338
11.7零、极点与频率响应的关系339
习题十一343
第11章动态电路的运算分析法
学习要点
（1）拉普拉斯变换定义及性质。
（2）拉普拉斯反变换-部分分式展开方法。
（3）动态电路的复频域模型---运算电路。
（4）动态电路的拉普拉斯变换法一运算法。
（5）用运算法分析动态电路。
本章的核心是如何用数学工具“拉普拉斯变换”解决电路的动态分析问题。
因此，学习本章首先应掌握“拉普拉斯变换”的定义、性质和反变换问题，在此基础上掌握如何用“拉普拉斯变换”解决动态电路分析的问题，即运算法的有关问题。
第5章用时域分析法分析一阶电路比较方便，但对于二阶和高阶或交流的动态电路，列写和求解方程很繁琐（例题5-12）。
本章复频域分析法（运算法）对分析复杂的电路将更为有效。
11・1拉普拉斯①变换的定义及性质
拉普拉斯变换是分析线性非时变网络的一种有效而重要的工具，它在其他技术领域中也同样得到了广泛的应用，尤其是在各种线性定常系统中，拉氏变换方法作为基本的数学工具受到了人们的普遍重视。
为了说明拉氏变换在电路理论中的地位，我们首先简单的回顾以下，在一阶、二阶电路里，我们用微分方程求解动态电路时，虽然能较满意的结合电路中的物理过程分析一些简单的信号输入的时域响应特性，而且对于一阶、二阶电路而言，微分方程也不难求解。
但是，若输入信号较为复杂，或是高阶电路，微分方程的求解就会很麻烦，甚至在有些情况下，人工解答已很难实现。
在分析正弦稳态电路时，我们采用的是相量法，将求解微分方程的过程，变换为相量的代数方程，从而简化了数学运算，从本质上讲，相量分析也是一种数学变换，它只适用于正弦稳态电路的分析。
利用傅立叶分析方法，能够有效地揭示出一些较为复杂的非正弦周期信号的频率特性，而且傅立叶变换作为一种数学变换方法也可以应用于线性电路的分析。
然而傅立叶变换方法有着明显的局限性：
其一，因为周期信号的傅立叶级数是无穷级数，因此对于周期信号输入的电路，利用傅立叶级数，不易求得封闭形式的解，只能取有限项的近似解；其二，工程上很多有用的信号，不满足绝对可积的条件，傅立叶变换就不能直接应用。
特别是对于具有初始条件的电路，利用傅立叶变换法求全响应是比较麻烦的。
由以上事实可以看出，探索分析任意信号输入时线性电路的响应问题，是非常必要的。
拉氏变换方法是解决此类问题的工具之一。
11.1.1拉氏变换的定义
一个定义在区间上的函数f（t）的拉氏变换记作
L[f（t）]二F（s）二「f（t）e$dt（11-1）
0_
上式是单边拉普拉斯变换的数学定义。
F（s）称为f（t）的拉氏变换或象函数，f（t）是F（s）的原函数。
如果把上式中的积分下限取-：
：
，则称为双边拉氏变换，本书只讨论单边拉氏变换。
应当指出，为了顾及
函数f（t）在t=0处可能存在冲激的情况，上式中的积分下限取0_。
在电路原理中，把式（11-1）称为拉
氏变换的0一系统，把积分下限取为0•的拉氏变换，称为0.系统。
在0•系统中，函数的初始值为f（0J,
拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace,1749—1827）是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士
在0_系统中，函数的初始值为f（OJ。
若f（0.）=f（0_），两者并无区别，若f（0.）工f（0」，对电路
的求解，两者会得到不同的结果。
如果F（s）已知，要求出与之对应的原函数，由F（s）到f（t）的变换称为拉氏反变换，它定义为
J1c.j：
：
st
（11-2）
L」[F（s）]=f（t）=?
jcj：
F（s）estds
式（11-1）与（11-2）称为拉普拉斯变换对。
理论上可以证明，单值函数的拉式变换具有唯一性。
11.1.2拉氏变换的条件
拉氏变换是一个积分变换，此变换要想存在，f（t）必须满足以下三个条件：
（1）t<0时f（t）=0。
一般假设电路的过渡过程从t二0时刻开始，因此这个条件总能满足。
（2）f（t）和它的一阶导数在t_0时是分段连续的。
（3）f（t）是指数阶的，即：
limf（t）e=t=0,■0。
其中e」称为收敛因子。
在拉氏变换时，将
t—Jpc
f（t）乘以收敛因子，只要=Re[s]足够大，总能使f（t）较快的衰减。
指数函数的象函数：
f（t）=e
oO
e
大多数函数均满足以上条件，其拉氏变换积分是收敛的。
例11-1求以下函数的象函数
①单位阶跃函数②单位冲激函数
③
指数函数
解单位阶跃函数的象函数:
f（t）K（t）
□0tOQt1t
F（s）=J。
名（t）e』dt=J。
e』dt=——e』
□0
1
00s
0
s
单位冲激函数的象函数:
f（t）=6（t）
3二t0+st0
F（s）=j06（t）edt=花（t）edt=e0=
1
at
11.1.3拉氏变换的基本性质
1.线性性质
设仏⑴和f2（t）是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为Fjs）和F2（s），A和A2是两个任意
的实常数，则有：
L[Af1（t）A2f2（t）HA1F1（s）A2F2（s）证明L[AfM2（丹J：
Af1t1弋Hf2t2efqt]二0Af1（t）e$dt0A^^e^dt
=AF1（s）+A2F2（s）
例11-2设下面两个函数的定义域为[0,二），求其象函数。
⑴f（t）二sin（，t）⑵f（t）二sinh（-t）
1
⑴L[sin（，t）]=L[——
2j
（e
-e
-jt.
）]二
2j（s-jt
+co
1fJh111
⑵却“旷吟宀e）]=2（s-」s2
2.
时域微分性质
设f（t）的象函数为F（s），其导数「⑴二匹^则L[f（t）HsF（s）-f（0」dt
证明L[f《）*oft（efdt
利用分部积分，设u=e*t,dv=f（t）dt,du=-se_stdt,v=f（t）,
由于udv=uv-vdu，所以
stst旳田st
f0f（t）e—dt=f（t）e—0—J。
f（t）（—se—）dt
二-f（OJs,f（t）e®dt=sF（s）-f（0_）
例11-3利用微分的性质求下列函数的象函数
⑴f（t）=cos（'t）⑵f（tn（t）
解⑴由于f（t）二cos（t）=1d[sin（t）]
蛍dt
所以
dt
由于
f（t）
i（t）=
d；（t）
dt
1
所以F（s）=s—-；（0_）=1
s
3.时域积分性质
设f（t）的象函数为F（s），则L[tf（）d[二血、0_s
证明设g（t）二.；f（）d，则G（s）=L[g（t）]
由于g（0_）=0，且f（t），所以F（s）二sG（s）_g（0_）=sG（s）
dt
并F（s）
故G（s）:
s
1
例11-4利用积分性质求f（t）=t和f（t）=—的象函数
11
解由于f（t）=t=o（）d，所以L[t]二
-X-ss
■0_
L[t2]=2—2
ss
_2
_3
s
依次类推L[tn]
n!
n1
s
4.
L[f（t-t0）]=e』0F（s）
时域延迟性质
f（t-t。
）是f（t）的延迟函数,
设f（t）的象函数为F（s），
证明由于t:
:
:
t0时f（t）=0。
令.二t-t0则
L[f（t-t。
）]="f（t-t0）e"td^.''f（t-t0）/dt
0_t0
二°fC）e"e%.二e^t0F（s）
例11-5求如图11-1中波形的象函数
解p（t）（t）_；（t_a）
由延迟性质可得：
1_sa11sa、
G（s）e（1-e）
sss
5.频域微分性质
设f（t）的象函数为F（s），则L［tf（t）］二F（s）ds
tsin（bt）的象函数
证明F（s）=o'f（e）'stdt，两边对s求导得：
解由于L（sin（bt））=7—2
s+b
■2、2
b）
所以L（tsin（bt））d（丁2）22bs
dss+b（s
6.频域积分性质
设f（t）的象函数为F（s），则L［平］
sF（u）du
utdudt
例11-8求却凹的象函数
t
su21dU
1s1
2dv=arctg
v1
7.频域延迟性质设f（t）的象函数为
证明
L[edf（t）]=F（s+a）
L[e"tf（t）P0'f（t）e^te"td^.；f（t）e
f（t）二e^tsin（「t）的象函数
co
S2…’2
F（s），则
"a）tdt=F（sa）
例11-9利用频域延迟性质求
解由于F（s）二L[sin（t）]
所以
8.尺度变换性质
1s设f（t）的象函数为F（s），则L[f（at）H2F（-）
aa
qQ
证明L[f（at）]f/fa（efdt
s
□0—I
f（.）ead.=a0-
s3
+1
设.二at,则of（at）e~dt:
例11-10已知f（t）=（t-2）2的象函数是F（s）=
1s
F（）
aa
2
4s—4s…22
，求g（t）=（at-2）的象函数
解g（t）=（at-2）2=f（at）
2
1l/S、14（sa）-4sa2
所以G（s）F（—厂
aaa
4s2「4as2a2
（sa）3
9.卷积定理
设有两个定义在［0_,：
：
）区间的函数fi（t）和f2（t），它们的卷积定义为:
fl（t）*f2（t）=jfi（t—川（）d
卷积定理：
如设fi（t）和f2（t）的象函数分别为Fi（s）和F2（s），则
L[fi（t）*f2（t）]二Fi（s）F2（s）
证明L[fi（t）*f2（t）H.0：
；f（t-）fG）de^dt
1
由于z（t-^）
0
故
设x=t-
Et
ooGO
ofi（t-川（）d=ofi（t-）；（t-”（）dL[fi（t）*f2（t）]=.；.：
fi（t-）；（t-）f2（）de』dt
）；（t-）f2（）de^dt二ot（）.ofi（x）e4x）sdxd
二ot（）e」d；fi（x）e」xdx二Fi（s）F2（s）
原函数
象函数
原函数
象函数
A6（t）
A
e~atsin（灼t）
（s+a）2P2
A软t）
A
e~atcos®t）
s十a
s
（s+a）2+时2
_—at
A
—at
1
Ae
s+a
te
（s+a）2
‘-at
a
t
1
1—e
s（s+a）
2s
sin（利）
国
s
2丄2
s*0
（1-at）e
（s+a）2
cos（at）
s
112
1
2土…2s十B
t
2
3s
由于Fi（s）F2（s）二F2（s）Fi（s），所以fi（t）*f2（t）二f2（t）*fi（t）
根据以上介绍的拉氏变换的定义和它的一些性质，可以很方便地求出一些常用的时间函数的象函数,表ii-i为常用函数的拉氏变换表。
表ii-i一些常用函数的拉氏变换
sin（cot+P）
ssinB+国cosP
丄tnn!
1sn+1
22s
scosB-灼sinP
丄tne』n!
1
cos（cot+P）
22s
/丄\n柿
（s+a）
sinh（eot）
tsin（cot）
2cos
22s—时
/2丄2、2
（s）
cosh（oot）
s
tcos@t）
22s
22s—时
（s）
11・2拉氏反变换一一分解定理
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的象函数反变换为时域函数。
拉氏反变换可以直接用定义积分求得，但涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。
如果象函数比较简单，往往能够从拉氏变换表中查出其原函数。
对于不能从表中查出原函数的情况，如果能设法把象函数分解成若干个简单的能从表中查到的项，就可以查出各个项所对应的原函数，而它们的代数和即是所求的原函数。
这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。
另外，也可以用工程数学上的围线积分和留数定理来求拉氏反变换。
下面重点介绍拉氏反变换的部分分式展开法。
对于有理函数F（s）可以表示为以下形式
（11-3）
N（s）_amSmam」sm「…a。
F（s）n-F37~
D（s）bns…+b。
其中ai，bj为实数，m和n为正整数，且m_n。
用部分分式展开有理分式F（s）时，要求F（s）为真分式，即m：
：
：
n,如果m二n,可先将F（s）化为真
分式，再进行分解，当m=n,贝VF（s）=N（s）=A•No（s）。
在电路分析中，通常不会出现mn的
D（s）D（s）
情况。
上式中A是一个常数，其对应的时间函数为A-（t），余数项即是真分式。
D（s）
由数理理论知，在式（11-3）中，使F（s）为零的s值，称为F（s）的零点，使F（s）为无穷大的s值，称为F（s）的极点。
显然，多项式N（s）=0的根就是F（s）的零点，而多项式D（s）=0的根就是F（s）的极点。
一般来说，多项式D（s）=0的根可以分为四种类型。
1.D（s）=0具有n个单根
F（s）的分母D（s）=0的根，是不相等的实数根，此时，极点分别为p,P2/Pn，于是F（s）可以
展开为
F（S）-K1K2..Kn
（11-4a）
s-pS-p2
S-Pn
其中K1,K2
■Kn为待定系数。
将上式两边冋乘以
（s-pj，得
（s
k2
-pJF（s）平（s-pj（
S—P2
S—Pn
令S=P1，则等式除了第一项外都为零，这样求可求得同理可求得K2•…Kn，所以确定各待定系数的公式为
Ki=[（s-pJF（s）]sm
Ki的另一种求法，利用分解定理
K1，K1
i=1,2,
K=!
叫（s-Pi）F（s）=limN（s）（s-
0
上式为0的不定式，可以应用求极限的方法（洛比塔法则）确定
jp
D（s）
“（s-pJF（s）]S=Pl
P）D（s）—
Ki，即
（11-4b）
因此确定Ki的另一公式
D（s）
i=1,2,3n
（11-4c）
S=Pi
确定了（11-4）式中的系数后，对应的原函数为
f（t）二L」[F（s）]八KiePit
s+3
例11-11已知F（s）2，求其原函数
s+3s+2
s3s3K1
F（s）2—
s2+3s+2（s+1）（s+2）s+1
s+3
=[（s+1）F（s）]sy==
s+3
二[（s2）F（s）]—=彳
s+1
f（t）=L」[F（s）]=2e
K1
K1
所以
2.
D（s）=0具有非重共轭复根
K2
=2
s
J2t-e
A二：
j■，P2二：
——j■，则
F（s）二
-—F1（s）s_-j■
s-：
-j■
K1二[（s-P1）F（s）]s田，K2二[（s-P2）F（s）]s=p，F1（s）为不包含该共轭复根的其余各项。
对它们的处理与下面的处理方法相同。
为了简单起见，设R（s）=0。
K1，K2为共轭复数。
心=心#日1=KeK2=K/~^=Qe朋
=伙2°®®阳）+e—j®知]
=2K1etcos^^91）
其中
当然，F1（s）可能还包含其他共轭复根,由于F（s）是实系数多项式之比，故设
S=P2，
则有
例11-12求F（s）二
s3
2
s2s5
的原函数。
（11-5）
解D（s）二s22s^0的根为p^-Vj2,p2--1-j2，为共轭复根。
则
=0.5—j0.5-45
2
s_J1-j2
f（t）=2Kie，cos（2t—45）=J2e丄cos（2t—45=）
3.D（s）=0具有实数重根
则应含有（S-P1）q的因式，设D（s）含有（S-P1）3的因式，贝yP1是D（s）=0的3重根，则F（s）可以
分解为
Fl；J}J》F1（s）（11-6）
Fds）为不包含该重根的其余各项。
当然，R（s）可能包含单根或非重共轭复根，甚至其他的重根，
对于单根或非重共轭复根处理方法如前，对于其它重根的处理与下面的处理方法相同。
为了简单起见，设
3
R（s）=0。
为了确定Kn,K12和K13，可以将式（11-6）两边都乘以（s-pj,则Kn被单独分离出来,即
则
（s—P1）3F（s）=（s—pJ2K13+（s—口）心2+K11（11-7）
3
K11=（s—p1）F（s）s
s*1
再对式（11-7）两边对
s求导次，K12被分离出来，即
2[（s—P1）3F（s）]=2（s—PJK13+K12,
ds
所以
d3
K12[（s-pjF（s）]
dss*
用同样的方法可得
K13d2【（s—P1）3F（s）]s
2dsu
从以上的分析过程可以推导出当D（s）=0在p1处具有q阶重根的情况，此时F（s）可以分解为
K1qK1（qJ）K11
F（sF百产K
其中
K11=（s—pJqF（s）
S=p1
例11-13
K1j
1；2[（s-pOqF（s）]
（1-1）!
ds
K1（qjep1t
3s211s11
已知F（s「s1）2（s2）
S=P1
j=2,3q
亠12p1t亠
刁Kgte
求其原函数。
「1）^7
F（s）可以分解为
解此F（s）有一个2重根和一个单根，由以上分析可知,
其中
K12K11K2
F（s）-——
s+1（s+1）2s+2
23s2+11s十11
Ku=（s1）F（s）sj
二3
S-J
T（s1）2F（S）]
s二」1
d_3s211s11
[_
dss2
=2
s二」
4.D（s）=0有多重复根
K2=[（s2）F（s）]s,
f（t）=2e±3teJe?
如设p1j■为3重复根,
F（s）仏s-口
可以用求重根系数的方法来求
其中
可设
K13二K
K13
23?
=K13
这样原函数为
3s211s11
（S1）2
S=N
-1
p^-j■为3重复根。
则根据重根的处理方法得
K12*K111K231K22丄K21
（S-P1）2
K13，K12，
*
K12=K22，
ej），K12
+++
（S-pJ3S-P2（S-P2）2（S-P2）3
K11，K23，K22，K21。
*
K11=K21
ej\Kn
=K12
f（t）=K13te^
K13代许』（勿删+e」°^）]
ej（tj）.e_j（t：
：
內）]
f（t）=2K13e哎co琬+日3）+2K12te1co琬+H2）+K11t2etco琬+TJ
从以上的分析过程可以推导出当D（s）=0具有q阶共轭重根的情况，
K1（q4）K11K2qK2（q」）
（S-pJ2（S-P1）qS-P2（S-P2）2
=（s-p1）qF（s）
K
F（s厂
s—»
其中
1q
F（s）可以分解为
j
3P2）q
Kn
（11-8）
K1i
K21
d^
（i_1）!
ddF[（S-p1）qF（S）]
=（s-p2）qF（s）
S^1
j二2,3q
K2i
其中K1i与K2i互为共轭，设
f（t）=2K1q
S®
1d口
口[（s-p2）qF（s）]（i-1）!
ds
心=K1ie旧，则
:
t
e
cos（3t+8q）+2Kg）
s-P2
teacosQt
j=2,3q
启））
12
2!
（11-9）
（11-10）
（11-11）
（11-12）
■1
（q-1）!
2K11t
（q^）eatcos®t"）
例11-14已知F（s）二
-2s屁14s25，求它的原函数。
解F（s）的分母多项式在
F（s）可分解为：
st（s1）24]2
S=-1•j2处有2重根，在s=-1—j2处有2重根，在s=0处是单根。
F（s）二
K12
K11
K22
K210
s
其中：
K11=（s1-j2））2F（s）
s1_j2（s1一j2）2s1j2（s1j2）2
—s4—2s'+4s2+14s+25
s-」j2
2
s（s1j2）
1
-j2
-2s‘+4s2+14s+25
s（s+1—j2）2]
K3=sF（s）
s-0
—s4—2s‘+4s2+14s+25
（（s1）4）2
=1
s-0
f（t）=2K12e±cos（2t—180"）+2「K忡te》cos（2t—90"）+1=1te」s
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