即
[例6]记号[x],表示不超过数x的最大整数。
比如:
[2.3]=2,,[5]=5,试计算下列式子:
思路剖析
观察式子,可知本题中分数的分母均为80,而分子的一般形式为k(k+1),其中k=1,2,3,…,30,即分子为两个连续的自然数的乘积。
再考虑当k=8时,这说明当k=1,2,…,8时,
其他情况我们可以类似讨论得出。
解答
由于式中各项分数的分子都是两个连续自然数之积,因此可表示为k(k+1),k=1,2,3,…30。
所以各分数都可以写成
由于8×9=72<80,而9×10=90>80,因而当k=1,2,…,8时,;
由于12×13=156<160,而13×14=182>160,因而当k=9,10,11,12时,;
由于15×16=240,因而当k=13,14时,;
由于17×18=306<320,而18×19=342.>320,因而当k=15,16,17时,;
由于19×20=380<400,而20×21=420 >400,因而当k=18,19时,;
由于21×22=462<480,而22×23=506>480,因而当k=20,21时,;
类似讨论可知:
当k=22,23时,
当k=24时,;
当k=25,26时,;
当k=27时,;
当k=28,29时,;
当k=30时,;
由上述讨论可知:
[例7]有一个算式,,其中A、B、C均为自然数,左式四舍五入得到右边的近似值1.16。
那么A、B、C分别代表哪几个自然数?
思路剖析
本题可以采用估值的方法先确定左边算式的精确值所在范围,并且1.16是四舍五入得到的,因此左边的值一定介于1.155与1.164之间。
从而可以确定一个与A、B、C有关的等式,再分析讨论A、B、C的具体数值,这一步骤则通过A、B、C是自然数来求得。
解答
☆解法一:
由已知得
由于A、B、C是整数,所以35A+21B+15C也是整数,因此35A+21B+15C=122。
首先确定A的取值范围,容易看出A最大只能取3。
否则若A=4,则35×4=140>122。
这说明A=1,2,3。
(1)当A=1时,21B+15C=122-35=87, 解得B=2,C=3。
(2)当A=2或3时,经试验此时方程无自然数解。
从而A=1,B=2,C=3
☆解法二:
因为
所以
又0.676<1.16<1.352,所以至少包括一个。
1.16-0.676=0.484,而,,,所以0.484中至少包含一个。
如果用,,则误差较大,应舍去。
可由组成,从而A、B、C这三个数依次为1、2、3。
点津
本节易错点在于使用“放大缩小法”过程中,不能做到“放缩”适度。
如果取的位数少了,范围太大,无法确定;如果取的位数多了,计算量太大,繁琐且没有必要。
要想做到“放缩”适度,我们需在实践中不断积累解题经验。
比如对例题2,我们用了三次放缩法,才得到符合题意要求的近似值。
只要逐步试探,逐步缩小范围,才可以得到符合题意的近似值。
发散思维训练
1.哥哥对弟弟说:
“到21世纪的某一年,我的年龄的平方刚好是那一年的年份数。
”哥哥的出生年份是______年。
2.的整数部份是______。
3.已知,A的小数部分的前三位数是______。
4.1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01的整数部分是______。
5.在下面的横线处分别填入两个相邻的整数,使不等式成立。
6.计算下式,精确到小数点后三位数的近似值。
1357902468÷8642097531
7.李军读一本书,如果每天读80页,需4天多读完,如果每天读90页,需3天多读完。
现在,为使每天读的页数与读完的天数相等,则每天应该读多少页?
8.有30个数:
,,,…,,如果取每个数的整数部分(例如1.64的整数部分是1,的整数部分是2),并将这些整数相加,那么其和等于多少?
9.下列是经过四舍五入得到的一个式子:
,其中A、B、C分别代表三个一位的自然数,求A、B、C代表的三个自然数分别是多少?
参考答案
1.解:
显然,到21世纪的那一年,哥哥的年龄应该是两位数,且这个两位数的平方应在2000到2099之间。
由,,所以这个两位数应在40到50之间。
再由,,因此这个两位数是45,所以哥哥出生在2025-45=1980(年)。
2.解:
设,所以
由于a是介于1和的数,所以a的整数部分是1。
3.解:
为了得到三位有效数字,只要对分子、分母同时保留四位数字即可,由
0.1343因此A≈0.134,从而A的小数部分的前三位数是1、3、4。
4.解:
本题用到一个规律:
当两个数的和一定时,这两个数越接近,则它们的乘积越大。
在本题中,1.22+8.03=1.23+8.02=1.24+8.01,并且8.03-1.22>8.02-1.23>8.01-1.24,所以1.22×8.03<1.23×8.02<1.24×8.01
再由1.22×8.03>1.22×8 所以原式>1.22×8×3=29.28
而1.24×8.01<1.25×8 所以原式<1.25×8×3=30
由29.28<原式<30可知,原式的整数部分是29。
5.解:
因为,,…,
并且
因此
所以原式介于整数3和4之间。
6.解:
为了使原式精确到小数点后三位数,只要将被除数与除数均舍去6位,从而
因此原式精确到小数点后三位数的近似值是0.157。
7.解:
若每天应读x页,则读完后的天数也应为x,根据题意得
即
(1)
同时有
(2)
由
(1)与
(2)可以得到的取值范围
再由,,
只有x=18符合题意,故每天应该读18页。
8.解:
通过分别求30个数再求和是不明智的,考虑到这三十个数按从小到大的顺序排列的,而1<1.64<2,,因此这三十个数均介于1与3之间,它们的整数部分只能取1或2,所以只要确定“分界点”。
因为,所以的整数部分是1,的整数部分是2。
这样,前十一个数的整数部分是1,后十九个数的整数部分是2。
因此这些整数相加其和是1×11+2×19=11+38=49。
9.解:
由已知,显然有,并且A、B、C中不含2。
因为,所以超出范围。
再由,所以A、B、C中有一个数是3或4,不妨设A=3,则有
经检验此时B=5,C=8。
对A=4,则有
经检验此时无符合题意的自然数。
综上所述,这三个自然数分别是3、5、8。