和差倍问题四年级.docx

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和差倍问题四年级

和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求这几个数的应用题。

包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。

这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路，列方程来解非常简单，但四年级孩子没有学过方程法解题，需要根据数量关系逆向推理，列综合算式解答。

教学中常常采用画线段图的方法来分析各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。

解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即1倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量，再算出其它相关数量。

涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下3组：

①和倍问题：

已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。

和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=大数。

②差倍问题：

已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差÷（倍数-1）=小数；小数×倍数=大数。

③和差问题：

已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。

（和+差）÷2=大数；（和-差）÷2=小数。

在二、三年级奥数课堂已经学过简单的和差倍问题，本册教材《奥赛天天练》用四讲内容来分类讲述复杂一点的和差倍问题：

第7讲《和倍问题》、第8讲《差倍问题》、第9讲《和差问题》、第10讲《复杂的倍数问题》。

《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习1

【题目】：

一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？

【解析】：

先求出长方形长和宽的和：

36÷2=18（厘米）；

把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：

18÷（2+1）=6（厘米）；

长是：

6×2=12（厘米）；

这个长方形的面积是：

12×6=72（平方厘米）。

《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习2

【题目】：

北京路小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。

已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。

问两种花各有多少朵？

【解析】：

我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：

从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。

所以黄花朵数为：

（300+30）÷（1+2）=110（朵）。

红花朵数为：

300-110=190（朵）。

《奥赛天天练》第7讲，巩固训练，习题1

【题目】：

被除数、除数、商3个数的和是212。

已知商是2，被除数和除数各是多少？

【解析】：

由商是2，可得被除数与除数的和为：

212-2=210；且被除数是除数的2倍。

把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：

210÷（2+1）=70；

被除数为：

70×2=140。

《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题1

【题目】：

5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？

【解析】：

5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：

75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：

15÷（2+1）=5（千克）；

每箱苹果重量为：

5×2=10（千克）。

《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题2

【题目】：

甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？

【解析】：

   我们把丙数看作一份，画出线段图如下：

假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：

183+4-7=180，和对应的份数为：

1+2+3=6。

所以，一份数即丙数为：

180÷6=30；

乙数为：

30×2-4=56；

甲数为：

30×3+7=97。

1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等于多少？

分析：

这是一个和倍问题。

减数是差的3倍，那么被减数就是差的4倍，所以被减数、减数与差的和就是差的8倍，应该等于120，所以差＝120÷8＝15。

解：

120÷（1＋3＋1＋2）＝15                              

 答：

差等于15。

2、甲、乙、丙共有100本课外书。

甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，余数也都是1。

那么乙有多少本书？

分析：

这是和倍问题。

可以这样理解，“甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是几？

”。

即：

乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）倍多（1×5＋1）6。

那么100减去（1＋6）的差对应（1＋5＋5×5）倍，这样可求出乙是多少。

解：

［100－1－（1×5＋1）］÷（1＋1×5＋1×5×5）＝91÷31＝3（本） 

 答：

乙有3本书。

3、用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。

如果：

车÷马＝2，炮÷车＝4，炮－马＝56，那么“车＋马＋炮”等于多少？

分析：

这是一个差倍问题。

依题有，马是1倍，车是马的2倍，炮是车的4倍，所以炮与马的倍数差是（2×4－1）7倍，而炮与马的两数差是56，根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。

解：

56÷（8－1）＝8——马；

8×2＝16——车

16×4＝64——炮

8＋16＋64＝88——车＋马＋炮    

 答：

车、马、炮的和是88

4、甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。

问：

甲、乙原计划每天自学多少分钟？

分析：

差倍问题。

原来时间相同，现甲多半小时，乙少半小时，现在的两数差是（30＋30）60分钟，现在的差数差是（6－1）5倍，这样可求出现乙每天自学的时间，加上30分钟，可得原计划每天自学时间。

解：

（30＋30）÷（6－1）＋30＝12＋30＝42（分钟） 

 答：

原计划每天自学42分钟。

 5、.三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。

分析：

要点：

先把一，二小组看成一个整体！

把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的人数。

这也是一个和差问题。

解：

（180＋20）÷2＝100（人）——第一，二小组的人数

 （100－2）÷2＝49（人）——第一小组的人数

　答：

第一小组的人数是49人。

6．有50名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生同7个男生握过手。

问这些学生中有多少名男生？

分析：

这是和差问题。

我们可以这样想：

如果这个班再多6个女生的话，最后一个女生就应该只与1个男生握手，这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（7－1）＝6个人！

解：

（50＋6）÷2＝28（人）。

     答：

男生人数28人。

      涉及4个或4个以上对象数量关系的复杂和差倍问题。

7、有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆各存放多少件？

分析：

如果我们把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（2×2）4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就刚好是1＋4＋2＋2＝9倍（第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件正好抵消），那么1倍就是108÷9＝12件，第二堆就是12×4＝48件，第三堆就是12×2＋2＝26件，第四堆就是12×2－2＝22件。

解：

（108＋2－2）÷（1＋2×2＋2＋2）＝108÷9＝12（件）——第一堆

 12×2×2＝48（件）——第二堆；

12×2＋2＝26（件）——第三堆；

12×2－2＝22（件）——第四堆；

答：

每堆各有12件、48件、26件、22件。

8、四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？

 解答：

用131＋134＝265，这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265－1＝264就刚好是3个乙、丙的和，264÷3＝88，就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是88＋1＝89，所以四个班的和是88＋89＝177人。

甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各调走600人，乙厂人数恰好是甲厂人数的4倍，求甲厂原来有多少人？

【解析】：

“两厂各调走600人”，因调走人数相同，调人前后两厂的人数差没有发生变化。

把调走600人后，甲厂人数看作1份，乙厂人数看作4份，两厂人数差还是540人，此时甲厂人数为：

540÷（4-1）=180（人）。

甲厂原有人数：

180+600=780（人）。

《奥赛天天练》第8讲，巩固训练，习题1

【题目】：

有A、B、C三根绳子，A、C的长度之和是B的2倍。

如果把C剪去6分米，那么A的长度就是B、C长度之和的一半。

A与B相比，＿＿比＿＿长＿＿分米。

【解析】：

这一题因为与A、B比较的标准不同，分别是（A+C）和（B+C）,所以A和B的长短无法直接比出。

解题的关键是制造出相同的比较标准，再通过等量代换，得出结论。

由题意可得：

A+C=2B,即：

A+B+C=3B；

B+C-6=2A,即：

A+B+C-6=3A。

即：

3B-3A=6（分米），B-A=2（分米）。

所以：

A与B相比，B比A长2分米。

《奥赛天天练》第8讲，巩固训练，习题2

【题目】：

在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的数增加了1980。

这个数是多少？

【解析】：

把原来的数看作1份，原数末尾加两个“0”即扩大了100倍，得到的新数也就是100份，它们的差就是增加的1980。

所以原来这个数为:

1980÷（100-1）=20。

《奥赛天天练》第8讲，拓展提高，习题1

【题目】：

食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？

【解析】：

因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：

138-94=44（千克）。

我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天后剩下面粉：

44÷（3-1）=22（千克）。

用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：

（94-22）÷9=8（天）。

《奥赛天天练》第8讲，拓展提高，习题2

【题目】：

有A、B、C三辆车，C车装的货物是B车的一半，B车比A车少160千克，A车装的是C车的4倍，A、B、C三辆车共装货物多少千克？

【解析】：

根据题中的三个条件，C车装的货物最少，我们把C车装的货物看作一份，画出线段图如下：

从图中可以看出B车货物就是2份，A车货物就是4份，B车比A车少的160千克对应的份数是2。

所以1份数即C车装货物为：

160÷（4-2）=80（千克）。

三辆车共装货物：

80×（1+2+4）=560（千克）。

《奥赛天天练》第9讲，巩固训练，习题1

【题目】：

小王和小张共买了20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书。

问小王、小张各买了多少本书？

【解析】：

我们以小王给小张6本书之后，剩下的本数作为标准，画出线段图如下：

解法一：

先求出小王现有本数。

小王给小张6本书之后，两人书的总本数不变。

以小王现有本数为较小数，小张现有本数为较大数，两数和为20，两数差为2，则小王现有数：

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